2022-2023學年河北省石家莊市高一下學期開學考試數學試題

一、單選題

1.已知集合A={x∣x≥-1},B={-3,-2,-l,0,l,2},則(4A)B=()

A.{-3,-2}B.{-3,-2,-1)

C.(0,1,2)D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【分析】根據集合的運算法則計算.

【詳解】由題意IA={x∣x<T},所以解A)β={-3,-2).

故選：A.

2.已知命題P：關于X的不等式χ2-20χ-α>0的解集為R,則命題P的充要條件是()

A.-l<α≤0B.-1<α<0

C.-1<α<0D.a>1

【答案】B

【分析】根據一元二次不等式恒成立得A<0即可.

【詳解】關于X的不等式丁-2OX-α>0的解集為R,A=4∕+4α<0=>-l<”0,

故命題P的充要條件是-l<α<0,

故選：B

3.已知角?的終邊經過點網―2,1),則cos^a+yj的值為()

A.BB.2C,-立D.—述

5555

【答案】A

【分析】根據三角函數的定義，求得Sina=咚，再結合誘導公式，得到cos(^→α)=sinα,即可求

解.

【詳解】由題意，角α的終邊經過點尸(Tl),可得∕?=∣OP∣=J(-2)2+12=√L

根據三角函數的定義，可得Sina=J==正，

√55

.(3πAΛ∕5

Xτ7Scos----?-a=Slna=——.

故選：A.

4.已知α=0.32,b=2°?3,c=logj72,則（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<hD.a<b<c

【答案】D

【分析】先利用對數運算化簡c,在利用指數函數的單調性比較即可.

【詳解】解：因為C=Iog/2=2,θ<α=O.32<O.3o=l,1=20<?=203<2l=2,

所以α<b<c.

故選：D.

5.若Sin(E+α)=g,則Sine-α)-cos傳+ɑ)=()

A.OB.-C."2忘D.T&

333

【答案】B

【分析】利用整體代換法與誘導公式化簡求值即可.

【詳解】依題意，令g+α=f,則Sinf=^--a=π-(^+a]=π-t,—+α=→→α=→Z,

63o?o)3262

所以Sin(^?-α)-COS(^?+α)=sin(τt-1)-COS(^■+/]=sin∕+Sinr=2sin∕=j.

故選：B.

6.函數f(x)=bg2X+2x-l的零點所在的區間為()

A.(θ?)B.(1,2)C.(??)D.(?1)

2422

【答案】D

【分析】先判斷函數/(x)的單調性，然后再根據零點存在性定理，通過賦值，即可找到零點所在的

區間，從而完成求解.

【詳解】函數/(χ)=bg∕+2χ-1可看成兩個函數y=log2》(x>0)和y=2x-l組成，

兩函數在(。，+8)上，都是增函數，

故函數/(X)=log2x+2x7在(0,+∞)上也是單調遞增的，

所以=∣og2g+2xg-l=T+∣T=T<0,

而/⑴=iog2i+2*1-1=0+2-I=IX),

由零點存在性定理可得，函數/(X)=Iog2x+2x-l零點所在區間為.

故選：D.

【分析】根據函數的奇偶性先排除B,D,再利用特殊值排除選項C,進而求解.

【詳解】函數/(x)=a七的定義域為R,且/(T)="7=5?F=∕(X),

則函數/(X)為偶函數，故排除選項B,D；

又因為當x>0時，/(x)>0,故排除選項C,

故選：A.

8.己知函數仆)=Sin(S+沙>0),若小+￡|為偶函數，/(x)在區間C,總內單調，則0

的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據/卜+弓)為偶函數，可得直線X=T為函數f(x)圖像的一條對稱軸，進而可得

0=1+33根據“X)在區間存著內單調，可得齊魯一方=：，進而可求解.

【詳解】由于函數/1+1)為偶函數，故直線X=T為函數/(X)圖像的一條對稱軸，

所以---1—=—Fkit,keZ,則。=1+3々，keLr,

362

又T:≥7T-t-[Tc=;Tt,即Tt二≥Ttf,解得0<o≤4,

21234ω4

又<υ=l+3Z,keZ,所以0的最大值為4,

當。=4時，/(x)=sin(4x+^)在單調遞增，滿足要求，

故。的最大值為4.

故選：B

二、多選題

9.已知函數f(x)=2sin(2x+?)下列說法正確的是()

A.函數y=∕(x)的圖象關于點對稱

STr

B.函數y="χ)的圖象關于直線X=-二對稱

2汽TT

C.函數y=∕(χ)在---上單調遞減

D./(x)圖象右移g個單位可得V=2sin2x的圖象

【答案】BD

【分析】根據正弦函數的對稱性，可判定A錯誤，B正確；根據正弦函數的單調性，可判定C錯誤;

根據三角函數的圖象變換，可判定D正確.

【詳解】對于A中，令X=—(，可得f(-g)=2sin[2(-∣0+∣J=2sin(-∣0=-6≠0,

所以(-。,0)不是函數的對稱中心，所以A錯誤；

1

對于B中，令X=,W/(-?=2sin[2(-^)+?]=2sin(-?=-2,

141乙1乙J乙

所以函數/(X)關于X=-W對稱，所以B正確；

對于C中，當Xe-?---y,則2x+W∈[-乃,0],

根據正弦函數的單調性可知函數在已知區間上不單調，所以C錯誤；

對于D中，當/(x)向右平移J個單位后可得y=2sin[2(x-g)+g]=2sin2x,

所以D正確.

故選：BD.

10.若mb,c∈R,且仇則下列不等式一定成立的是()

A.a+c>b+cB.ac2≥bc2

2

C.-^>0D.(6z+?)(tz-?)>0

a-h

【答案】AB

【分析】根據已知條件，結合不等式的性質，以及特殊值法，逐一判斷作答.

【詳解】對于A,因”,b,c∈R,a>b,則α+c>b+c,A正確；

對于B,因c?0,a>b,貝IJae?0c2,B正確；

對于C,當C=O時,=0,C不正確;

a-b

對于D,當。=1,?=-l,滿足，但(α+b)(α?b)=0,D不正確.

故選：AB

11.已知6?0,兀)，sin?+COSe=J,則下列結論正確的是()

(兀、337

A.一,πB.COSe=——C.tan=——D.Sine-CoSe=一

U)545

【答案】ABD

,、O124

【分析】由題意得(Sine+cos。)-=1+2SineCOSe=趣，可得2sinOcosO=-曾，根據。的范圍，可

得sin，，CoSe的正負，即可判斷A的正誤；求得sin。-COSe的值，即可判斷D的正誤，聯立可求

得sin。，COSe的值，即可判斷B的正誤；根據同角三角函數的關系，可判斷C的正誤，即可得答

案.

【詳解】因為sin。+CoSe=

所以(Sine+cos=1+2SineCoS。=L,貝!∣2SineCOSe=,

因為8∈(0,π),所以sin，>0,COSeV0,

所以e∈∣J∕}故A正確;

所以(Sine-cosO)?=1-2sin6cos0=

7

所以Sine-COSe=M,故D正確；

sinθ+cosθ=--

543

聯立可得Sine=Cc)Se=晨，故B正確;

Sine-Cos。=一

5

所以tan。="Sinθ4故C錯誤.

cos”3

故選：ABD.

21

一/、X÷Xd---,X<O

12.已知函數/(x)={4,若方程/(x)=Z(ZeR)有四個不同的零點，它們從小到大依

Iln%-l∣,x)θ

次記為%%，*3，*4，則()

e2

A.O<?<一B.e<x<e2C.x+x=-1D.O<xxxx<

43l2l234^4

【答案】ACD

【分析】作出函數Ax)的圖象，將零點問題轉化為函數圖像的交點問題，結合圖像即可判斷A；結

合對數函數性質可判斷B；結合二次函數圖象的性質可判斷C；結合對數函數性質以及基本不等式

可判斷D.

轉化為函數.f(χ)的圖象與y="有四個不同的交點，

由圖象，得0<A<],故A正確；

當X<0時，f(x)=x~÷X+—,則%+%=2x(―5)=—1,故C正確;

當0<x<e時，令/(X)=，，即I-InX=!，解得，

44Λ-c

3

,

.?,<x3<e故B錯誤；

V∣lnx3-1∣=∣lnx4-1∣,x3<e<X4,

2

.?.1-Inx3=Inx4-1,即Inx3+Inx4=Inx3x4=2,則χ3χ4=e,

F；W%；，2

χxl<x2<0,X1X2=(-xl)?(-Λ2)<()2=(-)2=?,

2

?：X1X2>0,：.0<XtX2X3X4<,故D正確，

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：將方程F(X)=-ZeR)有四個不同的零點問題轉化為函數/(X)的圖象與y=k有

四個不同的交點問題，數形結合，結合合基本不等式，即可解決問題.

三、填空題

13.函數AX)=J—+lg(χ-l)的定義域是__________.

2-x

【答案】{x∣x>l且xw2}

1[2-x≠0

【分析】根據函數AX)=止+ig(x-1),由1八求解.

2-xx-l>0

【詳解】因為函數/⑴=S+∣g(χf'

2-x≠O

所以

x-l>O

x≠2

解得

x>l

所以函數f(x)=J—+lg(XT)的定義域是{x∣x>l且x≠2},

故答案為：{x∣x>l且XH2}

14.已知扇形的圓心角為2r4d,扇形的周長為l(kro,則扇形的面積為cm2.

【答案】胃

4

【解析】首先設扇形弧長為/,半徑為「，列方程求解，再利用扇形面積S=；//`求解.

【詳解】設扇形弧長為/,半徑為r,

-=2

-r,解得：∕=5,r=2.5,

/+2r=10

則扇形的面積S=1F=亍25.

故答案為：與25

4

【點睛】本題考查扇形面積的求法，意在考查基本公式，屬于簡單題型.

15.若函數/(x)是R上的奇函數,且周期為3,當0<x<∣時，"x)=3',則/(∣)+"2023)=.

【答案】3-√3

【分析】根據奇偶性和周期性，得至V圖=-/(-1)=-6,/(2023)=/(1)=3,從而求出答案.

【詳解】函數/(x)是R上的奇函數，則/(T)=一/(x),

則H閆,

又因為f(x)的周期為3,所以“x)=∕(x+3),

故人一升不一|)=*Ns

所以/■圖=TT=S

/(2023)=∕(674χ3+l)=“1)=3,

故/(1)+/(2023)=3-石.

故答案為：3-下)

ππ

16.已知函數/(x)=siι√X-CoSX+α,函數/(x)在區間上有兩個不同解，則。的取值范圍是

252

【答案】（—1,1）

【分析】根據題意化簡/"），利用換元法令Z=COSX,將函數轉化為二次函數問題，求解即可.

【詳解】/（x）=Sin2x-cosx+α=一CoS2x-cosx+l+α,,

令/=cosχ.∈（0,1],則有/⑺=一/一r+α+l,

根據對稱性，函數/（X）在區間，方）上有兩個不同的解，

等價于/（，）=-產―+。+1在區間（0,1）有一個解，

由于一r+α+l∕∈（O,l）,對稱軸為f=-；,

f∕（0）=4Z+l>0/、

故只需：V（,）<α-1<o'解得：αe（T,l）?

故答案為：（-Ll）

四、解答題

sin(π+cr)cos(π-6z)tan(2023π+a)

Sin警—小(一α)

17.(1)化簡:

1

(2)求值:4logj2+(0.125)5+log.25-

【答案】(1)Sina；(2)5

【分析】（1）利用誘導公式計算可得;

(2)根據對數的性質及指數基的運算法則計算可得.

sin(π+a)cos(π-a)tan(2023π+a)(-sina)?(-cosa)?tantz

【詳解】解：⑴—Sin號一a”(.a)—=~-CoSa)?(-tanα)

I

(2)4T啕2+(0.125)3+log有25

=-+-+4=5.

22

18.已知函數/(x)=Igu定義域為A,集合8={Nχ2-2e+病-9≤θ}.

⑴求集合AB；

(2)若xe8是XeA成立的充分不必要條件，求實數，”的取值范圍.

【答案[(1)A=(-∞,1)(3,-HO),B=[m-3,m+3]

(2)(-∞,-2)o(6,+oo)

【分析】(1)根據對數型函數的性質即可求解A,根據一元二次不等式即可求解8,

(2)將充分不必要條件轉化成集合的真子集的關系即可求解.

【詳解】(1)由題意知：=>0=(x-3XX-I)>0,解得x>3或x<l.

集合A=(→M,1)L(3,÷X>).

對于集合B滿足：X2-2nιx+nr-9=(x-∕n+3)(x-wz-3)≤0.

y,m-3<m+3.?B=[m-3,m+3?.

(2)若XeB是XeA的充分不必要條件，則集合B是A的真子集，

由(1)知，只需滿足m+3<l或，〃-3>3即可，解得〃?<-2或%>6.

綜述，滿足題意的加的取值范圍是(9,-2?(6,內).

19.函數”》)=河11(3夕)(4>0,3>0,|3|苦)的部分圖象如圖所示：

⑴求函數f(χ)的解析式與單調遞減區間:

⑵求函數F(X)在Og上的值域.

【答案】⑴∕3=2sg+'單調遞減區間kπ?+1,k兀+3UeZ)

OO

(2)[-√2,2]

【分析】⑴根據圖像即可寫出A=2,再由圖像過(*叫4可即可求出其周期，則可求出。=2,

在將點Ji，。]帶入/(x),則可求出*=￡.由V=Sinx在區間12就+g,2?+若]#eZ上單調遞減,

則可求出fM的單調遞減區間.

(2)由xe[O,?^]n2x+(∈=Sin[2x+()e~,1=z>/(?)∈[-5/2,2].

(32π

【詳解】⑴觀察圖象得：A=2,令函數/*)的周期為T,則T=2x^4+WJ=4M=于=2,

由/HO=。得：2x(q)+”=2g*∈Z,而ISI曝于是得&=0,e=不

所以函數/(X)的解析式是/(X)=2sin(2x÷^).

4

πJT377TT5TT

由2A7r+5≤2x+wK2kπ+-,k≡Z解得：kπ-?--<x<kπ+-,k∈Z,

所以/(X)的單調遞減區間是kπ+jkπ+*(AeZ).

OO

(2)由(1)知，當x∈[θ,g]時，f≤2x+f≤苧，則當2x+E=q,即X=?時f(x)m=2,

2J444428

當2x+7=?,即X=1時，/ULn=-√2>

所以函數/(X)在0，1上的值域是[-√∑,2].

20.已知函數/(x)=α+77=,且f(χ)為奇函數.

(1)判斷函數/(χ)的單調性并證明；

⑵解不等式：/(2x-l)+∕(x-2)>0.

【答案】(1)函數單調遞減，證明見解析

(2)(-∞,l)

【分析】(1)根據奇函數的定義可求得參數α的值，判斷函數單調性，利用單調性定義可證明函數

的單調性；

(2)利用函數的奇偶性和單調性即可求解不等式.

【詳解】(1)因為函數Ax)=。+—,定義域為R,且/U)為奇函數，

4+1

則八。)…*=。，得"j

當…;時，?(?)??-?

對于任意實數、’小上*總4Λ1

4Λ+1^2

Λ/(-x)+∕(x)=O,/./(-x)=-/(%),即當α=-g時，/(x)為奇函數;

/O)=?-?為單調遞減函數，

4v+l2

證明：設不<々，%”2^R,則/G)-=

4'+14電+1

4盯一牛

^(4A'+l)(4t2+l),

Λt2χΛ,ΛΛ2

x1<X2,.?.4,<4,g∣J42-4>0,4'+1>0,4+l>0,

,*/(%)>/(工2)，

即函數/(%)在定義域上單調遞減；

(2)因為/(X)在定義域上單調遞減且/(X)為奇函數，

由不等式/(2x—l)+/(x—2)>0可得/(2工-1)>一/(工一2)=/(—九+2),

??2x—1<—X+2,

Λχ<l,即/(2x-l)+∕(x-2)>0的解集為(-∞,I).

21.如圖所示，A8C。是一塊邊長為4米的正方形鐵皮，其中A何N是一個半徑為3米的扇形，已經

被腐蝕不能使用，其余部分可以利用.工人師傅想在未被腐蝕的部分截下一個長方形鐵皮PQCR(其

中P在MN上，Q、R分別在邊BC和CD上).設NM4P=6,長方形FQCR的面積為S平方米.

(1)求S關于。的函數解析式，并求出S的最大值;

(2)若S取最大值時夕=%,求sin%的值.

【答案】(I)S=9sin6cos6-12(sin，+CoSe)+16,S的最大值是4.

（2）0或1

【分析】(1)利用NM4P=6,表達出矩形兩邊長，列出S關于。的函數解析式，換元后，利用二次

函數求出最大值；(2)在第一問基礎上，求出此時％=0或從而求出sin%.

【詳解】(1)延長RP交AB于點兒則P"=3sinaA"=3cos6,θw0,|

所以RP=4-3sin6>,PQ=BH=4-3CoSe,

所以S=/?PPQ=（4—3sin，）（4-3cos6）

=9sin^∞s0-12（sin0+cos0）+16,

產-1

令Sine+cos6=f,則sin。cos。=---,

2

其中r=sin6+cosθ=y∣2Sin（夕+：[?],

山2。9產一9,c,/9t2,C239<4?7

所以S=----------12/+16=-------12/H-----=-t—

222213J2

4

對稱軸為「=；,故當，=1時，S取得最大值，最大值為4

3

(2)由(1)可知，此時0=4=0或

當4=0時，Sina)=0；

當4=