備戰2023年中考數學必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題33四邊形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,

在正方形ABCC中，E是8C的中點，AE1EP,EP與正方形的外角△DCG的平分線交于尸點.試猜想AE

與EP的數量關系，并加以證明；

圖1圖2

圖3

（1）【思考嘗試】同學們發現，取AB的中點R連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老

師提出的問題.

（2）【實踐探究】希望小組受此問題啟發，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCQ

中，E為BC邊上一動點（點E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，?AEP=90°,連接CP,可以求出

NCCP的大小，請你思考并解答這個問題.

（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在正方形

ABC。中，E為BC邊上一動點（點E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，?AEP=90°,連接OP.知

道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當AB=4時，請你求出AADP周長的最小值.

【答案】(1)答案見解析

(2)45°,理由見解析

(3)4+4√5.理由見解析

【解析】

【分析】

(1)取AB的中點F,連接EF,利用同角的余角相等說明NPEC=NBAE,再根據ASA證明△AFEgAECP,

得AE=EP;

(2)在AB上取Af=EC,連接EF,由(1)同理可得/CEP=NEE,則△ME絲Z?CEP(S4S),再說明

Δ8EF是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GLCR交BC的延長線于G,交CP于0,連接AG,則△CCG是等腰直角三角形，可知點O

與G關于C尸對稱，則AP+DP的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG,進而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取/W的中點尸，連接E尸，

圖I

tFE分別為A8、BC的中點,

,AF=BF=BE=CE,

：.ABFE=-A5o,

：.ZAFE=135°,

YC尸平分NQCG,

；.NDCP=45。,

/.ZECP=135°,

NAFE=NECP,

'：AELPE,

：.ZAEP=90°,

.??ZAEB+ZPEC=90o,

?.?ZAEB÷ZBAE=90o,

：.ZPEC=ZBAE,

:、XAFEQXECP(ASA),

：,AE=EP;

(2)

解：在AB上取A/=Ee連接ER

圖2

由(1)同理可得NCEP=N胡區

φ

:AF=ECfAE=EP1

Λ?ME^ΔCEP(SAS),

：.ZECP=ZAFE9

YAF=EC,AB=Be

：.BF=BE,

：?NBEF=NBFE=45。,

：.ZAFE=135°,

I.NECP=135。，

ΛZDCP=45o;

(3)

解：作。GLCP,交3C的延長線于G,交CP于。連接AG,

圖3

由（2）知，ZDCP=45o,

：.NCoG=45。，

二AOCG是等腰直角三角形，

點。與G關于CP對稱，

.?AP+DP的最小值為AG的長，

YA8=4,

；.BG=8,

由勾股定理得AG=4√5,

&4OP周長的最小值為AD+AG^4+4√5.

【點睛】

本題是四功形綜合題，主要考查了正方形的性質，軸對稱-最短路線問題，全等三角形的判定與性質，等

腰直角三角形的判定與性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

2.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形ABCQ中，ZBAD=120o,AB=6,連接BQ.

DC

⑴求8。的長；

⑵點E為線段BO上一動點（不與點B,。重合），點F在邊AO上，且BE=√5DF,

①當CE時，求四邊形ABE尸的面積；

②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+√5CF的值是否也最小？如果是，求CE+√5CF的最小值；如

果不是，請說明理由.

【答案】（I）Bn=6√3;

⑵①四邊形ABE尸的面積為7遍；②最小值為12

【解析】

【分析】

（1）證明448C是等邊三角形，可得80=3√3,即可求解：

（2）過點E作AO的垂線，分別交4。和BC于點M,N,根據菱形的面積可求出MN=3g,設8E=x,則

EN=^X,從而得到EM=MN-EN=3W-；x,再由BE=W。凡可得OF=3X，從而得到四邊形ABEF的面積

2

5=SΔABD-SΔDEF=γf（X-3√3）+2^.①當CE,AB時，可得點E是ZkABC重心，從而得到

BE=CE=×3√3=2√3,即可求解：②作CHLAD于H,可得當點E和尸分別到達點。和點，位置

時，C尸和CE分別達到最小值；再由s=*x—3百『+竽，可得當“3百，即8E=3√W,S達到最

小值，從而得到此時點E恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點H位置，即可求解.

（1）

解：連接AC,設AC與8。的交點為0,如圖，

DC

四邊形ABe。是菱形,

.".ACLBD,0A=0C,AB//CD,AC平分ND48,

VZBAD=120°,

...△A8C是等邊三角形,

86>=AB?sin60°=6X—=3-73?

ΛβZ>2fiθ6√3:

解：如圖，過點E作AQ的垂線，分別交4。和BC于點M,M

D

?.?ZVlBC是等邊三角形，

：.AC=AB=6.

由(1)得：BD=6小

菱形ABC。中，對角線8。平分/A3GAB//CD1BC=AB=6,

：.MNLBCf

TNBAD=I20。，

o

???ZABC=60t

：.ZEBN=30o;

：.EN=-BE

2

???S.4BCD="C?BD=MN?BC,

.?.Λ√∕V=3√3,

設BE-x,則EN=",

：.EM=MN-EN=3痘-∣x,

<**S秀形ABCD=AD?MN=6×3Λ∕3=18^3?

,

..SΔABD=爭菱形ABCD=95

?：BE=WDF,

：.DF萼=叵X,

√33

.?.SADEF=<DF?EMJ?^χf3√3-iχ')=-^x2+-χ,

223\2/122

記四邊形A8E廠的面積為s,

:?s=SAABD-SADEF=96-(-^∣χ2+∣χ)=^∣(x-3√3)2+?

?；點E在BD上，且不在端點，.?.0<3E<BD,即0<χ<6√5;

①當CE,AB時，

'：OBLAC,

；.點后是公ABC重心，

.,.BE=CE=-BO=-×3√3=2√3,

33

此時S=f(2√3-3√3)2+罕=7√3,

當CE,AB時，四邊形ABEF的面積為7次;

②作CH_LAD于H,如圖，

'：COlBD,CHlAD,而點E和尸分別在80和AZ)上，

...當點E和F分別到達點O和點，位置時，CF和CE分別達到最小值；

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,

"：ZBAD=?2O°,

ZADC=60o,

.?.ZVlCZ)是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

：.CH=3相，

VS=?(X-3√3)2+?

.?.當尤=3√5,即8E=3√5時，S達到最小值，

VBE=√3DF.

二力/=3,

此時點E恰好在點O的位置，而點尸也恰好在點H位置，

.?.當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達到最小值,

.?.CEmCF的值達到最小，

其最小值為Co+WCH=3+√3×3√3=12.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直角三角形

等知識，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直角三角

形等知識是解題的關鍵.

3.(2022.上海?中考真題)平行四邊形4BCD,若P為BC中點，AP交BD于點E,連接CE.

D

BPC

(1)若4E=CE,

①證明ABCD為菱形；

②若力B=5,AE=3,求BD的長.

(2)以4為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=√∑4E?若F在直線

CE上，求黑的值.

【答案】(1)①見解析；②6應

⑵瞿

【解析】

【分析】

(1)①連接AC交BL)于。，證AAOE絲ZiCOE(SSS),得NAOE=NC0E,從而得∕COE=9(T,則ACLBO,

即可由菱形的判定定理得出結論；

②先證點E是的重心，由重心性質得8E=2OE,然后設OE=x,則8E=2Λ,在RrAAOE中，由勾股定

理，得。42=AE2-0E2=32-∕=9-χ2,在Rf“OB中，由勾股定理，得OA2=A82_082=52_(3x)2=25-9N,從而得

9-χ2=25-9N,解得：x=√∑,即可得08=343√∑,再由平行四邊形性質即可得出8。長；

(2)由OA與08相交于E、F,得ABLEF,點E是AABC的重心，又尸在直線CE上，則CG是A42C的中

線，則AG=BG=UB,根據重心性質得GEjCE=&E,CG=CE+GE=^-AE,在放ZkAGE中，由勾股定理,

2222

得AG2=AE2-GEE=AE2一（學E）2=}IE2,貝IJAG=爭E,所以A8=2AG=√∑AE,在KrA8GC中，由勾股定理，得

BC2^BG2+CG2^AE2+（述AE）2=5AE2,則BC=居AE,代入即可求得會的值.

22BC

（1）

①證明：如圖，連接AC交BO于0,

:平行四邊形ZBCD,

,OA=OC,

'：AE=CE,OE=OE,

Λ?A0E^ΔCOE(SSS),

二ZAOE=^COE,

'：ZAOE+ZCOE=ISO0,

：.NCoE=90。，

.".ACLBD,

Y平行四邊形ABCD,

四邊形48C。是菱形；

@'JOA=OC,

二。8是AABC的中線，

1P為BC中點,

.?.AP是AABC的中線，

二點E是ZMBC的重心,

：.BE=20E,

設OE=x,則BE=2x,

在/?34。E中，由勾股定理，WOA2^AE2-OE2^32-x2^9-x2,

在放AAOB中，由勾股定理，得。42=A82-O82=52-(3X)2=25-9/,

Λ9-Λ?2=25-9X2,

解得：戶傷

.*.OB=3Λ=3√2<

；平行四邊形4BC。,

.?BD=2OB=f>y∕2;

(2)

解：如圖，

：OA與G)B相交于E、F,

J.ABLEF,

由⑴②知點E是"BC的重心,

又尸在直線CE上，

二CG是AABC的中線,

.?AG^βG=-AB,GE=*E,

22

"：CE=鼻AE,

：.GE=它AE,CG=CE+GE=^-AE,

22

在RAAGE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-(^AE)2=-AE2,

22

/.AG=^-AE,

2

."8=2AG=√∑4E,

在RfABGC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-AE2+（幽4E）2=5AE2,

22

：.BC=岳AE,

???-A-B=-y∕2.A.E=-√-1-0.

BCyjSAE5

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質，菱形的判定，重心的性質，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質，本題屬圓

與四邊形綜合題目，掌握相關性質是解題的關鍵，屬是考常考題目.

4.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數學是以數量關系和空間形式為主要研究對象的科學.數學實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中

去發現其中的位置關系和數量關系，讓我們在學習與探索中發現數學的美，體會數學實踐活動帶給我們的

樂趣.

如圖①，在矩形ABC。中，點E、F、G分別為邊BC、AB,AO的中點，連接EEDF,”為QF的中點，

連接G”.將△3EF繞點2旋轉，線段。F、GH和CE的位置和長度也隨之變化.當△8EF繞點B順時針旋

轉90。時，請解決下列問題：

⑴圖②中，AB=BC,此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接4F,猜想GH與CE之間的

數量關系，并證明你的猜想；

(2)圖③中，AB=2,BC=3,則生=_________；

CE

⑶當AB=tn,BC-n時.處=.

CE

(4)在(2)的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC剪開，得AABC(如圖④).點M、N

分別在AC、BC上，連接MM將ACMN沿MN翻折，使點C的對應點P落在AB的延長線上，若PM平

分ZAPN,則CM長為.

【答案】(I)GH=ICE,證明見解析

(2尸=工

產=21

''CE2n

(4)等

【解析】

【分析】

(1)先證明AABF絲ACBE,WAF=CE,再根據中位線性質得GHWAF,等量代換即可；

(2)連接AF,先證明得到ARCE的比值，再根據中位線性質得AF,等量代換即

可；

(3)連接AF,先證明AAB尸SAC8E,用含〃?、〃的代數式表達出AF：CE的比值，再根據中位線性質得

G吟AF，等量代換即可；

(4)過M作MHLAB于H,根據折疊性質得/C=/MPM根據角平分線證明出/C=NPM”,設CM=PM=x,

HM=y,根據三角函數定義找到x、y之間的關系，再利用MHMsA4BC,得到器=器代入解方程即可.

(1)

解：GH=^CE,理由如下：

-JAB=BC,四邊形48CD為矩形，

四邊形ABCO為正方形，

.?.NABC=NCBE=90°,

?：E、F為BC,AB中點,

：.BE=BF,

,△AB厘ACBE,

：.AF=CE,

???”為。尸中點，G為AO中點,

.?GH=^AF

2f

：

.GH=-2CE.

(2)

連接AR如圖所示,

由題意知，BFWAB=1,8E=^BC=∣,

,.?一AB=—BF=2

BCBE3

由矩形ABC。性質及旋轉知，ZABC=ZCBE=90o,

：.△ABFSACBE,

：.AF：CE=2:3,

：G為中點，”為OF中點，

.,.GH=2-AF,

?GH1

??~~-"——.

CE3

故答案為：?.

(3)

A73GHm

解:H=%，

連接AR如圖所示,

由題意知，BF=3AB=1,FC=p

?.?一AB=—BF=一m,

BCBEn

由矩形ABC。性質及旋轉知，NABC=∕CBE=900,

MABFS>CBE,

.*.AF:CE=m：/7,

TG為AO中點，〃為。產中點，

.".GH=-AF,

2

.GHm

?■—=—.

CE2n

故答案為：?.

2n

(4)

解：過M作MHJ于，，如圖所示,

A

由折疊知，CM=PM9ZC=ZMPNf

〈PM平分NAPM

.?NAPM=NMPN,

:?NC=∕APM,

VAβ=2fBC=3,

?*?ΛC=√22÷32=√T3>

設CM=PM=JGHM=y,

由sinZ?C=SinzTIPM知，空=等，

ACPM

2一[2X

即H∏衣yV-√π,

?：HM〃BC,

：.?AHΛ7^?ABC,

.HM__AM

BC~AC9

即2=*，y=^=χ3,

3√13J√13

?√13-X?2x

??b*3o=聞，

解得：χ3空，

5

故答案為：空道.

5

【點睛】

本題考查了正方形性質、三角形中位線性質、折疊性質、全等三角形判定與性質、相似三角形的性質與判

定、三角函數定義等知識點，找到相似三角形是解題關鍵.

5.(2022?吉林長春?中考真題)【探索發現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4紙，如圖①，矩

形ABCD為它的示意圖.他查找了44紙的相關資料，根據資料顯示得出圖①中4。=√∑4B.他先將A4紙

沿過點A的直線折疊，使點8落在40上，點8的對應點為點E,折痕為AF；再沿過點F的直線折疊，使點

C落在E尸上，點C的對應點為點H,折痕為尸G；然后連結4G,沿AG所在的直線再次折疊，發現點。與點

產重合，進而猜想△ADG三△AFG.

【問題解決】

(1)小亮對上面AADG三ZiAFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形4BCD是矩形，

：.乙BAD=NB=NC=Z?O=90°.

由折疊可知，?BAF=AD=45°,4BFA=乙EFA.

：.Z.EFA=乙BFA=45°.

??AF=?∣2AB=AD-

請你補全余下的證明過程.

【結論應用】

(2)∕Zλ4G的度數為________度，附的值為___________；

AF

⑶在圖①的條件下，點尸在線段4F上，且AP=T48,點。在線段4G上，連結FQ、PQ,如圖②，設AB=α,

則FQ+PQ的最小值為.(用含α的代數式表示)

【答案】⑴見解析

⑵22.5°,√2-1.

(3)

【解析】

【分析】

(1)根據折疊的性質可得AD=AF,?AFG=NC=90°,由HL可證明結論；

(2)根據折疊的性質可得NDaG=>DAF=22.5。；證明AGCF是等腰直角三角形，可求出G尸的長，從而

可得結論；

(3)根據題意可知點F與點D關于AG對稱，連接PD,則PD為PQ+FQ的最小值，過點尸作PRLAD,

求出°,求出OR,根據勾腰定理可得結論.

4

(1)

證明：四邊形ZBCD是矩形，

.??BAD=NB=NC=ND=90°.

由折疊可知，/-BAF=^?BAD=45o,?BFA=/.EFA.

.".?EFA=?BFA=45°.

?9?AF=y∕2AB=AD.

由折疊得，乙CFG=?GFH=45°,

.??AFG=Z-AFE+?GFE=45°+45°=90°

.??AFG=(D=90°

XAD=AFtAG=AG

?*??ADG=△AFG

(2)

由折疊得，ZBAF=Z.EAF,

又∕BAF+NE4F=90°

二ZEAF=-?BAE=工X90°=45°,

22

由^ADG≡?4尸G得，ZDAG=?FAG=∣zFΛD=∣×45°=22.5°,

ZAFG=/.ADG=90°,

又NAFB=45"

ΛZGFC=45",

NFGC=45°,

,GC=FC.

設4B=x,則BF=x,AF=√2x=AD=BC1

：?FC=FC-FF=√2x-X=(√2-l)x

?*-GF=√2FC=(2-√2)x

?

??G赤F=(2F-√2)xL或BT1

(3)

如圖，連接FD,

'：DG=FG

二AG是尸。的垂直平分線，即點尸與點。關于AG軸對稱,

連接PD交AG于點。，則尸。+尸。的最小值為PD的長；

過點P作PR1AD交AD于點R,

"：ZDAF=?BAF=45°

/.ZAPR=45°.

：.AR=PR

XAT?2+PR2=AP2=φ2=?

-,-AR=PR=-4a,

?*?DR=AD-AR=V2α——α=-y∣2a

44

在RtADPR中，DP2=AR2+PR2

-?DP=?∣AR2+PR2=JAa)2+(-^-ɑ)2~^a

.?.PQ+FQ的最小值為裊

【點睛】

本題主要考查了折疊的性質，全等三角形的判定與性質，最短路徑問題，矩形的性質以及勾股定理等知識,

正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵.

6.(2022?吉林長春?中考真題)如圖，在回力BCD中，AB=4,4。=BD=√∏,點M為邊ZB的中點，動點

P從點A出發，沿折線AD-DB以每秒用個單位長度的速度向終點B運動，連結PM.作點A關于直線PM

的對稱點4,連結A'P、A'M.設點P的運動時間為r秒.

(1)點。到邊AB的距離為；

(2)用含，的代數式表示線段DP的長；

(3)連結AD,當線段4。最短時?，求AOPH的面積；

(4)當M、4'、C三點共線時，直接寫出f的值.

【答案】⑴3

(2)當θq≤l時，DP=√13-√13t;當1<也2時，PD=√13t-√13;

⑶I

(4)|嘴

【解析】

【分析】

(1)連接。例，根據等腰三角形的性質可得。例_L48,再由勾股定理，即可求解；

(2)分兩種情況討論：當O0≤l時，點P在AQ邊上；當1<∕≤2時?，點P在BO邊上，即可求解；

(3)過點P作PELDM于點E,根據題意可得點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，可得

到當點力、4、M三點共線時，線段AD最短，此時點P在AD匕再證明△P。ESz?ADM,可得DE=3-

3t,PE=2-2t,從而得到AE=QE-A'O=2-3t,在Rt△4PE中，由勾股定理可得t=￡即可求解；

(4)分兩種情況討論：當點A位于M、C之間時，此時點P在AD上；當點4(4")位于CM的延長線上

時，此時點P在8。上，即可求解.

⑴

解：如圖，連接。M,

D

?：AB=4,4D=8D=√∏,點M為邊4B的中點，

：.AM=BM=I,DMVAB,

??DM=?∕AD2-AM2=3.

即點。到邊AB的距離為3：

故答案為：3

(2)

解：根據題意得：當OS≤1時，點P在AO邊上，

DP=√13-√13t;

當l<r≤2時，點尸在8。邊上，PD=√Πt-√T5;

綜上所述，當0≤∕≤l時，DP=√13-√13t;當1<∕≤2時，PD√13t-√13;

(3)

解：如圖，過點P作PELO用于點E,

.".A'M=AM=2,

二點A的運動軌跡為以點M為圓心，4W長為半徑的圓，

二當點。、A?M三點共線時，線段4。最短，此時點P在A。上

.".A'D=1,

根據題意得：A'P=AP=√13t.DP=√13-√13t.

由（1）得：DMlAB,

PEJLDM9

：.PE//AB,

：?叢PDESAADM,

.PDDEPE

??--,

ADDMAM

?

??√13-=√13t=DE=PE—，

√1332

解得：DE=3-3t,PE=2-2t,

：.A'E=DE-A'D=2-3t,

在RtZkA'PE中，A'P2=PE2+A1E2,

(√13t)2=(2-2t)2+(2-3t)2.解得：￡=|，

：6

.PE5,

???SADPA，=-A'DPE=^×l×l=∣;

(4)

解：如圖,

當點M、4、C三點共線時，且點4'位于M、C之間時，此時點P在AC上，

連接A∕Γ,A'B,過點P作P尸，AB于點尸，過點H作4G1AB于點G,則LPM,

;AB為直徑，

ΛZA=90°,即

.?PM∕∕A'B,

.".ZPMF=ZABA',

過點C作CNLAB交A8延長線于點N,

在E48CD中，AB//DC,

VDΛ∕±AB,

：.DM//CN,

，四邊形CDMN為平行四邊形,

：.CN=DM=3,MN=CD=4,

ΛCM=5,

CN

.?.sι∏?z”CM小∕Vr=—=3

CM5

VΛzM=2,

：.A'G=2×-=~,

55

.?.MG=|,

2

：.BG=BM-MG=W,

???tanz√ΓBA=—=3,

BG

ΛtanzPMF=tanz√l'B4=3,

Λ-=3,BPPF=3FM

FMf

??4...DMPF3.AMAF2

?tan?zDrAylM=—=—=-,cos?zDnAzlMn=—=—=?=,

AMAF2ADAP√13

3

...PF，”,

：.3FM=IAF,即AF=2FM,

VAM=2,

.MF=94

4

&5—=-2-，解得：t=g;

√13t√13

如圖，當點4'（小）位于CM的延長線上時，此時點P在8。上，PB=2√T3-√13t,

過點櫻作4"GU4B于點Gt則∕AΛM"=NCMN,取44”的中點H,則點M、P、”三點共線，過點H作

HKLAB于點K,過點P作P7?LAB于點7,

：HKLAB,A,,G,LAB,

?HK∕∕A,,G,,

MAHK?

??點”是44〃的中點，

.HK_AK__AH__1

'A^=∑G7=Λ？7=2,

31

?HK=^lAK=

9

?.MK=W

,?tanz_PMT=tan?HMK=—=?,

MK3

即歷T=3PT,

MT3

?..,rτιDMPT3,r>r>τBM__2_

?tan?PrBrT=—=—=-,COS乙PBT=

BMBT2BD-√13,

2

BT=-PT,

?3

9

?.MT=NBT,

2

;MT+BT=BM=2,

,?BT=工

11

4

；QL4解得：t=弟

2√13-√13t√1311

綜上所述，，的值為I或弟

【點睛】

本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，圓的基本性質，相似三角形的判定和性質,

解直角三角形，根據題意得到點A的運動軌跡是解題的關鍵，是中考的壓軸題.

7.(2022.山東臨沂?中考真題)已知△力BC是等邊三角形，點B,。關于直線AC對稱，連接AD,CD.

(2)在線段AC上任取一點P(端點除外)，連接PD將線段PO繞點P逆時針旋轉，使點。落在BA延長線

上的點。處.請探究：當點尸在線段AC上的位置發生變化時，NDPQ的大小是否發生變化？說明理由.

(3)在滿足(2)的條件下，探究線段AQ與CP之間的數量關系，并加以證明.

【答案】(1)見解析

(2)4DPQ大小不變，理由見解析

(3)CP=AQ,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接8。，由等邊三角形的性質可得AC垂直平分8Q,繼而得出/W=BC=CD=AD,便可證明；

(2)連接PB,過點尸作PElICB交A8于點E,P凡LAB于點凡可證明△4PE是等邊三角形，由等腰三角形

三線合一證明乙4PF=4EPF,乙QPF=乙BPF,即可求解；

(3)由等腰三角形三線合一的性質可得AF=FE,QF=BF,即可證明.

(1)

連接BD,

△48C是等邊三角形,

二AB=BC=AC,

???點B,。關于直線AC對稱，

./C垂直平分BD,

???DC=BCfAD=ABf

：.AB=BC=CD=AD,

???四邊形A8C。是菱形；

(2)

當點P在線段AC上的位置發生變化時，NOPQ的大小不發生變化，始終等于60。，理由如下:

???將線段尸。繞點尸逆時針旋轉，使點。落在BA延長線上的點。處，

???PQ=PD,

???△/BC是等邊三角形，

.?.AB=BC=AC,?BAC=乙ABC=乙ACB=60°,

連接尸從過點P作PEIICB交43于點E,PZUAB于點R

o

則ZjlPE=Z.ACB=60f?AEP=?ABC=60°,

???Z.APE=LBAC=60°=乙4EP,

??.△APE是等邊三角形，

???AP=EP=AEf

VPFLAB1

??.?APF=乙EPF,

,:盡B,Q關于直線AC對稱，點尸在線段AC上,

；?PB=PD,ZDPA=ZBPAf

PQ=PD,

VPF1AB1

???(QPF=乙BPF,

.?.ZQPF-ZAPF=ZBPF-ZEPF,

即NQZ?=NBPE,

：.ZDPQZDPA-ZQPA^ZBPA-ZBPENAPE=60°；

⑶

AQ=CP,證明如下:

?.?AC=AB,AP=AE,

.-.AC-AP=AB-AE,即CP=BE,

?.AP=EP,PFLAB,

-.AF=FE,

：PQ=PD,PF.LAB,

..QF=BF,

：.QF-AF=BF-EF,B∣JAQ=BE,

-.AQ=CP.

【點睛】

本題考查了圖形的旋轉，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，菱形的判定等，熟練掌握知識點

是解題的關鍵.

8.(2022?內蒙古通遼?中考真題)己知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公

(1)如圖1,當點G在AC上，F在AB上，求加茄的值為多少；

(2)將正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉a((r<a<90。)，如圖2,求：的的值為多少；

D(J

(3)AB=8√2,AG=9O,將正方形AFEG繞4逆時針方向旋轉a(0。<a<360°),當C,G,E三點共線時,

請直接寫出。G的長度?

【答案】⑴2

⑵夜

(3)4(√6-√2)

【解析】

【分析】

(1)根據題意可得GEIlDC,根據平行線分線段成比例即可求解；

⑵根據(1)的結論，可得*=與=%根據旋轉的性質可得/D4G=?CAE,進而證明4GAD八EAC,

AEAC√2

根據相似三角形的性質即可求解；

(3)勾股定理求得CG,EC,進而根據AGAD-ZiEAC,由相似三角形的性質即可求解.

(1)

???正方形AFEG與正方形ABCD有公共點4點G在4。上，F在AB上，

??GE^DC

AG_AE

?DG=FC

EC_AE

?DG=?G

???四邊形AFEG是正方形

???AE=√∑4G

.2CE√?CE√∑4EQ歷?

"菽=H=H=/XZ或=2

⑵

如圖,連接4E,

???正方形ZFEG繞4點逆時針方向旋轉a(0。<α<90°),

：,?DAG=?CAE

AG_AD_1

,?麗=布=正

GADEAC

CEAC/?

?**~=V2,

DGAD

(3)

如圖，

AB

???AB=8√2,AG=-AD,

2

.??AD—AB=8yf2,AG=4x8^?∕2=8,4C=y[2AB=16>

???G,F,C三點共線，

Rt?4GC中，GC=?∣AC2—AG2=V162-82=8V3>

,.CE=GC-GE=M-8，

由(2)可知AGAD-LEAC,

CEAC/X

?*?==V2,

DGDA

nz,DACE8√2×(8?^3-8)

ΛZ√G=---------=----------------------=4(√6-√2).

AC16

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，勾股定理，旋轉的性質，綜

合運用以上知識是解題的關鍵.

9.(2022?廣西?中考真題)已知NMoN=α,點A,B分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

(D如圖①,若a=90°,取AB中點D,點A,8運動時，點。也隨之運動，點A,8,。的對應點分別為A,B',D',

連接。D,。。.判斷。。與OD'有什么數量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點4,B運動到什么位置時，△4OB的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

【答案】(1)。。=。。'，證明見解析

(2)3√3+3

(3)當。4=OB時，A40B的面積最大；理由見解析，△4。8面積的最大值為9a+9

【解析】

【分析】

(1)根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半''可得OD=∕B,OD?^2A'B',進而得出結論；

(2)作AAOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于0,和Q,當0運動到0,時，OC最大，求出C力和

等邊三角形Ao7｝上的高07),進而求得結果；

(3)作等腰直角三角形A/8,以/為圓心，A/為半徑作。/,取AB的中點C,連接C/并延長交。/于0,

此時AAOB的面積最大，進一步求得結果.

(3)以A8為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,連接OC交AB于點T,在OT上取點E,使OE=BE,

連接8￡,由(2)可知，當。Cl4B時，OC最大，當04=OB時，此時07最大，即的面積最大，

由勾股定理等進行求解即可.

(1)

解：OD=OZ/,證明如下：

???乙AOB=a=90o,AB中點為D,

.?.OD=-2AB,

?.?D'為4'8'的中點，?A'OB'=a=90°,

.?.0D'=-A'B',

2

?.?AB=A'B',

.?.OD=0D'i

(2)

解：如圖1,

作AAOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于。，和力,

當。運動到。'時，OC最大，

此時AAOB是等邊三角形，

...8O'=A8=6,

OC^CO'=CD+DO'=^-AB+^-BO,=3+3>∕3;

22

(3)

/解：如圖2,作等腰直角三角形A/B,以/為圓心，A/為半徑作

圖2

.?.A∕AAB=3√∑NAoB2NA∕8=45°,

22

則點。在。/上，取AB的中點C,連接a并延長交。/于0,

此時4A08的面積最大，

??OC=C∕+O∕=∣AB+3√2=3+3√2，

JSAAOB^Λ=∣×6×(3+3√2)≈9+9√2.

【點睛】

本題考查了直角三角形性質，等腰三角形性質，確定圓的條件等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“定弦對

定角”的模型.

10.(2022,遼寧?中考真題)如圖，在AABC中，AB=AC=2>j5,BC=4,D,E,F分別為4C,4B,BC的中

點，連接DE,0凡

(1)如圖1,求證：DF=-DE;

2

(2)如圖2,將NED/繞點。順時針旋轉一定角度，得到NPDQ,當射線DP交4B于點G,射線。Q交BC于點N

時，連接FE并延長交射線DP于點M,判斷FN與EM的數量關系，并說明理由：

(3)如圖3,在(2)的條件下，當CPJ.AB時，求DN的長.

【答案】(1)見解析

(2)FN=-EM,理由見解析

2

(3)T

【解析】

【分析】

(1)連接4F,可得4F1BC,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得QF=TaC=遍，根據中

位線定理可得OE=?BC=2,即可得證：

(2)證明ADNFsADME,根據(1)的結論即可得FN=匹EM;

2

(3)連接4尸，過點C作CHIAB丁H,證明44GDSZkAHC,可得GD=THC=/，勾股定理求得GE,4G,

根據tan乙4。G=—=4EMG=ΛADG,可得tan4EMG=—=進而求得MG,根據Mn=MG+GD求

GD4MG4

得MD,根據(2)的結論DN=些DM，即可求解.

2

(1)

證明:如圖，連接4F,

圖1

"AB=AC=2√5,BC=4.D,E,F分別為AC,4B,8C的中點,

..DE=-BC=2,AF1BC,

?2

.-.DF=-AC=√5,

2

???DF=隹DE，

2

(2)

FN=匹EM，理由如下，

2

連接AF,如圖,

???AB=AC=2√5,BC=4,D,E,F分別為4C,48,BC的中點,

.?.EF=^AC=CD,EFnDC,

???四邊形CCEF是平行四邊形，

?Z-DEF=Z-C,

?：DF=-AC=DC,

2

???Z-DFC=?C,

乙DEF=?DFC,

???180°一乙DEF=180°-?DFCf

???乙DEM=LDFN,

圖2

???將乙EDF繞點。順時針旋轉一定角度，得至此PDQ,

???乙EDF=Z.PDQ,

???乙FDN+乙NDE=乙EDM+乙NDE,

???乙FDN=?EDM,

???△DNFs&DME,

NFDF√5

''EM~DE2

???FN=-EM,

2

(3)

如圖，連接AF,過點C作CHAB于H,

A

M

G'

c

QN

圖3

RtZMFC中，FC=?BC=2,

?AF=y∣AC2-FC2=4-

,：SAABC=^BC?AF=3AB?CH,

“BCAF4×48√5

?HC=-----=—=——，

AB2f√S5

?.?DP1ABf

???△AGDAHCf

.?.—GD=—AD=1

HCAC2

.?.GD=-HC=—^

25

Rt△GED中,

GE=y∕ED2-GD2=J2?一（W）2=等

Rt△AGD中，

4G=VAI一GD2=J（佝2_（第）2=W

3√5

?tanZ?√4Z?G=—=45-=」，

GD1√Γ54

VFF∣∣?D,

???乙EMG=乙ADG，

,.-,EG3

???tan?ErMGz=—=

MG4

.hjfr4z,c,4-2√58√5

33515

：.MD=MG+GD=—+—=—

1553

???ΔDNFDME9

.DN_DF_Vs

*,DM~DE~2,

n.r√5n..√54√510

2233

【點睛】

本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質定理，相似三角形的性質

與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

II.(2022.貴州貴陽?中考真題)小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.

如圖，在□4BCD中，AN為BC邊上的高，^=m,點M在AD邊上，且BA=BM,點E是線段4M上任意一點,

AN

連接8E,將AABE沿BE翻折得△FBE.

⑴問題解決：

如圖①，當NBAD=60。，將AABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則警=;

(2)問題探究：

如圖②，當NBAD=45。，將△4BE沿BE翻折后，使EFlIBM,求乙4BE的度數，并求出此時m的最小值；

(3)拓展延伸:

當NBAD=30。，將ZABE沿BE翻折后，若EFl.AD,且AE=MD,根據題意在備用圖中畫出圖形，并求出

m的值.

【答案】(1)2

3

⑵乙4BE=22.5o,m=2

(3)作圖見解析，3百一1

【解析】

【分析】

(1)根據等邊三角形的性質，平行四邊形的性質可得?=*=—?j,根據特殊角的三角函數值即可求

ANANcos?B7AN

解;

(2)根據折疊的性質即可求得乙4EB=4尸EB=T(180。+45。)=112?5°-由三角形內角和定理可得乙4BE=

180o-?AEB-?BAE=22.5°,根據點M在4。邊上，當AZ)=4MΠ寸，Tn取得最小值，最小值為絲=2；

AN

(3)連接尸M,設4V=α,則AB=2α,NB=WAN=Wa,在RtAFBM中，FB=AB=BM,延長FE交

NC于點G,在RtΔIEFM中，EM=√FΛf2-EF2=Jβa2-(√3-l)2α2=(V^+l)α,進而根據ZD=AE+

EM+MD,即可求解.

(1)

?：BA=BM,ABAD=60°

.?.△4BM是等邊三角形，

.?.AB=AM=BM

???四邊形ABCD是平行四邊形，

?*?ADUBC,

?乙ABN=?BAM=60°,

???ZN為BC邊上的高，

,AM_AB_]__1__2√3

??AN~AN~COS4BAN-更一3'

2

(2)

???匕BAD=45。,BA=BM1

:?△力MB是等腰直角三角形，

????MBC=乙AMB=45°,

???EFnB