8.3列聯表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯表8.3.2獨立性檢驗A級必備知識基礎練1.(2022河南期中)在研究肥胖與高血壓的關系時,通過收集數據、整理分析數據得到“高血壓與肥胖有關”的結論,并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的,下列說法中正確的是()A.在100個肥胖的人中至少有99人患有高血壓B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓C.在100個高血壓患者中一定有肥胖的人D.在100個高血壓患者中可能沒有肥胖的人2.若由一個2×2列聯表中的數據計算得χ2=4.013,那么認為兩個變量有關系犯錯誤的概率不大于()α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.05 B.0.001 C.0.01 D.0.0053.針對“中學生追星問題”,某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關聯”進行了一次調查,其中女生人數是男生人數的12,男生追星的人數占男生人數的16,女生追星的人數占女生人數的23.零假設為H0:追星和性別無關聯.若依據α=0.05的獨立性檢驗認為追星和性別有關聯,則男生的人數至少為參考數據及公式如下:α0.050.010.001xα3.8416.63510.828χ2=n(A.12 B.11 C.10 D.184.某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度,隨機調查了50名男生和50名女生,每位學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價,得到如下的列聯表.零假設為H0:男、女生對該食堂的服務評價無差異.經計算χ2≈4.762,則可以推斷出()性別滿意不滿意合計男302050女401050合計7030100附:α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為4B.調研結果顯示,該學校男生比女生對食堂服務更滿意C.依據α=0.05的獨立性檢驗認為男、女生對該食堂服務的評價有差異D.依據α=0.01的獨立性檢驗認為男、女生對該食堂服務的評價有差異5.在對某小學的學生進行吃零食的調查中,得到數據如下表:性別吃零食不吃零食合計男273461女122941合計3963102根據上述數據分析,可得χ2約為.

6.在獨立性檢驗中,xα有兩個臨界值:3.841和6.635.當χ2≥3.841時,依據α=0.05的獨立性檢驗認為兩個事件有關聯;當χ2≥6.635時,依據α=0.01的獨立性檢驗認為兩個事件有關聯;當χ2<3.841時,依據α=0.05的獨立性檢驗認為兩個事件無關聯.在一項打鼾與患心臟病的調查中,共調查了2000人,零假設為H0:打鼾與患心臟病之間無關聯.經計算χ2=20.87.根據這一數據分析,我們有理由認為打鼾與患心臟病之間.(填“有關聯”或“無關聯”)

7.有人發現了一個有趣的現象,中國人的郵箱名稱里含有數字比較多,而外國人郵箱名稱里含有數字比較少.為了研究國籍和郵箱名稱里含有數字的關系,小明收集了124個郵箱名稱,其中中國人的64個,外國人的60個,中國人的郵箱中有43個含數字,外國人的郵箱中有27個含數字.(1)根據以上數據建立2×2列聯表;(2)他發現在這組數據中,外國人郵箱里含數字的也不少,他不能斷定國籍和郵箱名稱里含有數字是否有關聯,你能依據α=0.05的獨立性檢驗幫他判斷一下嗎?附:α0.100.050.01xα2.7063.8416.635B級關鍵能力提升練8.某研究所為了檢驗某血清預防感冒的作用,把500名使用了該血清的志愿者與另外500名未使用該血清的志愿者一年中的感冒記錄進行比較,零假設為H0:這種血清與預防感冒之間無關聯.利用2×2列聯表計算得χ2≈3.918.下列敘述中正確的是()A.依據α=0.05的獨立性檢驗認為這種血清與預防感冒之間有關聯B.若有人未使用該血清,則他一年中有95%的可能性得感冒C.這種血清預防感冒的有效率為95%D.這種血清預防感冒的有效率為5%9.(多選題)針對時下流行的某社交平臺,某高校對學生性別和喜歡該平臺是否有關聯進行了一次調查,其中被調查的男生、女生人數相同,男生喜歡該平臺的人數占男生人數的45,女生喜歡該平臺的人數占女生人數的35.零假設為H0:喜歡該平臺和性別無關聯.若依據α=0.05的獨立性檢驗認為喜歡該平臺和性別有關聯,則調查人數中男生的人數可能為(附表:α0.050.01xα3.8416.635附:χ2=n(A.25 B.45 C.60 D.7510.千百年來,我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化,總結了豐富的“看云識天氣”的經驗,并將這些經驗編成諺語,如“天上鉤鉤云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了所在地區A的100天日落和夜晚天氣,得到如下2×2列聯表:日落云里走夜晚天氣合計下雨未下雨出現25530未出現254570合計5050100臨界值表:α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828計算得到χ2≈19.05,下列小波對地區A天氣判斷不正確的是()A.夜晚下雨的概率約為1B.未出現“日落云里走”夜晚下雨的概率約為5C.在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下,認為“日落云里走”與“當晚下雨”有關聯D.出現“日落云里走”,在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下,認為夜晚會下雨11.某學校為了制定治理學校門口上學、放學期間家長接送孩子亂停車現象的措施,對全校學生家長進行了問卷調查.根據從中隨機抽取的50份調查問卷,得到了如下的列聯表:性別同意限定區域停車不同意限定區域停車合計男20525女101525合計302050則依據α=的獨立性檢驗認為同意限定區域停車與家長的性別有關聯.

附:χ2=n(ad-bcα0.050.0050.001xα3.8417.87910.82812.某駕駛員培訓學校為對比了解“科目二”的培訓過程采用大密度集中培訓與周末分散培訓兩種方式的效果,調查了105名學員,統計結果為:接受大密度集中培訓的55個學員中有45名學員一次考試通過,接受周末分散培訓的學員一次考試通過的有30個.根據統計結果,認為“能否一次考試通過與是否集中培訓有關”犯錯誤的概率不大于.

附:χ2=n(α0.050.0100.001xα3.8416.63510.82813.書籍是文化的重要載體,讀書是繼承文化的重要方式.某地區為了解學生課余時間的讀書情況,隨機抽取了n名學生進行調查,根據調查得到的學生日均課余讀書時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,將日均課余讀書時間不低于40分鐘的學生稱為“讀書之星”,日均課余讀書時間低于40分鐘的學生稱為“非讀書之星”.已知抽取的樣本中日均課余讀書時間低于10分鐘的有10人.(1)求n,p的值;(2)根據已知條件完成下面的2×2列聯表,依據α=0.05的獨立性檢驗能否認為“讀書之星”與性別有關聯?性別非讀書之星讀書之星合計男女1055合計(3)將上述調查所得到的頻率視為概率,現從該地區大量學生中隨機抽取3名學生,每次抽取1名,已知每個人是否被抽到互不影響,記被抽取的“讀書之星”人數為隨機變量X,求X的分布列和均值E(X).附:χ2=n(ad-bcα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828C級學科素養創新練14.某工廠為了提高生產效率,對生產設備進行了技術改造,為了對比技術改造前后的效果,采集了技術改造前后各20次連續正常運行的時間長度(單位:天)數據,整理如下:改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36(1)完成下面的列聯表,依據α=0.01的獨立性檢驗,能否據此判斷技術改造前后的連續正常運行時間有差異?時間超過30天不超過30天合計改造前改造后合計(2)工廠的生產設備需要進行維護,工廠對生產設備的維護費用包括正常維護費和保障維護費兩種.對生產設備設定維護周期為T天,即從開工運行到第kT天(k∈N*)進行維護.生產設備在一個生產周期內設置幾個維護周期,每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內,若生產設備能連續運行,則只產生一次正常維護費,而不會產生保障維護費;若生產設備不能連續運行,則除產生一次正常維護費外,還會產生保障維護費.經測算,正常維護費為0.5萬元/次;保障維護費第一次為0.2萬元/周期,此后每增加一次保障維護費增加0.2萬元.現制定生產設備一個生產周期(以120天計)內的維護方案:T=30,k=1,2,3,4.以生產設備在技術改造后一個維護周期內能連續正常運行的頻率作為概率,求一個生產周期內維護費用的分布列及均值.附:χ2=n(α0.050.010.001xα3.8416.63510.8288.3.1分類變量與列聯表8.3.2獨立性檢驗1.D“高血壓與肥胖有關”,并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結論是成立的,表示有99%的把握認為這個結論成立,與多少個人患高血壓沒有關系,也不是說“肥胖的人就是至少有99%的概率患有高血壓”,只有選項D正確.2.A零假設H0:兩變量之間沒有關系.由一個2×2列聯表中的數據計算得χ2=4.013,因為3.841<4.013<6.635,則P(χ2≥xα)=0.05,根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,那么我們推斷H0不成立,即認為兩個變量有關系,此推斷犯錯誤的概率不超過0.05.3.A設男生人數為x,依題意可得如下2×2列聯表:性別喜歡追星不喜歡追星合計男生x5xx女生xxx合計xx3x若依據α=0.05的獨立性檢驗認為喜歡追星和性別有關聯,則χ2≥3.841.由χ2=3x2(x236-5因為x2,x6為整數,所以依據α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為喜歡追星和性別有關聯,男生的人數至少為124.C對于選項A,該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為3030+20=35,對于選項B,該學校女生對食堂服務滿意的概率的估計值為4040+10=45>因為χ2≈4.762>3.841=x0.05,所以依據α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為男、女生對該食堂服務的評價有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05,故C正確,D錯誤.故選C.5.2.334χ2=102×(27×6.有關聯因為χ2=20.87>6.635,所以依據α=0.01的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為兩者有關聯.7.解(1)2×2列聯表如下:類型中國人外國人合計有數字432770無數字213354合計6460124(2)零假設為H0:國籍和郵箱名稱里是否含有數字無關聯.由表中數據得χ2=124×(43×33-27×21)270依據α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為國籍和郵箱名稱里是否含有數字有關聯,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.8.A因為χ2≈3.918>3.841=x0.05,所以依據α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為這種血清與預防感冒之間有關聯,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.故選A.9.BC設男生的人數為5n(n∈N*),根據題意列出2×2列聯表如下:類型男生女生合計喜歡該平臺4n3n7n不喜歡該平臺n2n3n合計5n5n10n則χ2=10因為依據α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為喜歡該平臺和性別有關聯,所以6.635>χ2≥3.841,即6.635>10n21≥解得13.9335>n≥8.0661,因為n∈N*,所以根據選項調查人數中男生人數的可能值為45或60.故選BC.10.D由題意,把頻率看作概率可得夜晚下雨的概率約為25+25100=12,故A正確;未出現“日落云里走”夜晚下雨的概率約為2525+45=514,故B正確;由χ2≈19.05>10.828=x0.001,根據臨界值表,可得在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下,認為“日落云里走”與“當晚下雨”11.0.005零假設為H0:同意限定區域停車與家長的性別無關聯.因為χ2=50×(20×15-5×10)225所以依據α=0.005的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為同意限定區域停車與家長的性別有關聯,此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.12.0.052×2列聯表如下:培訓方式通過未通過合計集中培訓451055分散培訓302050合計7530105零假設為H0:“能否一次考試通過與是否集中培訓無關”.∴χ2=105×(45×20-30×10)275根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為“能否一次考試通過與是否集中培訓有關”,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.13.解(1)因為(0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)×10=1,所以p=0.01.所以n=100.1(2)因為n=100,所以“讀書之星”有100×[(0.02+0.005)×10]=25(人).從而2×2列聯表如下所示:性別非讀書之星讀書之星合計男301545女451055合計7525100零假設為H0:“讀書之星”與性別無關聯.將2×2列聯表中的數據代入公式計算得χ2=100×(30×10-15×45)245依據α=0.05的獨立性檢驗,沒有充分證據推斷H0不成立,因此可以認為H0成立,即認為“讀書之星”與性別無關聯.(3)將頻率視為概率,