高一數學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊)5.3誘導公式【考點梳理】考點一：公式二1．角π＋α與角α的終邊關于原點對稱．如圖所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.考點二：公式三1．角－α與角α的終邊關于x軸對稱．如圖所示．2．公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.考點三：公式四1．角π－α與角α的終邊關于y軸對稱．如圖所示．2．公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.考點四：公式五1．角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關于直線y＝x對稱，如圖所示．2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.考點五：公式六1．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.2．公式五與公式六中角的聯(lián)系eq\f(π,2)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).大重點：誘導公式規(guī)律總結1.明確各誘導公式的作用誘導公式作用公式一將角轉化為0～2π之間的角求值公式二將0～2π內的角轉化為0～π之間的角求值公式三將負角轉化為正角求值公式四將角轉化為0～eq\f(π,2)之間的角求值2.誘導公式的記憶這四組誘導公式的記憶口訣是“函數名不變，符號看象限”.其含義是誘導公式兩邊的函數名稱一致，符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數值的符號.α看成銳角，只是公式記憶的方便，實際上α可以是任意角.用誘導公式化簡求值的方法(1)對于三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統(tǒng)一，再進行切化弦，以保證三角函數名最少．【題型歸納】題型一：誘導公式一的應用1．（2023·江蘇·高一課時練習）求值：（1）；（2）；（3）.2．（2020·新疆·烏魯木齊市第三十一中學高一月考）計算（1）（2）．題型二：誘導公式二、三、四應用3．（2023·江蘇·高一課時練習）化簡：（1）；（2）.4．（2023·全國·高一課時練習）已知．（1）化簡；（2）若為第四象限角且，求的值；（3）若，求．題型三：：誘導公式五、六應用5．（2023·全國·高一課時練習）已知．求下列各式的值：（1）；（2）．6．（2023·陜西·楊陵區(qū)高級中學高一月考）已知角的頂點是平面直角坐標系的原點，始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊過點．（1）求，的值；（2）求的值．題型四：誘導公式的化簡求值7．（2023·海南·儋州二中高一月考）已知.（1）化簡；（2）若，且，求的值8．（2020·四川·威遠中學校高一月考）化簡:（1）設，求.（2）已知，求.題型五：利用誘導公式證明恒等式9．（2019·全國·高一課時練習）求證：．10．（2023·全國·高一課時練習）求證：．題型六：正切函數的誘導公式的應用11．（2023·陜西富平·高一期末）化簡求值：（1）；（2）．12．（2023·上海師范大學第二附屬中學高一月考）化簡下列各式：（1）（2）【雙基達標】一、單選題13．（2023·甘肅·靜寧縣第一中學高一月考（文））若，則（）A． B． C．4 D．14．（2023·浙江省桐廬中學高一月考）已知的終邊上有一點，則=（）A． B． C． D．15．（2023·江西·九江一中高一期中）已知，則()A． B． C． D．16．（2020·湖北荊門外語學校高一月考）若，則（）A． B． C． D．117．（2023·全國·高一課時練習）已知，則等于（）A． B． C． D．18．（2023·全國·高一課時練習）已知，則（）A． B． C． D．19．（2023·北京市第四十三中學高一月考）已知，則（）A．2 B．-2 C．0 D．20．（2020·廣東·東莞市東方明珠學校高一期中）已知，則的值是（）A． B．C． D．21．（2023·安徽·淮北市樹人高級中學高一期中）若，且α是第三象限角，則（）A．1 B．7 C．-7 D．-122．（2023·遼寧·大連市一0三中學高一月考）已知點是單位圓與軸正半軸的交點，點在第二象限.記且，則（）A． B． C． D．【高分突破】一：單選題23．（2023·全國·高一課時練習）設（，且，），則的值為（）A． B． C．－1 D．124．（2023·廣西·富川瑤族自治縣高級中學高一期中（理））當時，若，則的值為（）A． B． C． D．25．（2023·全國·高一課時練習）化簡：=（）A．-sinθ B．sinθC．cosθ D．-cosθ26．（2023·陜西渭濱·高一期末）的值是（）A． B． C． D．27．（2023·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學校高一期中）已知，且，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角28．（2023·全國·高一單元測試）“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件29．（2023·遼寧·大連市第三十六中學高一月考）化簡（）A． B． C． D．30．（2023·廣西·防城港市防城中學高一月考）定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ+φ=90°，則稱θ與q“廣義互余”已知，下列角β中：①；②；③；④.可能與角a“廣義互余”的有（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④31．（2023·廣西·全州縣第二中學高一期中）化簡的結果為（）A． B． C． D．32．（2023·全國·高一課時練習）已知則（）A．2 B．-2 C． D．3二、多選題33．（2023·河北·曲周縣第一中學高一月考）下列化簡正確的是A． B．C． D．34．（2020·全國·高一單元測試）在平面直角坐標系中，角頂點在原點，以正半軸為始邊，終邊經過點，則下列各式的值恒大于0的是（）A． B． C． D．35．（2023·全國·高一課時練習）下列化簡正確的是（）A． B．C． D．若，則36．（2020·江蘇省蘇州第十中學校高一月考）已知，則（）A．當時，上式的值為 B．當時，上式的值為C．當時，上式的值為 D．當時，上式的值為三、填空題37．（2023·全國·高一課時練習）若角的終邊落在直線上，則_____．38．（2023·全國·高一課時練習）求值_________．39．（2023·河南·新鄉(xiāng)縣高中高一月考）已知α為第二象限角，且則的值為______.40．（2023·全國·高一課時練習）已知角，若角與角的終邊相同，則的值為______.41．（2023·浙江臨海·高一期中）已知點是角終邊上的一點，則_________．42．（2023·上海·高一課時練習）已知是方程的根，求的值.四、解答題43．（2023·陜西·綏德中學高一月考）(1)計算：；(2)化簡：.44．（2023·全國·高一課時練習）已知是方程的根．求的值．45．（2023·江西省靖安中學高一月考）已知.（1）化簡；（2）若，求的值；（3）若，求的值.46．（2023·陜西省洛南中學高一月考）（1）化簡：（2）求值：47．（2023·全國·高一課時練習）（1）已知角的終邊經過點，（），且，求的值；（2）求值：.48．（2023·上海·上外浦東附中高一期中）（1）求函數的值域；（2）化簡：．49．（2023·陜西韓城·高一期末）已知，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.50．（2023·遼寧·大連市第三十六中學高一月考）化簡：（1）；（2）.51．（2023·湖北武漢·高一期中）已知角的終邊經過點，且為第二象限角.（1）求實數和的值；（2）若，求的值.【答案詳解】1．（1）；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）.2．（1）；（2）-1.【詳解】（1），，，，，.（2），，，，．3．（1）；（2）【詳解】（1）；（2）.4．（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）．（2）因為，所以．（3）因為，，所以．5．（1）；（2）．【詳解】（1）原式．（2）原式．6．（1），；（2）.【詳解】因為角的終邊過點，所以，，，所以，，（2），由（1）知：，所以所以的值為.7．（1）；（2）.【詳解】（1）由誘導公式；（2）由可知，又∵，∴，即，∴.8．（1）2；（2）.【詳解】∵，則.（2）依題意得：，∴，∴.9．證明：左邊=右邊，所以原式或立．10．【詳解】證明：左邊=右邊，所以原式成立．11．（1）1；（2）．【詳解】（1）；（2）．12．（1）；（2）.解：（1）（2）13．D解：因為.所以，故選：D.14．C【詳解】由題意，所以．故選：C．15．B【詳解】∵，，∴由誘導公式可得，，故選：B.16．D【詳解】由，則.故選：D.17．B【詳解】由題意得，又，所以所以，結合解得，所以，故選：B.18．B【詳解】因為，所以，，所以，故選：B19．B【詳解】因為，所以，，，故選：B20．B【詳解】，故選：B.21．B【詳解】由，則.又α是第三象限角，所以，所以.故選：B.22．C【詳解】依題意，是第二象限角，而，則，所以.故選：C23．A【詳解】∵，，且，，∴，，∴．故選：A.24．B【詳解】∵∴，∴，∴．故選：B25．A【詳解】原式=，=，=-sinθ.故選：A26．A【詳解】.故選：A.27．B【詳解】由誘導公式可得：，所以，，所以是第二象限角故選：B28．B【詳解】，所以或，，即或，因此題中應是必要不充分條件．故選：B．29．B【詳解】因為，所以．故選：B．30．A【詳解】由，得，所以，故.由題意，a+β=90°，所以sinβ，，.故①③滿足；對于②，由，得cosβ=，不滿足；對于④，由，可得.則，不滿足.故可能與角a“廣義互余”的有①③.故選：A.31．B【詳解】，故選：B.32．A【詳解】即，故選：A．33．AB利用誘導公式，及A選項：，故A正確；B選項：，故B正確；C選項：，故C不正確；D選項：，故D不正確故選：AB34．AB【詳解】由題意知，，.選項A；選項B，；選項C，；選項D，符號不確定.故選：AB.35．ABD【詳解】由誘導公式易知A正確；B正確，；C錯誤，；D正確，，原式∵，∴，∴，∴.故選：ABD.36．ABD【詳解】，當時，原式，故選項A正確；當時，原式，，故選項B正確；當時，原式，故選項C不正確；當時，原式，故選項D正確，故選：ABD37．或【詳解】因為角的終邊落在直線上，所以角為第一或第三象限角，，當角為第一象限角時，，；當角為第三象限角時，，．故答案為：或.38．【詳解】故答案為：39．【詳解】由，得，得或.α為第二象限角，，.故答案為：.40．【詳解】.故答案為：41．【詳解】點是角終邊上的一點，則.故答案為：42．【詳解】即，解得，，，，，因為，所以，那么原式值為.故答案為：43．(1)2；(2)1.【詳解】(1)由誘導公式以及特殊角的三角函數值可得，(2)由誘導公式可得，44．．【詳解】由是方程的根，可得或（舍），原式．由，可知是第三象限或者第四象限角，當是第三象限時，，；當是第四象限時，，；所以或，即所求式子的值為．45．（1）；（2）；（3）.【詳解】解：（1）；（2）若，則；（3）由，可得，因為，，所以，所以.46．（1）；（2）【詳解】（1）原式；（2）原式.47．（1）或；（2）.【詳