專題四

立體幾何第8講

立體幾何中的證明問題考向分析備考建議回歸教材高頻考點突破高考回眸限時訓練第8講

立體幾何中的證明問題考向分析1.從內容上看，主要考查：直線和平面平行與垂直的判定和性質.2.從題型來看，有選擇題，難度適中，解答題多以直棱柱、三棱錐、四棱錐等幾何體為載體，難度稍大.3.從能力看，一是著重考查空間想象能力，即對空間幾何體的觀察分析和空間想象的能力，要求“四會”：①會識圖.根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系；②會畫圖.根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實分明；③會拆圖.對圖形進行必要的分解、組合；④會用圖.對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或實行割補術.二是考查推理論證能力及轉化與化歸思想.4.從素養看，主要考查直觀想象，邏揖推理等核心素養.第8講

立體幾何中的證明問題備考建議1.熟練掌握直線與平面平行（或垂直）有關的判定定理，它是判斷線面平行（或垂直）的主要依據之一，通過直線與直線平行（或垂直）得到直線與平面平行（或垂直），體現了立體幾何的轉化與化歸思想.2.熟練掌握直線與平面平行（或垂直）的性質定理、平面與平面平行（或垂直）的性質定理，其實質是兩條直線平行（或垂直）的判定定理，性質定理與判定定理的結合運用是解決平行（或垂直）問題的關鍵.3.證明平行（或垂直）關系通常從現有直線中尋找平行（或垂直）關系，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，同時要注意線線、線面、面面平行（或垂直）轉化思想的應用.第8講

立體幾何中的證明問題回歸教材

【分析】首先將正方體的展開圖還原成正方體，由經過平面外一點和平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線，進行判斷.

【點評】本題考查的是異面直線的判定，將正方體的展開圖還原成正方體，再利用異面直線的判定定理判斷是解題的關鍵，是基礎題.

外

中點

垂

【點評】本題考查了四面體這一幾何體，主要從線面垂直這一位置關系進行考查，需要一定的空間想象能力.

【點評】本題主要考查空間直線平面平行位置關系，考查學生對這些知識的理解掌握水平.

【分析】寫出命題，根據面面垂直的性質得線面垂直，根據線面平行的性質得線線垂直，結合線面垂直關系證明線線垂直.

【點評】此題考查線面平行的性質，面面垂直的性質，考查對線面平行、線面垂直、面面垂直性質的綜合應用.第8講

立體幾何中的證明問題高頻考點突破考點一

直線、平面平行的判定和性質

【分析】利用三角形中位線證明線線平行，結合線面平行判定定理，從而得線面平行；

【分析】結合面面平行判定定理來確定動點位置，并證明面面平行.

【點評】第（1）問考查線面平行判定定理，第（2）問先猜后證或利用面面平行的性質定理尋找線線平行.［小結］一、有關平行的證明方法線線平行的證明方法：（1）利用平面幾何知識，如：構造三角形的中位線，構造平行四邊形，利用相似比尋找線線平行；（2）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行；（3）利用直線與平面平行的性質定理尋找線線平行；（4）利用平面與平面平行的性質定理尋找線線平行；（5）利用直線與直線垂直的性質定理尋找線線平行.

二、注意用好線面平行、面面平行性質定理證明線線平行，常常將線面平行轉化為該線與過該線的一個平面和已知平面的交線平行.在應用線面平行的性質定理進行平行轉化時，一定注意定理成立的條件，通常應嚴格按照定理成立的條件規范書寫步驟，如：把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行.證明直線與平面平行常利用面面平行的性質，關鍵是構造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形.三、線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示四、空間位置平行關系的向量表示位置關系向量表示考點二

直線、平面垂直的判定和性質

【分析】要證面面垂直，關鍵是到其中一個平面內找（作）一條直線，再證該直線垂直于另一個平面.

【點評】垂直關系綜合題的類型及解法：(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.(2)垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積.［小結］一、有關垂直的證明方法線線垂直的證明方法：（1）證兩相交直線垂直常利用平面幾何知識，如：等腰三角形（等邊三角形）的“三線合一”，勾股定理的逆定理等；（2）證兩相交直線垂直常通過證線面垂直證線線垂直；（3）平移法.

二、注意用好線面垂直、面面垂直性質定理證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直，證明線面垂直常利用面面垂直的性質定理，轉化時，一定注意定理成立的條件，通常應嚴格按照定理成立的條件規范書寫步驟.三、垂直、平行關系的相互轉化四、空間垂直關系的向量表示位置關系向量表示考點三

平行與垂直的綜合問題

【點評】求解垂直與平行結合的問題時應注意：（1）平行、垂直的性質及判定定理的綜合應用.如果有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.（2）用幾何法求二面角時,關鍵是可利用線面垂直關系作出二面角的平面角.考點四

與平行（或垂直）有關的探究性問題

【點評】與探索性問題有關的解題策略：(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識找點.第8講

立體幾何中的證明問題高考回眸

【命題立意】本題考查線線平行，已知二面角求參數問題，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素養,屬于中等題.

【命題立意】本題主要考查了線線、線面和面面垂直的性質與判定及二面角的求法，考查直觀想象、邏輯推理與數學運算能力，屬于中等題.第8講

立體幾何中的證明問題限時訓練A組

基礎演練

CA.4

B.3

C.2

D.1

A

B

A

BD

③⑤②⑤