第二講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

■雙基自測(cè)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)

基本事實(shí)1.一不共線一的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.

基本事實(shí)2.如果一條直線上的馬仝點(diǎn)—在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這

個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且一只有一條

過該點(diǎn)的公共直線.

推論1.經(jīng)過一條直線和一這條直線外一點(diǎn)一，有且只有一個(gè)平面.

推論2.經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3.經(jīng)過兩條.平行一直線,有且只有一個(gè)平面.

知識(shí)點(diǎn)二空間點(diǎn)'直線'平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面

----------a

平行圖形語言Z=F%~~7

A__z/7%7

關(guān)系

符號(hào)語言a//ba//aa∕∕β

相交圖形語言

關(guān)系

符號(hào)語言tz∩?=Aα∩α=AO.∩B=I

獨(dú)有圖形語言

關(guān)系

符號(hào)語言a,b是異面直線aUa

知識(shí)點(diǎn)三異面直線所成角、基本事實(shí)4及等角定理

(1)異面直線所成的角

①定義：設(shè)α,人是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)。作直線，〃小b'

〃4把α'與》所成的銳角或直角叫做異面直線α與力所成的角.

②范圍：(0,I，

(2)基本事實(shí)4.(平行公理)

平行于同一條直線的兩條直線.平行一.

(3)等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角.相等或互補(bǔ)，.

歸納拓展

異面直線的判定定理

過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面

直線.

用符號(hào)可表示為：

若/Uα,A?α,B≡a,B冊(cè),則直線AB與/是異面直線(如圖).

雙基自測(cè)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“義”)

(1)如果兩個(gè)不重合的平面α,夕有一條公共直線α,就說平面α,夕相交，并

記作aCβ=a.(√)

(2)兩個(gè)平面ɑ,用有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說α,夕相交于過A點(diǎn)的任意一條直

線?(X)

(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.(×)

(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.(√)

(5)兩兩相交的三條直線共面.(×)

(6)若α,8是兩條直線，ɑ,α是兩個(gè)平面，且αUα,bu[3,則人是異面

直線?(X)

題組二走進(jìn)教材

2.(必修2P147例1)如圖所示,在正方體ABCD—Aι5ιCiZh中,E,F分別是

AB,AO的中點(diǎn)，則異面直線BC與E/所成角的大小為(C)

A.30oB.45o

C.60oD.90o

［解析］連接BQι,D?C,則BiD/EG故乙DlBC即為所求的角.又BIDl

=BiC=DiC,.?.Z?BOC為等邊三角形，.,.NOIBIC=60。.故選C.

3.泌修2P∣34例1）如圖，在三棱錐A—BCD中，E,F,G,"分別是棱A5,

BC,CD,D4上的點(diǎn).

（1）若鏤=需且寡=等，則E、F、G、〃是否共面？共面.

LLL>nUrDLrU

（2）若區(qū)F、G、”分別為棱A3、BC、CD、QA的中點(diǎn)，①當(dāng)AC,BD滿

足條件AC=BD時(shí),四邊形EFGH為菱形；②當(dāng)AC,8。滿足條件AC=BD

且ACLB。時(shí),四邊形EFG”為正方形.

題組三走向高考

4.（2019?新課標(biāo)川）如圖，點(diǎn)、N為正方形ABCD的中心，Z?ECO為正三角形，

平面ECD，平面ABC。，M是線段Eo的中點(diǎn)，則（B）

A.BM=EN,且直線8M,EN是相交直線

B.BM≠EN,且直線6M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

［解析］連BD、BE,則8。過點(diǎn)N,：點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，XECD

為正三角形，

心

M是線段E。的中點(diǎn)，

.?BMU平面BDE,ENU平面BDE,

?；BM是ABDE中DE邊上的中線，EN是ABDE中8。邊上的中線，

二直線3M,EN是相交直線，

設(shè)DE=a,則BD=√2α,

：平面EC。，平面ABCD,

5.(2021.全國(guó)高考)在正方體ABCD-AiBCQ中，P為BQ的中點(diǎn)，則直

線PB與ADi所成的角為(D)

?ππ

B.

?-23

［解析］解法一：如圖，連接BCi,PCi,因?yàn)锳Oi〃BCI,

巷

所以NPBCI或其補(bǔ)角為直線PB與ADi所成的角,

因?yàn)開L平面AbBlCIDi,所以88」PCl,又BBi∩3QI=Bι,

所以PCj_平面PBB∣,所以PC_LP&

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,貝IJBCI=2啦，PC1=∣DιBι=√2,

SinNpBcj=%1■=',所以NP8。=^.故選D.

￡)C1ZO

解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則助1=(—2,0,2),

B>=(-l,-1,2),記PB與ADl所成角仇貝IJ

宿

c[AD∣?B>∣6√3

C(^=

TT

'.θ=^7,故選

OD.

?互動(dòng)探究

考點(diǎn)一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用—自主練透

例1如圖所示，在正方體ABCo-ClZ)I中，E,R分別是A&AAl的中

點(diǎn).求證：

(I)E,C,D?,產(chǎn)四點(diǎn)共面；

(2)CE,D?F,D4三線共點(diǎn).

［解析］(1)如圖，連接防，CDι,AiB.

因?yàn)镋,F分別是AB,AAl的中點(diǎn)，所以

又43〃CDi,所以EF〃COi,

所以E,C,Di,E四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)镋/〃COi,EF<CD?,

所以CE與。砂必相交，

設(shè)交點(diǎn)為P,則由P∈CE,CEU平面A6C。，得P∈平面ABeD

同理P∈平面AOO∣4.

又平面ABCDn平面ADDIAI=DA,

所以P∈直線DA.

所以CE,D?F,D4三線共點(diǎn).

名嬸A披MINGSHIDIANBO

1.證明空間點(diǎn)共線問題的方法

(D基本事實(shí)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基

本事實(shí)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.

(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線

上.

2.點(diǎn)、線共面的常用判定方法

(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).

(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

3.證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他

直線經(jīng)過該點(diǎn).

〔變式訓(xùn)練1〕

(多選題)如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四

個(gè)點(diǎn)共面的是(ABC)

［解析］在A圖中分別連接PS,QR,易證PS〃QR,Q,R,S共面;

在C圖中分別連接PQ,RS,易證PQ〃RS,/.P,Q,R,S共面；如圖所示，

在B圖中過P,Q,R,S可作一正六邊形，故四點(diǎn)共面；D圖中PS與QR為異

面直線，,四點(diǎn)不共面，故選ABC.

考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系——師生共研

例2(1)(多選題)在圖中，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中

點(diǎn)，則表示直線GH,MN是異面直線的圖形是(BD)

(2)如圖所示，正方體ABC。一AIBICIQI中，M,N分別為棱Cjo∣,ClC的

中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：

①直線AM與CCi是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MBl是異面直線；

④直線AM與DDi是異面直線.

其中正確的結(jié)論為③④(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上).

［解析］(1)圖A中，直線G7/〃MN；

圖B中，G,H,N三點(diǎn)共面，但M在平面GHN,N告HG,因此直線GH與

MN異面；圖C中，連接MG,GM//HN,因此GH與MN共面；

圖D中，G,M,N共面，但用平面GMMG莊MN因此GH與MN異面，

故選BD.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDDICI外，點(diǎn)M在平面CDDIa內(nèi)，直線CG在平面

Cr)DIG內(nèi)，CG不過點(diǎn)M,所以AM與CG是異面直線，故①錯(cuò)；取。。∣中點(diǎn)

E,連接AE,則BN〃AE,但AE與AM相交，故②錯(cuò)；因?yàn)?與BN都在平面

BCGB內(nèi)，M在平面BCGBl外，BN不過點(diǎn)Bi,所以BN與Ma是異面直線，

故③正確；同理④正確，故填③④.

名幃點(diǎn)披MINGSHIDIANBO

1.異面直線的判定方法

(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假

設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.此法

在異面直線的判定中經(jīng)常用到.

(2)判定定理法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B

的直線是異面直線.

2.判定平行直線的常用方法

(1)三角形中位線的性質(zhì).

(2)平行四邊形的對(duì)邊平行.

(3)平行線分線段成比例定理.

(4)公理:?a//b,h//c,則a〃c.

〔變式訓(xùn)練2〕

(多選題)如圖為正方體表面的一種展開圖，則在原正方體中，下列說法正確

的是(ACD)

A.AB與CD是異面直線

B.GH與B。相交

C.EF//CD

D.Eb與G”是異面直線

［解析］畫出該正方體的直觀圖如圖所示，其中異面直線有AB與C。、GH

與BD、EF與GH,顯然EF//CD,故選ACD.

考點(diǎn)三異面直線所成的角——師生共研

例3(1)(2021?廣西玉林模擬)如圖,正方體ABCD-A出CIDI中,E,F分別

為4囪，CO的中點(diǎn)，則異面直線OlE與AIF所成的角的余弦值為(A)

D.

(2)Q022?山西呂梁模擬)如圖正三棱柱ABC—4BG的各棱長(zhǎng)相等，。為A4∣

的中點(diǎn)，則異面直線48與ClO所成的角為(D)

⑶若兩條異面直線。所成角為60。，則過空間一點(diǎn)O與兩異面直線a、b

所成角都為60。的直線有3條.

［解析］（1）解法一：（平移法）

如圖，連接BE,BF、D?F,

由題意知四邊形BED砂為平行四邊形，

.?DiE∕∕BF,

NAlFB即為異面直線DlE與AIJF所成的角（或其補(bǔ)角）.

連接A山,設(shè)AB=2,

則在AAiB尸中，AιB=2√2,BF=√5,

A?F=y∣AAHAD2+DFq=3,

./AF2+8-一4笈9+5—8√5

?.cosNAM=-2?AF?BF—=2X3X小=5'

二異面直線?；cAIf'所成的角的余弦值為手.故選A.

解法二：（向量法）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

異面直線。石與A砂所成角為θ,

則浜=(2,1,0),/0=(-2,1,-2),

…血量面=心=雪

.故選A.

∣?∣?∣Λ7F∣小X35

(2)解法一：連BQ交AlB于"，GM=∣GBι,連接BM,由。是A4ι

的中八、、易知HBI-BBI~2~B?M'

.?MH^C?D.

.?.N3"M即為異面直線CiD

與AIB所成的角或其補(bǔ)角.

設(shè)正三棱柱的各棱長(zhǎng)為2。

noCP44'32c16〃52a2

則BH1=gA1B2=-ga92,BMiZ>2=-^-+4a2=-g-,

420∕72

222

HM2=§DG=方~,.?BH+HM=BM9

TrTT

：.NBHM=芻即異面直線48與GO所成的角為全故選D.

解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，且設(shè)正三棱柱各棱長(zhǎng)為20.

則O(2α,0,a),Ci(0,0,0),Aι(2α,0,0),B(α,y∣3a,2a),則dil)=(2α,0,a),A?B

=(-a,γ∣3a,2a),記異面直線48與所成的角為仇則COSg」。。，4I

∣GD∣?∣A]B1

0,

TT

故選D.

解法三(向量法基本向量法)：設(shè)正三棱柱各棱長(zhǎng)為2,記A；京=α,AlCi

=b,ALA=C,

則⑷=步I=ICl=2,且α?i>=2,α?c=O,b?c=O,又與方=α+c,C?D=^c~b,

-?-?二7z?c—a?b-二c2—h?c

記G與血所成的角為仇則cos。=坐空^—T—=。，

?A↑B?'?C↑D?∣α+c∣?呼一〃

JT

故選D.

注：為便于“平移一作角”常將三棱柱補(bǔ)形成平行六面體，將三棱錐補(bǔ)形成

三棱柱(如圖)請(qǐng)同學(xué)們自己完成解答.

(3)如圖，過。分別作α'//a,b'//b,

則/,b)所成角為60。，

如圖易知過。與α'、b'所成角都為60。的直線有3條，

即與α,匕所成角都為60。的直線有3條.

［引申］本例(3)中與異面直線a、b所成角都為75。的直線有4條.

注：與異面直線所成角都為6,則

JT

⑴o<o<d時(shí)，0條；

TT

(2)0=4時(shí)，1條；

JlJl

(3)g<0<w時(shí)，2條；

JT

(4)。=?時(shí)，3條；

JTJT

(5)]<6<2時(shí)，4條；

(6)。=齊寸，1條.

名帥點(diǎn)帔MINGSHIDIANBO

求異面直線所成角的方法

1.定義法

定義法求異面直線所成角的步驟

(1)找或作：在圖中找或平移異面直線中的一條或兩條構(gòu)造異面直線所成的

角.

(2)證：說明所作的角是異面直線所成的角.

(3)算：尋找或作出含有此角的三角形并解之.

(4)取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是0。<。或90。，所以所作的角為

鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

2.向量法

向量法又分為坐標(biāo)法和基本向量法，利用公式ICOSel=盟求出異面直線的

方向向量的夾角.若向量夾角是銳角或直角，則該角即為異面直線所成角；若向

量夾角是鈍角，則異面直線所成的角為該角的補(bǔ)角.

〔變式訓(xùn)練3〕

(l)(2022?重慶育才中學(xué)診斷)如圖所示，已知空間四邊形ABC。，AC與8。

所成角為60。，且AC=BD=2,E、/分別為BGA。的中點(diǎn)，則EE=(C)

A.1B.√3

c.1或√5D.2或小

⑵(2022.河北衡水檢測(cè))如圖，在圓錐S。中，45,Co為底面圓的兩條直徑,

AB∩CO=O,且AB，CO,SO=OB=3,SE=?sB,則異面直線SC與。E所成

角的正切值為(D)

A迤

??.2BY

-ItD-羋

［解析］(1)取Cr)的中點(diǎn)”，連EH、HF,由題意知E“統(tǒng);8D=1,HF統(tǒng);

AC=I,

：./EHF為AC,3。所成的角或其補(bǔ)角.

二NE"/7=60。或120°.

當(dāng)NE"∕=60°時(shí)，EF=I;當(dāng)NE4F=120°時(shí)，EF=小.故選C.

(2)解法一：如圖，過點(diǎn)S作Sb〃。民交AB于點(diǎn)憶連接CE則NCSF(或

其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角.

因?yàn)镾E=]SB,

所以SE=WBE.

又OB=3,所以O(shè)F=B=L

因?yàn)镾OLOC,S。=OC=3.

所以SC=36，因?yàn)镾oj_?！?/p>

所以SF=y∣S02+0F2=√10.

因?yàn)镺CLOF,所以CF=?.

所以在等腰三角形Sb中，

解法二(向量法)：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則屈=(0,-3,3),OE=

記異面直線SC與。E所成角為仇則cos0=?。El=靖

∣CS∣?∣(9E∣

從而sinθ=?∣1—cos20=-^^,故tan。=興3=中?.故選D.

??JLU>?JJ

??f?≡l幾何體的截J面問題

例4(1)若E、F、H分別為正方體ABCD-AiBiCiDi的棱AB,CCi,AiDi

的中點(diǎn)，則過AF、H三點(diǎn)的截面圖形是正六邊形.

(2)(2022?江西紅色七校聯(lián)考)已知正三棱錐A—BCO的外接球是球。,BC=I,

AB=*,點(diǎn)E為BD中點(diǎn),過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值

一

_兀

是

范Γ?

Π∏_4π

,

一4-τ

［解析］(1)取AIB的中點(diǎn)M,連EM,連MCI、￡廠并延長(zhǎng)交于Q,作直線

HQ交ClDl于N,交BAl的延長(zhǎng)線于S,作直線SE交4A于P,交的延長(zhǎng)

線于R,連FR交BC于M,連EM、FN、HP得過E、F、H三點(diǎn)的截面EMFNHP,

易證EMFNHP為正六邊形.

(2)如圖，設(shè)aBCO的中心為。，球。的半徑為R,連接。O,0D,OiE,

九2?/?_________

0E,則OiD=1XS嗚XW=為-,A0?=y∣AD2~O?D2=1

在RtAOOiD中，

R2=停卜（1-H）2,

2

解得R=東

所以O(shè)oI=AoLR=g,

0?E=1XSinmX]=g,