課時7復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算新授課1.理解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角形式及其幾何意義.2.能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角形式及其幾何意義解決相關(guān)問題.目標(biāo)一：理解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角形式及其幾何意義.

任務(wù)1：類比復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，探究復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算及其幾何意義.問題1：設(shè)z1＝r1(cosθ1+isinθ1)，z2＝r2(cos

θ2+isin

θ2)，在復(fù)平面內(nèi)作出z1、z2，試求出z1z2，并用文字語言來表述復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式.z1z2＝r1(cos

θ1+isin

θ1)×r2(cos

θ2+isin

θ2)＝r1r2［(cos

θ1cos

θ2-sin

θ1sin

θ2)+i(sin

θ1cos

θ2+cos

θ1sin

θ2)］＝r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］即兩復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(簡記為：模數(shù)相乘，幅角相加).歸納總結(jié)復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則：問題2：由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，結(jié)合上述圖像，思考討論在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示有什么幾何意義？歸納總結(jié)設(shè)z1，z2對應(yīng)的向量分別為

，將

繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把

繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把

的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量

，

表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.復(fù)數(shù)乘法的幾何意義：特別地，如果n∈N，則：練一練計(jì)算

，說說這兩個復(fù)數(shù)相乘的幾何意義.解：因?yàn)?/p>

，所以一個復(fù)數(shù)與i相乘，從向量角度，相當(dāng)于把此復(fù)數(shù)對應(yīng)向量繞原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)

，如圖所示.

任務(wù)2：類比復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算及其幾何意義，探究復(fù)數(shù)三角形式

的除法運(yùn)算及其幾何意義問題1：如果非零復(fù)數(shù)z的三角形式為：

，利用兩個共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，寫出

的三角形式，并寫出

的值.若非零復(fù)數(shù)

，則-θ是

的一個輻角，因此

，歸納總結(jié)一般地，如果非零復(fù)數(shù)

，則-θ是

的一個輻角，因此

問題2：已知

，根據(jù)

，你發(fā)現(xiàn)

的三角表示是怎樣的？由

得

即問題3：復(fù)數(shù)

，試求出

，并用文字語言來表述復(fù)數(shù)除法的三角表示公式.即兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.(簡記為：模數(shù)相除，幅角相減).歸納總結(jié)復(fù)數(shù)三角形式的除法法則：思考：由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示，討論在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示有什么幾何意義？注：任意一個復(fù)數(shù)除以i，從向量角度來說，就相當(dāng)于把這個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)

，如圖所示.設(shè)z1，z2對應(yīng)的向量分別為

，將

繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)θ2(當(dāng)θ2>0時，按順時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2，當(dāng)時θ2<0，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再將

的模變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍，如果所得向量為

則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

.歸納總結(jié)復(fù)數(shù)除法的幾何意義：目標(biāo)一：能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角形式及其幾何意義解決相關(guān)問題.

任務(wù)：應(yīng)用復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角形式解決下列問題.問題1：求

的值.問題2：如圖，已知平面內(nèi)并列的三個相等的正方形，利用復(fù)數(shù)證明：證明：假設(shè)每個正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面.所以存在整數(shù)k，使得由于α，β，γ都是銳角，于是k=0，從而而由平行線內(nèi)錯角相等知α，β，γ分別等于3+i，2+i，1+i的輻角主值，因此α+β+γ應(yīng)該(3+i)(2+i)(1+i)的一個輻角，又因?yàn)?3+i)(2+i