高三上學期期末考試數學試卷-附答案解析

班級:姓名：考號：

一、單選題

1.設全集U={xeMx<6},集合A={l,2,3},5={1,4},則品(AUB)等于()

A.{1,2,3,4}B.{5}C.{2,4}D.{0,5}

2.生物入侵指生物由原生存地入侵到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統造成危害的現象.若某入

侵物種的個體平均繁殖數量為。，一年四季均可繁殖，繁殖間隔T為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間.在物

種入侵初期，可用對數模型K(")=∕∏n〃來描述該物種累計繁殖數量〃與入侵時間K(單位：天)之間的對

應關系，且。=9+1,在物種入侵初期，基于現有數據得出。=9和T=80.據此，累計繁殖數量比現有數

據增加3倍所需要的時間約為(如2≈0.69,ln3≈1.10)()

A.6.9天B.ILO天C.13.8天D.22.0天

3.“a=-1”是“直線"+4y-3=0與直線4：x+(a-3)y+2=0平行的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

l,x>0

4.已知符號函數SgnX=?0,x=0,偶函數滿足"x+2)=∕(x),當xe[θ,l]時〃x)=x,則()

-l,x<0

?.sgn[∕(x)]>O

C.sgn[∕(2?+l)]=l(?∈Z)

D.sg∏[.∕'(?)]=∣sgn?∣(Ar∈Z)

5.己知函數/(x)是定義在R上的奇函數/(-x)-∕(2+x)=0,當x∈(0,l]時f(x)=k>g2X,則

A.-3B.—1C.2D.3

6.已知函數"x)=log2∣依-Z的圖象關于直線x=2對稱，則函數f(X)圖象的大致形狀為()

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A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(-∞,-l),(2,+∞)D.(→Λ,-2)L(1,-K3O)

8.下列關于命題的說法錯誤的是

A.命題“若Y-3x+2=0,則X=I”的逆否命題為“若XH1,則χ2-3χ+2≠0”

B.,,a=2"是"函數/(x)=bg。x∕E區(qū)間(O,+")上為增函數”的充分不必要條件

C.若命題P:3w∈N.2">1000.貝l]rp:V〃￡N.2w≤1000

D.命題“3XW(YC,0),2*<3,"是其命題

9.曲線y=(qc+2)e，在點(0,2)處的切線方程為y=-2x+b,則曲=()

A.-4B.-8C.4D.8

10.已知定義在R上的偶函數/(X),其導函數為了'(X),若礦(X)-2∕(x)>0,/(-2)=1則不等式綽<?

Jr4

的解集是()

A.(-2,2)B.(-∞,-2)j(2,+oo)

C.(-2,0)50,2)D.(-∞,0)(0,2)

11.關于函數/(x)=?y2,有如下列結論：①函數"X)有極小值也有最小值；②函數“X)有且只有

兩個不同的零點；③當-2e7<?∣■時/(X)=氏恰有三個實根；④若xe[()習時/(x)M=*則f的最小值

為2.其中IPg結論的個數是()

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?.1B.2C.3D.4

544

12.已知函數/(x)={,若存在實數為，χ2.χ3.V4(演</<Q<%)滿足

∣log2(x-l)∣,x>-

fW≈/(Λ2)=/(X3)=∕?)=/n,則()

A.0<m≤lB.χ∣+χ2=1

>0

C.X3X4-X3-X4=θD.A3X4

二、填空題

13.命題“雙2—2以一3>0不成立”是真命題，則實數〃的取值范圍是.

14.在AABC中，點。是3C的三等分點IO4=2網，過點。的直線分別交直線AB,AC于點E,F,且

AB=ιnAE>AC=nAF(ATI>O,〃>0),若—I—>0)的最小值為3,則正數，的值為.

mn

15.已知函數/(x)=∕+2x-2SinX,則不等式/(6-5x)+∕(Y)≤0的解集為

?x>0

16.己知/(X)=e*'一，若關于X的方程/(x)="有3個不同實根，則實數。取值范圍為.

3X-X3,X<0

三、解答題

17.化簡求值：

2712

m（T（）1116

Iyl+乃+Iog2--Iog4-

_,,、2sin(ι-a)+Sin—+a一

(2)已知tanα=?2,求(2J的值.

cos(-a)+sin(a-3萬)

18.己知定義域為R的函數/(x)=9∣ι是奇函數.

(1)求實數。、6的值；

(2)判斷函數/(x)在R的單調性并給予證明;

(3)求函數/(x)的值域.

19.已知函數/(x)=e'—at—1.

⑴當α=1時求/(X)的單調區(qū)間與極值;

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⑵若/(x)≤χ2在XWo,+∞)上有解，求實數a的取值范圍.

20.已知：函數/(x)=(Or+1)In(X)-依.

(1)當α=l時討論函數/(x)的單調性；

(2)若AX)在Xe(O,+∞)上單調遞增，求實數”的取值范圍.

21.已知函數/(x)=x3+xT6.

(1)求曲線y=∕(x)在點(2,-6)處的切線方程；

(2)直線/為曲線y=f(χ)的切線，且經過原點，求直線/的方程及切點坐標.

22.已知函數/(x)=In尤+αχ2+(α+2)x和4eR.

⑴當a=-2時討論/(x)的單調性；

(2)當a<0時若關于X的不等式f(x)≤-*+A-l恒成立，求實數b的取值范圍；

(3)設"∈N時證明：ln(n+l)≥2f→→∣++?-)-n?n2.

參考答案與解析

1.D

【分析】求出全集U和/IJB,由此能求出務(HJB出

【詳解】解：?.?全集U={xeN∣x<6}={0.1,2,3,4.5)

集合4={1,2,3},S={l.4}

，UB={1,2.3,4}

.￠.QUB)={0,5}.

故選：D.

2.C

【分析】根據Q=[+l,Q=9與T=80,求得2,進而得到K(")=∕?”求解.

/1

【詳解】因為。=1+1，Q=9與τ=8θ

?

QA

所以9=當+1

A

解得/1=10.

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設初始時間為周,初始累計繁殖數量為〃，累計繁殖數量增加3倍后的時間為K2

則K2-Kt?λln^n)-λlnn=λln4=20ln2≈13.8天.

故選：C

3.A

【分析】求出當時實數〃的值，再利用集合的包含關系判斷可得出結論.

【詳解】當“〃2時々(a—3)=4,即3α-4=0,解得α=T或4?

當α=T時直線4的方程為x-4y+3=0,直線4的方程為x-4y+2=0,此時〃/公

3

當α=4時直線4的方程為x+y—7=0,直線的方程為x+y+2=0,此時“/和

4

因為{τ}{-1,4},因此，=是“直線4：奴+4y-3=0與直線3x+(α-3)y+2=0平行”的充分不

必要條件.

故選：A.

4.C

【分析】利用特殊值法可判斷AD選項；利用函數的周期性以及題中定義可判斷BC選項.

【詳解】對于A選項sgn[/(O)]=SgnO=O,A錯；

對于B選項/(等)=/(101°+￡|=/]￡|=3,B錯；

對于C選項,對任意的keZ,/(2?+l)=∕(l)=l則Sgnly(2%+l)]=SgnI=1,C對;

對于D選項sgn[∕(2)]=sgn[∕(θ)]=SgnO=O,而卜gn2∣=l,D錯.

故選：C.

5.D

【分析】由函數/(x)是定義在R上的奇函數，結合“-力-"2+x)=0,可得函數的周期為4,然后利用

周期和"τ)-∕(2+x)=0及奇函數的性質，分別對等),/停)化簡，使其自變量在區(qū)間(0川上，然

后代入解析式中求解即可

【詳解】解：因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，所以/(x)+/(T)=O

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因為F(T)-√(2+x)=0,所以f(τ)=∕(2+x)

所以/(X)=-/(2+x),所以/(2+x)=-/(4+X)

所以/O)=/(4+X),所以/(x)的周期為4

所以《等)=小019+』小x504+3+Jf(J{Jτ出

?(+xm

因為當Xe(0,1］時/(X)=log,X

所蛆警卜尼卜?個)

,1,1

=-Iog2--Iog2-

=Iog22+log,4=3

故選：D

6.A

【分析】根據函數圖象的變換和/(x)=logj以-2|的圖象關于χ=2對稱得到2a-2=0,BPw=I,然后再根

據對數函數的圖象和圖象的變換判斷即可.

【詳解】因為/(x)=log2麻-2|的圖象關于x=2對稱,所以2a-2=0,解得α=l,5l∣J∕(x)=Iog2∣x-2∣所

以/(χ)的圖象可由函數y=iogzX的圖象沿V軸翻折，再向右平移2個單位得到.

故選：A.

7.B

【分析】先判斷函數/(x)的奇偶性和單調性，再利用函數的單調性化簡得-3<2x+l<3,解不等式即得解.

【詳解】因為"r)=?√(x),所以"x)是奇函數

當x>0時〃X)=產=4-4是增函數，此時f(x)>O

1+xl+x

又/(0)=0

所以f(x)在R上是增函數.又因為/(-3)=-3/⑶=3

所以一3</(2x+l)<3可化為/(-3)<∕(2x+l)</(3)

所以-3<2x+l<3

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解得-2<x<l.

故選：B

8.D

【分析】利用原命題與逆否命題的關系可判斷出A選項的正誤；根據充分必要性判斷出B選項的正誤；利

用特稱命題的否定可判斷出C選項的正誤；利用作商法和指數函數的單調性可判斷出D選項的正誤.

【詳解】對于A選項，命題的逆否命題，只需把原命題的結論否定當條件，條件否定當結論即可，A選項正

確；

對于B選項,若函數〃x)=Iog“x在區(qū)間(0,+8)上為增函數,則a>l,所以，“a=2"是"函數"x)=lOgaX

在區(qū)間(0,+e)上為增函數”的充分不必要條件，B選項正確；

對于C選項，特稱命題的否定為全稱，C選項正確；

對于D選項，當x<0時由于函數T￡),為增函數，則|^=圖'<圖°=1；2>33D選項錯誤.故選

D.

【點睛】本題考查四種命題的關系、充分不必要條件的判斷、特稱命題的否定以及特稱命題真假的判斷，

考查邏輯推理能力，屬于中等題.

9.B

【解析】求函數導數，利用切線斜率求出“，根據切線過點(0,2)求出。即可.

【詳解】因為y=(0r+2)e*

所以y=e*(ατ+2+α)

故攵=Wx=O=2+。=-2

解得α=-4

又切線過點(0,2)

所以2=-2x0+"解得b=2

所以必=-8

故選：B

【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.

10.C

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【解析】構造函數令g(χ)=冬，依題意知g(x)為偶函數且在區(qū)間(0,+8)單調遞增；不等式

駕Cog(X)<g⑵，利用單調性脫去"g'’即可求得不等式的解集.

AT4xi4

【詳解】解：令g(χ)=華，則g,(X)=x7'(X)=2?√'(x)=?叫2/(幻

JrXX

因為W(X)-2∕(x)>0

所以，當%>0時g'(θ>0,即g(x)在區(qū)間(0,+8)單調遞增;

又/(X)是R上的偶函數

所以g(χ)=駕是S,0)U(0,+8)上的偶函數

X

又/(2)="-2)=l;

故g⑵牛;

于是，不等式型<。化為g(χ)<&⑵

Λ-4

故∣x∣<2

解得-2<x<2,又x≠0

故選：C.

【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數奇偶性，考查化歸思想與運算能力，屬于難題.

11.C

【分析】求導后，根據((X)正負可確定“X)的單調性；根據〃力>0在(2,+8)上恒成立，結合極值和最

值的定義可知①正確；利用零點存在定理可說明②正確；作出了(χ)圖象，將問題轉化為/(χ)與y=火的交

點個數問題，采用數形結合的方式可確定③錯誤；根據圖象和函數值域可確定④正確.

[≡]&)="=CtX)B

ee

當X∈(F,-2)(2,M)時r(x)<0；當Xe(—2,2)時用x)>0；

?/(X)在(3,-2),(2,+8)上單調遞減,在(-2,2)上單調遞增；

對于①，/(X)在X=-2處取得極小值，極小值為/(-2)=-2e2<0

當x>2時Y+2x-2>0恒成立，??J(x)>O在(2,+∞)上恒成立

.?./(-2)為/(x)的最小值，則f(x)既有極小值也有最小值，①正確；

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對于②/(-3)=e3>0/(-2)=-2e2<0/(l)=l>O

e

?/(x)在(—3,-2)和(-2,1)上各有一個零點

又當x>2時/(x)>0恒成立，?/(x)有且只有兩個不同的零點，②正確;

對于③，〃2)=/，?/(x)圖象如下圖所示

由圖象可知：當-2e?vZ≤O時/(%)與V=上有且僅有兩個不同交點

即當-2e?<%≤0時/(x)=Z有且僅有兩個不等實根，③錯誤；

對于④，若xe[(),f]時/(力皿=5，結合圖象可知：/22,即f的最小值為2,④正確.

故選：C.

【點睛】方法點睛：本題考查利用導數研究函數的相關性質的問題，其中考查了方程根的個數問題，解決

此類問題的基本方法有：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根來確定根的個數；

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決：

(3)數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象,

利用數形結合的方法求解.

12.C

【分析】根據題意分段函數的定義，逐個分析即可.

q15-,53π-2兀-兀

【詳解】由一∕4x≤z得一3≤gx≤5

.,./(X)=2sin—x∈[-2,2]

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由χ>2τ>:

.?.∕(x)=∣log2(x-l)∣≥0

則m<2,A錯；

x]9*2關于X=—1對稱，??X+*2=—3，B錯；

?∣log2(xj-1)∣=∣log2(x4-l)∣

χ

ιθg2(?-1)+?ɑg?(4-1)=°

■■■?ɑg?[(?s-?)(^-?)]=0-得(WT)(X4T)=1

即X3X4-X3-X4=0，C對；

由毛*4一毛一/=0，得」-+」-=1>2]」一(」-力」-)

x

X3X4V??X34

X3Xi>4,D錯.

故選：C

13?[-3≈0]

【詳解】or?-20r-3≤0恒成立，當α=0時一3≤0成立；當〃工0時

a<0

U=4∕+12α≤0得一3紀。?3≤α≤0

14.3-√2

2121

【分析】由平面向量基本定理可得A。=期AE+%”,進而又由點E,0,尸三點共線，則三〃?+丁=1,

????

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根據“1”的作用由基本不等式的性質，可解得f的值.

【詳解】解：在.ABC中，點。是8C的三等分點IoCI=2∣O8∣

.?.AO=AB+BO=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

3333

21

AB=mAEAC=nAF??AO=-mAE+-nAF

21

OfE,尸三點共線?-m+-∕2=l

22

.1∕z1/212〃2nιt/歷■/2/222

相〃"2〃3333m3〃3Y933333

當且僅當:L=李，即2加尸=〃2時取等號，.??，+￡的最小值為￡+?

3m3nmn333

BP—+—V2z+—=3Z>O.^.ι=3-?J2.

故答案為：3-√2.

15.[2,3]

【分析】由奇偶性定義、導數判斷了(x)的奇偶性及單調性，再應用奇函數、單調性求解不等式即可.

【詳解】由題設，/(-x)=—%3—2x+2SinX=-/⑴且定義域為R,故F(X)為奇函數

又/'(x)=3/+2(1—cosx)≥O,/(χ)在定義域上遞增

.?.〃6-5x)+/(V)≤O,可得/(/)≤一〃6一5X)=/(5x-6)

Λ√-5x+6=(x-2)(x-3)≤0,解得2≤x≤3

原不等式解集為[2,3].

故答案為：[2,3].

i6?

【分析】利用導函數研究出函數y=∕(χ)的單調性，極值情況，畫出函數圖象，并將函數的根的問題轉化

為兩函數交點個數問題，數形結合求出實數”的取值范圍.

【詳解】當x≥0時f(x)=mΓW=?Ξ

當xe[0,l)時:(X)=F>0,當Xe(I,+∞)時/(力=號<0

故/(x)在xe[0,l)上單調遞增，在Xw(I,÷∞)上單調遞減

1V-

?/(i)=-,當X>O時〃對=/恒為正

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當x<0時/(x)=3x-x3∕,(x)=3—3X2=3(l+x)(l-X)

當Xe(F,—1)時r(x)=3-3χ2<0,當x∈(T,0)時r(x)=3-3/>0

故〃x)在xe(-吟-1)上單調遞減，在x∈(-l,0)上單調遞增

且/(—1)=-3+1=-2

?x≥0

畫出F(X)=ex，一的圖象如下:

3x-x3,x<O

要想關于X的方程/(x)=α有3個不同實根，則要函數y=∕(x)與y="有3個不同的交點即可

顯然當“e(θ,j時符合要求.

故答案為：［o,??

4

17.(1)—；(2)—1.

【分析】(1)根據指數與對數的運算公式求解即可;

(2)根據誘導公式，轉化為其次問題進行求解即可.

【詳解】(1)原式=IIJ+1+1。82：-1。氏3

4111

=-+l+log2-

4

9

2sina+cosα

(2)原式=

cosfz-sin(7

_2tana+1

1-tana

18.(l)a=21=l

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(2)單調遞減，證明見詳解

【分析】(1)利用"0)=0，/(l)+∕(T)=0列方程求出〃、萬的值，然后驗證函數/(x)為奇函數即可:

(2)任取χ>*2,然后通過計算/儲)-/(&)的正負來判斷證明單調性；

(3)以23>0為基礎，利用不等式的性質計算符0-金的范圍，即為函數/(x)的值域.

【詳解】(1)定義域為R的函數/(X)=等二是奇函數

2'+〃

???∕(o)=o/(1)+∕(-1)=0

.4+α1+。

x

即(?=-1L-9J-

八fx)2v+,+2

-

?r7z./?z./Xl2'1—2'1—2'2'-1_

+2Λ+,+2+2^v+,+2-2v+l+2+2+2Λ+I-

??J(χ)=黑^是奇函數

ci-2,Z?=1；

(2)由(1)得〃X)=-L1二.??=一1上+^^?,其為定義域在R上的單調減函數

v,2x+l+222x+l+2

任取士>々

ltl

2>pι22(2^-2'÷)

.?.∕(x,)-∕(x2)=^-→

2x'+,+2j[2+2t3+'+2J^(2X'+'+2)(2Λ2+I+2)

x1>x2/.xl+1>x2+1

.?.2X'+,>2Λ≈+'>0

?'?∕(x∣)-∕(?)<0>即/(xj<"w)

，函數/(x)是R上單調遞減函數:

(3),2Λ+I>0

.?.2x+l+2>2

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.?.o<——!——<—

2t+1+22

?—1<---2------1<一1

"22t+l+222

即函數"x)的值域為

19.(1)在(e,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增，函數/(x)有極小值0,無極大值

(2)a≥e-2

【分析】(1)利用導數的正負判斷函數的單調性，然后由極值的定義求解即可；

(2)分X=O和x>0兩種情況分析求解，當x>0時不等式變形為α.±-(x+3在xe［0,+助上有解，構造

XX

函數g(x)=C-(x+?L),利用導數研究函數g(x)的單調性，求解g。)的最小值，即可得到答案.

XX

(1)

當α=l時/(X)=e?r-l,所以/'(x)=e'-l

當XVO時r(x)<O;當x>0時用勾>0

所以f(χ)在(y,0)上單調遞減，在(o,y)上單調遞增

所以當X=o時函數/(χ)有極小值/(o)=o,無極大值.

(2)

因為"x)≤χ2在［0,+8)上有解

所以e*-F-0r-l≤O在［(),+a0)上有解

當X=O時不等式成立，此時q∈R

當x>0時"2亍一(X+g)在(0,+8)上有解

令小小卜力則竹午H號卜叫M

由(1)知x>0時/(x)>∕(0)=0,即/-(x+l)>O

當O<xvl時g'(x)<O;當x>l時g'(x)>O

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所以g(x)在(0,1)上單調遞減，在(l,+∞)上單調遞增

所以當X=I時g(x)mhl=e-2,所以α≥e-2

綜上可知，實數a的取值范圍是α≥e-2.

【點睛】利用導數研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構造新函數或參變量分離，利用導數

研究函數的單調性，求出最值從而求得參數的取值范圍.

20.(1)(0,+。。)單調遞增；(2)[0,e].

【解析】(1)由。=1得到/(x)=(x+l)ln(x)-x,求導r(x)=lnx+L"lnx+l,再討論其正負即可.

XX

(2)根據/(x)在Xe(O,+∞)上單調遞增，則/(》)="111*+420,Xe(O,+8)恒成立，轉化OrInX+l≥0,

X

xe(O,+∞)恒成立，令∕?(X)=Odnx+1求其最小值即可.

【詳解】(1)當。=1時/(x)=(x+l)In(X)-X

所以f'(x)=lnx+L=也土?

XX

令g(x)=xlnx+l,貝!jgz(x)=l+lnx

當O<x<g時g'(x)<。，g(x)遞減：

當X,時g'(x)>O,g(x)遞增；

所以g(χ)取得最小值才(力=1->0

所以f'(x)>O在(0,+e)上成立

所以/(x)在(0,+⑹上遞增；

(2)因為73在Xe(0,+∞)上單調遞增

所以r(x)="lnx+1zθ,xe(O,+∞)恒成立

X

即adnX+1≥(),X￡(O,÷∞)恒成立

令MX)=Odnx+1,則”(x)=Q(I+Inx)

當α>0時當0</<；時"(x)<0,MX)遞減；

當時∕f(x)>O,MX)遞增；

第15頁共18頁

所以l-4≥0

e

O<a≤e

當4<O時易知〃(X)=OXlnX+l≤l-g,不成立

?a=0時MX)=I>°成立

綜上：O≤。≤e

所以實數〃的取值范圍［0,4.

【點睛】方法點睛：1、利用導數研究函數的單調性，當f(x)不含參數時關鍵在于準確判定導數的符號；當

f(x)含參數時需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論.

2、可導函數f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數范圍問題，轉化為f'6)》0(或/6)<0)恒

成立問題，構建不等式求解，要注意“=”是否取到.

21.(1)y=l3x-32.(2)直線/的方程為y=13x,切點坐標為(—2,-26).

【分析】(1)求導，由導數在切點處的導數值可求切線斜率，根據點斜式即可求解：

(2)設切點，求出切線方程，根據切線方程經過(0,0),代入切線方程即可求解.

【詳解】(1)V42)=23+2—16=-6

點(2,-6)在曲線上.

,/f?x)=(x3+χ-l6),=3X2+∣

在點(2,-6)處的切線的斜率為?=∕,(2)=3×22+l=13.

切線的方程為y=13(L2)+(-6).

即y=13k32.

(2)設切點為(X°，％)

則直線/的斜率為/(%)=3?2+l

直線/的方程為：

y=(3xj+I)(LX0)+改；+/-16.

又：直線/過點(0,0)

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23,-

/.0=(3x0+l)(-X0)+X0+Λ016

整理得?√=-8

.*.XQ=-2,%=(—2)3+(—2)—16=-26

.*.A=3x(-2)2+1=13

???直線/的方程為y=13x,切點坐標為(一2,-26).

22.(D∕(x)在(Oq)上單調遞增，在(g+s)上單調遞減

⑵[T,÷∞)

(3)證明見解析

【分析】(1)將α=-2代入/(x),對其求導，利用導數與函數的單調性的關系即可得解;

(2)先利用導數求得〃x)的最大值，再將問題轉化為〃x)πm≤-?∣+A>-l,從而得到b≥ln1-J+/構

造函數g(t)=InfT(f>0),求得g(f)max即可得解;