第5講直線、平面垂直的判定與性質[考綱解讀]掌握線線、線面、面面垂直的判定定理和性質定理，并能應用它們證明有關空間圖形的垂直關系的簡單命題．(重點、難點)[考向預測]從近三年高考情況來看，本講是高考的必考內容．預測2021年將會以以下兩種方式進行考查：①以幾何體為載體考查線面垂直的判定和性質；②根據垂直關系的性質進行轉化．試題以解答題第一問直接考查，難度不大，屬中檔題型.1．直線與平面垂直判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條eq\o(□,\s\up3(01))相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(02))a，b?α,\o(□,\s\up3(03))a∩b＝O,\o(□,\s\up3(04))l⊥a,\o(□,\s\up3(05))l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線eq\o(□,\s\up3(06))平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(07))a⊥α,\o(□,\s\up3(08))b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的eq\o(□,\s\up3(01))一條垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(02))l⊥α,\o(□,\s\up3(03))l?β))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于eq\o(□,\s\up3(04))交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(□,\s\up3(05))α⊥β,\o(□,\s\up3(06))α∩β＝a,\o(□,\s\up3(07))l?β,\o(□,\s\up3(08))l⊥a))?l⊥α3．直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面上的eq\o(□,\s\up3(01))射影所成的eq\o(□,\s\up3(02))銳角叫做這條直線和這個平面所成的角．(2)范圍：eq\o(□,\s\up3(03))[0°，90°]．4．二面角(1)定義：從一條直線出發的eq\o(□,\s\up3(01))兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作eq\o(□,\s\up3(02))垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．(2)范圍：eq\o(□,\s\up3(03))[0°，180°]．5．必記結論(1)若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(2)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內任何一條直線．(3)過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直．(4)過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(5)兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直．(6)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．1．概念辨析(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面．()(4)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)下列命題中不正確的是()A．如果平面α⊥平面β，且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案A解析A錯誤，如圖1所示，在長方體中α⊥β，l∥α，但l?β；B正確，設α∩β＝l，則α內與l平行的直線都與β平行；C正確，由面面垂直的判定可知；D正確，如圖2所示，在平面α內，作α與γ交線的垂線m，在平面β內作β與γ的交線的垂線n，由α⊥γ得m⊥γ，由β⊥γ得n⊥γ，所以m∥n.可推出m∥β，進而推出m∥l，所以l⊥γ.(2)如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根據折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內，∴C不正確；已證平面HAG⊥平面AEF，若證HG⊥平面AEF，只需證HG⊥AG，已證AH⊥平面EFH，則易得AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG與平面AEF不垂直，∴D不正確．故選B.(3)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D答案eq\f(1,3)解析連接A1C1，則∠AC1A1為AC1與平面A1B1C1D1所成的角．因為AB＝BC＝2，所以A1B1＝B1C1＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).(4)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面，連接PA，PB，PC，AC，BD，則一定互相垂直的平面有______對．答案4解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，由于AC⊥平面PDB，所以平面PAC⊥平面PDB，共4對．題型一直線與平面的位置關系角度1直線與平面所成的角1．(2018·全國卷Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)答案C解析如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1，根據線面角的定義可知∠AC1B＝30°，因為AB＝2，eq\f(AB,BC1)＝tan30°，所以BC1＝2eq\r(3)，從而求得CC1＝eq\r(BC\o\al(2,1)－BC2)＝2eq\r(2)，所以該長方體的體積為V＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故選C.角度2直線與平面垂直的判定和性質2．(2019·鎮江模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，PC⊥底面ABCD，E為PB上一點，G為PO的中點．(1)若PD∥平面ACE，求證：E為PB的中點；(2)若AB＝eq\r(2)PC，求證：CG⊥平面PBD.證明(1)如圖，連接OE，由四邊形ABCD是正方形知，O為BD的中點，∵PD∥平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，∴PD∥OE，∵O為BD的中點，∴E為PB的中點．(2)在四棱錐P－ABCD中，AB＝eq\r(2)PC，∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝eq\f(\r(2),2)AB，∴PC＝OC，∵G為PO的中點，∴CG⊥PO.又PC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PC⊥BD.而四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AC，PC?平面PAC，AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC，又CG?平面PAC，∴BD⊥CG.∵PO，BD?平面PBD，PO∩BD＝O，∴CG⊥平面PBD.1.求直線和平面所成角的步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線.(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角.(3)把該角歸結在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．如舉例說明1.2.證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，這是主要證明方法．如舉例說明2(2).(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”.(4)利用面面垂直的性質定理.1.已知一個正四棱柱的體對角線長為eq\r(6)，且體對角線與底面所成的角的余弦值為eq\f(\r(3),3)，則該四棱柱的表面積為________.答案10解析由圖可知，BD＝eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝eq\r(2)，DD1＝eq\r(BD\o\al(2,1)－BD2)＝eq\r(6－2)＝2，底面邊長AB＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以所求表面積為4AA1·AB＋2AB2＝4×2×1＋2×12＝10.2．如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明(1)如圖所示，取AB的中點E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點.∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.題型二面面垂直的判定與性質1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A，B兩點的任意一點，且AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，則二面角A－BC－P的大小為________.答案60°解析因為AB為⊙O的直徑，所以AC⊥BC，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，可求得BC⊥PC，所以∠PCA為二面角A－BC－P的平面角．因為∠ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(3).所以∠PCA＝60°.結論探究在本例的條件下，二面角A－PB－C的正切值為________.答案eq\f(\r(7),3)解析如圖，過A作AF⊥PC，垂足為F，過F作FE⊥PB，垂足為E，連接AE，由舉例說明1易得BC⊥平面PAC.又AF?平面PAC，所以AF⊥BC.又PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.所以PB⊥AF，又PB⊥EF，AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥AE，所以∠AEF為二面角A－PB－C的平面角，在Rt△PAC中，AC＝1，PA＝eq\r(3)，∠PAC＝90°.所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(3)，所以∠PCA＝60°，所以CF＝1×cos60°＝eq\f(1,2)，AF＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2).在Rt△PBC中，PC＝2，BC＝eq\r(3)，∠PCB＝90°，PB＝eq\r(7).由△PEF∽△PCB得eq\f(EF,BC)＝eq\f(PF,PB)，易知PF＝eq\f(3,2)，所以eq\f(EF,\r(3))＝eq\f(\f(3,2),\r(7))，所以EF＝eq\f(3\r(21),14)，在Rt△AEF中，tan∠AEF＝eq\f(AF,EF)＝eq\f(\f(\r(3),2),\f(3\r(21),14))＝eq\f(\r(7),3)，即二面角A－PB－C的正切值為eq\f(\r(7),3).2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.證明(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB?平面PDC，CD?平面PDC，所以AB∥平面PDC，又AB?平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因為AF⊥EF，(1)中已證AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由點E在棱PC上(異于點C)，所以點F異于點D，所以AF∩AD＝A，AF，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.1.作二面角的平面角的方法(1)定義法：在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．如舉例說明1.(2)垂線法：如圖所示，作PO⊥β，垂足為O，作OA⊥l，垂足為A，連接PA，則∠PAO為二面角α－l－β的平面角.(3)補棱法：在求解二面角問題時，若構成二面角的兩個半平面沒有明確的交線，則將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線(稱為補棱)，然后借助前述的定義法或垂線法解題.(4)射影面積法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(S射影,S斜)))：二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積時，都可利用射影面積公式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(S射影,S斜)))求出二面角的大小.(5)向量法(最常用).(6)轉化為線面角：如圖，求α－l－β的二面角，即求AB與β所成的角.2．證明面面垂直的兩種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題.(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線，把問題轉化成證明線面垂直加以解決．如舉例說明2(2).如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中點，AC＝CB＝CC(1)求證：平面A1CM⊥平面ABB1A(2)求點M到平面A1CB1的距離.解(1)證明：由A1A⊥平面ABC，CM?平面ABC，得A1A⊥∵AC＝CB，M是AB的中點，∴AB⊥CM.又A1A∩AB＝A.∴CM⊥平面ABB1A又CM?平面A1CM，∴平面A1CM⊥平面ABB1(2)設點M到平面A1CB1的距離為h，由題意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2eq\r(2)，S△A1CB1＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)，S△A1MB1＝eq\f(1,2)S四邊形ABB1A1＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).由(1)可知CM⊥平面ABB1A1得VC－A1MB1＝eq\f(1,3)MC·S△A1MB1＝VM－A1CB1＝eq\f(1,3)h·S△A1CB1.∴點M到平面A1CB1的距離h＝eq\f(MC·S△A1MB1,S△A1CB1)＝eq\f(2\r(3),3).題型三平面圖形的翻折問題(2019·南昌模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，E，F是邊DC的三等分點．現將△DAE，△CBF分別沿AE，BF折起，使得平面DAE、平面CBF均與平面ABFE垂直.(1)若G為線段AB上一點，且AG＝1，求證：DG∥平面CBF；(2)求多面體CDABFE的體積.解(1)證明：如圖，分別取AE，BF的中點M，N，連接DM，CN，MG，MN，因為AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，所以DM⊥AE，且DM＝eq\f(\r(2),2).因為BC＝CF＝1，∠BCF＝90°，所以CN⊥BF，且CN＝eq\f(\r(2),2).因為平面DAE、平面CBF均與平面ABFE垂直，所以DM⊥平面ABFE，CN⊥平面ABFE，所以DM∥CN，因為AM＝AGcos45°，所以∠AMG＝90°，所以△AMG是以AG為斜邊的等腰直角三角形，故∠MGA＝45°，而∠FBA＝45°，則MG∥FB，故平面DMG∥平面CBF，則DG∥平面CBF.(2)如圖，連接BE，DF，由(1)可知，DM∥CN，且DM＝CN，則四邊形DMNC為平行四邊形，故DC＝MN＝eq\f(EF＋AB,2)＝