第1講轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用轉(zhuǎn)化這種主要的思維策略在高中數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想是高中生必備的靈活性思維方式，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑之一，其要點(diǎn)在于將陌生的問題情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化、直觀化，或從不同角度切入以分析問題，逐步探索出解決問題的有效方法。立體幾何作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，這部分蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)中滲透有關(guān)的思想方法，有助于學(xué)生降低難度。轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中主要體現(xiàn)在將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，涉及到幾何體中的最值問題、等積轉(zhuǎn)化問題以及點(diǎn)線面的轉(zhuǎn)化等問題【應(yīng)用一】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中距離最值得應(yīng)用我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)及高考題中也常常遇見幾何中某兩點(diǎn)的最值問題，對(duì)于此類問題可以采取的方式就是對(duì)幾何體進(jìn)行展開。例如下面這道例題：【例1.1】（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．【思維提升】把曲面上的最短距離問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離問題，從而使問題得到解決。這是求曲面上最短距離的一種常用方法。【變式1-1】（多選）（2022·山東青島·一模）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長(zhǎng)為2，為母線中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓臺(tái)母線與底面所成角為60° B．圓臺(tái)的側(cè)面積為C．圓臺(tái)外接球半徑為2 D．在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為5【變式1-2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模）（多選題）長(zhǎng)方體中，，，，則（

）A．到平面的距離為B．到平面的距離為C．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為D．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短距離為【變式1-3】．如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點(diǎn)沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達(dá)頂點(diǎn)，與的交點(diǎn)記為，則從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到的最短路線長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．【變式1-3】（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點(diǎn)，且.現(xiàn)要建設(shè)一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為______.【應(yīng)用二】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中線線角、線面角、面面角的應(yīng)用（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．空間幾何體中線線角、線面角、面面角通常由兩種處理方式，一是通過建系，轉(zhuǎn)化為向量進(jìn)行解決，二是運(yùn)用傳統(tǒng)的方式分別把角表示出來。【例2-1】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面PBC；(2)若二面角的余弦值為，求a的值；(3)在（2）的條件下求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【思維提升】求角度的問題我們有兩種方法：幾何法與向量法，在選擇方法的過程中我們一般有如下原則:（1）方便建系的題目適合向量法，如長(zhǎng)方體，底面容易找到垂直的錐體等（2）方便做“投影”的題目適合用幾何法，如幾何體高線上的點(diǎn)與底面連線等【變式2-1】．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)B、D，平面經(jīng)過點(diǎn)A、，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面所成的銳二面角大小為（

）A． B． C． D．【變式2-2】．（多選）（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）（多選題）如圖所示，已知點(diǎn)A為圓臺(tái)下底面圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓周上一點(diǎn)，且，則（

）A．該圓臺(tái)的體積為B．直線SA與直線所成角最大值為C．該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為D．直線與平面所成角正切值的最大值為【變式2-3】．【2020年新課標(biāo)2卷理科】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵；方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直線的方向向量.【應(yīng)用三】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中距離的應(yīng)用求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．（3）、向量法求距離【例3】（2022·福建省高三模擬試卷）在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為_________.【思維提升】距離問題問題主要分為點(diǎn)線距離，點(diǎn)面距離以及面面距離。最常考查的是點(diǎn)面距離。對(duì)于點(diǎn)P到直線l的距離可以考慮通過向量加以解決。對(duì)于點(diǎn)到面的距離，可以從傳統(tǒng)的方法以及向量法。傳統(tǒng)的方法體現(xiàn)在把距離做出來，若在特殊的體中如圓錐、正棱柱等，做垂線垂足在特殊的位置可以作出距離（定性），然后再三角形中求出。若不好定性則可以考慮運(yùn)用等積法。若建系分別用向量也比較簡(jiǎn)單。線面距和面面距，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距求解．【變式3-1】．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【變式3-2】．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【變式3-3】．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市明德中學(xué)校考三模）如圖，一個(gè)由四根細(xì)鐵桿、、、組成的支架（、、、按照逆時(shí)針排布），若，一個(gè)半徑為1的球恰好放在支架上與四根細(xì)鐵桿均有接觸，則球心到點(diǎn)的距離是（

）A． B． C．2 D．【變式3-4】（2023·山西·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.(1)求到平面的距離；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【應(yīng)用四】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體線線、線面、面面位置關(guān)系的應(yīng)用線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系既相互依存又存在，又在一定條件下不僅能縱向轉(zhuǎn)化：線線平行或垂直，線面平行或垂直，面面平行或垂直。而且還可以橫向轉(zhuǎn)化：線線、線面、面面的平行，線線、線面、面面的垂直。這些轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)。平行或垂直關(guān)系的證明大都可以利用上述結(jié)論關(guān)系去證明。如平行關(guān)系：【例4】（2022?浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；【思維提升】證明線線垂直的位置關(guān)系時(shí)，若通過轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角有困難，可以通過線線垂直、線面垂直以及面面垂直的之間的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化。即線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直。【變式4-1】．（2022?甲卷（理））在四棱錐中，底面，，，，．（1）證明：；【變式4-2】．（2022?北京）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；【方法總結(jié)】1．判定面面平行的主要方法：(1)利用面面平行的判定定理；(2)利用線面垂直的性質(zhì)．2.面面平行條件的應(yīng)用：(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行；(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．【變式4-3】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面．(1)證明：為圓柱底面的直徑；【應(yīng)用五】轉(zhuǎn)化思想在空間幾何體中體積的應(yīng)用研究簡(jiǎn)單幾何體體積問題的過程中，運(yùn)用等積轉(zhuǎn)化常見的思路為選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透摺ｓw現(xiàn)在轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)法、轉(zhuǎn)化底面、根據(jù)比值進(jìn)行轉(zhuǎn)化。柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【例5】【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【思維點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.【變式5-1】．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_________，該三棱錐的外接球的體積為_________.【變式5-2】．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開學(xué)考試）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?豬肉?咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個(gè)正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個(gè)球體，那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為時(shí)，該裹蒸粽的高的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【變式5-3】．．【2022年新高考2卷】（多選題）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED,AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1,VA．V3=2VC．V3=V鞏固練習(xí)1、（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．2、（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習(xí)）（多選題）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AM⊥平面，下面說法正確的是（

）A．若N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN最小時(shí)，CM=B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，若平面截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越大C．若點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)，平面過點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形的面積為D．直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為3、【2022年新高考1卷】（多選題）已知正方體ABCD-A1BA．直線BC1與DA1所成的角為90° B．直線BC．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°4、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.5、（2022年廣東省佛山市高三模擬試卷）如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長(zhǎng)為的正，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是__________m．6、（2023·江蘇南京·校考一模）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，是邊長(zhǎng)為2的菱形，，．(1)證明：平面平面；(2)若，求三棱柱的體積．7、（2022年福建省福州市高三模擬試卷）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．梯形ABCD滿足B