重慶市長壽區20232024學年上學期高二年級期末檢測卷（B）數學試題試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：答卷前，務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卷規定的位置上.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案標號涂黑.答非選擇題時，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規定的位置上．考試結束后，將答題卷交回．一．單選題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，答案請涂寫在機讀卡上1.直線的傾斜角是(

)A. B. C. D.2.如圖，在平行六面體中，，，，，，則線段的長為(

)

A. B. C. D.3.已知橢圓標準方程為，則此橢圓的短軸長為(

)A. B. C. D.4.下列關于空間向量的命題中，錯誤的是(

)A.若非零向量，，滿足，，則有

B.任意向量，，滿足

C.若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點共面

D.已知向量，，若，則為銳角5.已知三角形的三個頂點，，，則的高所在的直線方程是(

)A. B. C. D.6.公元前世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯寫出了經典之作圓錐曲線論，在此著作第七卷平面軌跡中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如：平面內到兩定點距離之比等于定值不為的動點軌跡為圓后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓已知平面內有兩點和，且該平面內的點滿足，若點的軌跡關于直線對稱，則的最小值是(

)A. B. C. D.7.等差數列、中的前項和分別為、，，則(

)A. B. C. D.8.預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預測期人口數，為初期人口數，為預測期內人口年增長率，為預測期間隔年數如果在某一時期，那么在這期間人口數(

)A.呈上升趨勢 B.呈下降趨勢 C.擺動變化 D.不變二．多選題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，則（）

A.直線與所成角的余弦值為 B.

C. D.點到直線的距離為10.已知曲線，其中，則下列結論正確的是(

)A.方程表示的曲線是橢圓或雙曲線

B.若，則曲線的焦點坐標為和

C.若，則曲線的離心率

D.若方程表示的曲線是雙曲線，則其焦距的最小值為11.對于直線：與圓：的以下說法正確的有(

)A.過定點

B.被截得的弦長最長時，

C.與相切時，或

D.與相切時，記兩種情形下的兩個切點分別為、，則12.已知數列的前項和為，，，數列的前項和為，，則下列選項正確的是(

)A.數列是等差數列 B.數列是等比數列

C.數列的通項公式為 D.三．填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在題中的橫線上.13.已知點，，過的直線與線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是

．14.的三個頂點分別是，，，則其外接圓的方程為

．15.某石油勘探隊在某海灣發現兩口大型油氣井，海岸線近似于雙曲線：的右支，現測得兩口油氣井的坐標位置分別為，，為了運輸方便，計劃在海岸線上建設一個港口，當港口到兩油氣井的距離之和最小時，港口的位置為

填寫坐標即可16.設是公差為的等差數列，是公比為的等比數列．已知數列的前項和，則的值是

．四．解答題（本大題共6個小題，共70分．應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.12分設是等差數列，是等比數列，公比大于，已知．Ⅰ求和的通項公式；Ⅱ設數列滿足求．18.（10分）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，側棱的長為，且．求：的長；直線與所成角的余弦值．19.12分已知點和點關于直線對稱．若直線過點，且使得點到直線的距離最大，求直線的方程若直線過點，且與直線交于點，的面積為，求直線的方程．20.12分已知圓過點，，且圓心在直線上．求圓的標準方程若過點的直線被圓截得的弦的長是，求直線的方程．21.12分已知點，是橢圓的左、右焦點，點是該橢圓上一點，當時，的面積取得最大值，為，為坐標原點．求橢圓的標準方程是否存在過左焦點的直線，與橢圓交于，兩點，使得的面積為若存在，求出直線的方程若不存在，請說明理由．22.12分如圖，已知拋物線的焦點為，點是軸上一定點，過的直線交與，兩點．

若過的直線交拋物線于，，證明，縱坐標之積為定值

若直線，分別交拋物線于另一點，，連接，交軸于點．

證明：，，成等比數列．

參考答案1.

解：設直線的傾斜角為，，因為，所以，

故直線的斜率為，

即，

所以．

故選D．2.

解：在平行六面體中，，，，，，

，

，

．

故選C．3.

解：因為，

所以此橢圓的短軸長為．

故選．4.

解：：因為，，是非零向量，

所以由，，可得，

因此本選項說法正確；：因為向量，

不一定是共線向量，

因此不一定成立，

所以本選項說法不正確；：因為，，是空間的一組基底，所以三點不共線，

又因為，，所以，，，四點共面，因此本選項說法正確；：，

當時，，

若向量，同向，則有，所以有，而，故無實數解，

所以向量，不能同向，

因此為銳角，故本選說法正確，

故選B．5.

解：由斜率公式可得，

因為，

所以，

所以直線的方程為：，

化為一般式可得．

故選A．6.

解：設點的坐標為，因為，

所以，

化簡得，即，

所以點的軌跡方程為，

因為點的軌跡關于直線對稱，

所以圓心在此直線上，即，，，

所以

，

當且僅當，即時，等號成立，

故選B．7.

解：等差數列、中的前項和分別為、，，

．8.

解：

．

又，，，

即，．

方法：由題意，為預測期內年增長率，如果在某一時期有人口數呈下降趨勢．

故選B．9.

解：過作，垂足為，則，由題，可以為坐標原點，分別以，，

所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

，，

，，，．

因為，，

所以直線與所成角的余弦值為，故A正確．

因為，所以B正確．

因為，所以與不垂直，故C不正確．

設點到直線的距離為，則，

即點到直線的距離為，故D正確．

10.

解：若，則，則曲線：，表示圓，

若，則，則曲線：，表示橢圓，

若，則，則曲線：，表示兩條直線，

若，則，則曲線：，表示雙曲線，故A錯誤；

B.若，則曲線：，此時，，則，所以曲線的焦點坐標為和，故B正確；

C.若，則，此時，則，

曲線的離心率，則，故C正確；

D.若方程表示的曲線是雙曲線，則，則，此時雙曲線表示焦點在軸上的雙曲線，且，，，則的最小值為，所以焦距的最小值為，故D正確．11.

解：由直線：，得，

由，解得，過定點，故A正確；

被截得的弦長最長時，圓心在直線上，

此時，即，故B錯誤；

由圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得或，故C錯誤；

與相切時，記兩種情形下的兩個切點分別為、，

不妨設與圓相切于，當時，直線的斜率為，

設，則，可得，

則，

，故D正確．

故選AD．12.

解：由即為，可化為，由，則，

可得數列是首項為，公比為的等比數列，則，即，又

，

可得，故A錯誤，，，D正確．故選BCD．13.

解：由題意作示意圖，如下圖，

設，直線的斜率為，

直線與線段有公共點且過點，

當直線的傾斜角小于時，有，

當直線的傾斜角大于時，有，

而，．

，

直線的斜率的取值范圍是．

故答案為：．14.

解：設的外接圓的方程為：，

把，，三點代入，得，

解得，，，

外接圓的方程為：，即．

故答案為：．15.

解：由題意得，即，

故該雙曲線的兩個焦點分別為和，

則恰好為雙曲線的右焦點，

設為雙曲線的左焦點，連接與雙曲線右支交于點，如圖所示：

則點即為港口所在位置，

由雙曲線的定義可得，即，

則，

當且僅當，，三點共線時，取得最小值，此時港口到兩油氣井的距離之和最小，

，，

，

則直線，

聯立，整理得，

，

解得或，

，

，

將代入直線方程得，

故點的坐標為，即港口的位置為．

故答案為：．16.

解：因為的前項和，

因為是公差為的等差數列，設首項為；是公比為的等比數列，設首項為，

所以的通項公式，

所以其前項和：，

中，當公比時，其前項和，

所以的前項和，

顯然沒有出現，所以，

則的前項和為：，

所以，

由兩邊對應項相等可得：解得：，，，，

所以，

故答案為：．17.解：是等差數列，是等比數列，公比大于．

設等差數列的公差為，等比數列的公比為，．

由題意可得：；

解得：，，

故，；

數列滿足

令，

則

，

得：

；

故

18.解：，所以，所以，，，所以直線與所成角的余弦值為．19.解：設點，則解得所以點關于直線對稱的點的坐標為．若直線過點，且使得點到直線的距離最大，則直線與過點，的直線垂直，所以直線的斜率，故直線的方程為，即．，因為的面積為，所以的邊上的高，又點在直線上，直線與直線垂直，所以點到直線的距離為．易知直線的方程為，設，則，即或，

又，解得或則直線的方程為或．20.解：設圓的標準方程為，依題意可得，解得，圓的標準方