天津市高三下學期（理科）數學模擬考試卷附答案解析

班級:姓名：考號：

一、單選題

1.己知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={l,3,6,7}和3={1,2,5},則BCMA）=（）

A.{2,5,8}B.{3,6}C.{2,5}D.{2,3,5,6,8}

2.設“SeR,則“α<2且匕<2”是t,a+b<4,'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.學校組織班級知識競賽，某班的12名學生的成績（單位：分）分別是：73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98

則這12名學生成績的75%分位數是（）.

A.92B.87C.93D.91

4.函數y=（3'-I）In（CoSX）的部分圖象大致為（）

3Λ+1

5.設（5x-√7）"的展開式的各項系數之和為M,二項式系數之和為N,若M-N=240,則展開式V的系

數為

?.-150B.150C.-5∞D.500

6.設α=5m,6=log*,c=log23,則。，燈，的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<c<a

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C.b<a<cD.c<a<b

7.已知函數"x）=ASin（8+9，4>0,。>0,倒<^的圖象如圖所示,將丫=/（力的圖象向右平移。（。>0）

個單位，使新函數為偶函數，則。的最小值為（）

5π

D.12

8.在雙曲線中虛軸長為6,且雙曲線與橢圓爐+16），2=16有公共焦點，則雙曲線的方程是（）

_3、「3、[4-2x,X&A

9.設集合A=1/和B=-.2∣,函數f(χ)T」若x°eB,且/(/(%))e3,則%的取值范

L'L'Γ^2,

圍是

37315

B.C.,

42~8

二、填空題

10.已知z=—^,則z-z=_________.

2÷ι

11.兩圓V+y2+4x-4y=0和V+y2+2χ-8=O相交于兩點M,N,則公共弦MN的長為.

12.已知正方體ABCn-ABCa的棱長為2√L其內有2個不同的小球，球。「與三棱錐A-CBlQ的四個

面都相切，球o?與三棱錐A-CqA的三個面和球a都相切，則球。1的體積等于，球。2的表面積等

于.

13.當x>O時x+1+3的最小值為____

X

14.在43。中點用滿足“8=1>13,且對于邊A3上任意一點N,恒有NB?NCNM8?MC.則

4

^CA+CB）AB=.

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三、雙空題

15.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A為“取到的2個數之和為偶數”，事件8為“取到的2

個數均為偶數”，則P(A)為，P(3∣A)為—

四、解答題

16.已知函數/(x)=0'sin(4x+e).

(1)求/(x)的單調區間；

⑵求/(x)在區間上的最大值與最小值.

OO_

17.如圖，四棱錐P-A38中平面P43，平面

ABCD,ABHCD,AB±AD,AB=3,AD=√3,AP=CD=2,ZPAB=60,M是CO中點，N是P8上一點.

(1)當尸N=gpB時

(i)證明：MN〃平面PAD；

(ii)求直線PM與平面B4Z＞所成角的正弦值；

4PN

(2)平面∕?r＞與平面AMN夾角的余弦值為《，求詬的值.

18.已知橢圓]+/=1(。＞?＞0)的左、右焦點分別為K和尸2,過ξ作斜率為乎的直線與橢圓相交于M、

N兩點，且M6與X軸垂直.

(1)求橢圓的離心率；

(2)若三角形KMN的面積為箸，求橢圓的方程.

19.在數列｛q,｝中q=6,an=4an]-6(∏≥2,〃eN").

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(1)求證：{q-2}是等比數列；

(2)求數列{%+,}的前”項和S”.

20.己知函數f(x)=x?lng(α>O)

X

⑴若函數g(x)=e*在x=0處的切線也是函數/(χ)圖象的一條切線，求實數a的值；

(2)若函數/(χ)的圖象恒在直線x-y+l=0的下方，求實數a的取值范圍；

⑶若％,x,€(q，W),且為w%,判斷(W+%)'與“的大小關系，并說明理由.

e2

參考答案與解析

1.C

【分析】利用補集和交集的定義可求得集合Bc(Qd).

【詳解】由已知可得GA={2,4,5,8},因此，B(V)={2,5}.

故選：C.

2.A

【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行推理即可.

【詳解】若α<2且8<2,貝∣Jq+6<4,充分，性成立；取”=-1,方=3,則α+%<4成立，但“α<2且6<2”

不成立，必要性不成立.因此“a<2且b<2”是“a+6<4”的充分不必要條件.

故選：A.

3.C

【分析】根據百分位數的概念，計算12χ75%=9,即可求得答案.

【詳解】因為解x75%=9

故73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98的75%分位數是9士2+H94=93

2

故選：C

4.B

【分析】通過函數的奇偶性可排除AC,通過Xf(T時函數值的符號可排除D,進而可得結果.

【詳解】令/⑴=(3-其定義域為1]+2Eg+2E,∈Z關于原點對稱

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、(3-*T)In(COS-X)0—3')InCoSX

?S)-3^r+l-i+y-~C'

所以函數/(x)為奇函數，即圖像關于原點對稱，故排除AC

當x→(Γ時3"-l>0,3*+l>0和InCOSX<0,g∣J∕(x)<O,故排除D

故選：B.

5.B

【分析】分別求出展開式的各項系數之和〃和二項式系數之和為N,根據M-N=240求出〃的值，進而寫

出通項，求出展開式Y的系數.

(詳解](5x-√7)"中令X=I得展開式的各項系數之和M=Ar"

根據二項式系數和公式得二項式系數之和N=2"

M-N=240,所以4"-2"=240,解得〃=4

44rr,4r47

(5x-√x)"=(5x-√x)的展開式的通項為：y；tl=C;(5x)^(-√x)=(-!)5^C>

令4-]=3得z?=2,故展開式中χ3的系數為(τ)2χ52χCj=150

故選:B.

6.B

【分析】利用幕函數、對數函數的性質，結合“媒介”數比較大小作答.

【詳解】a=5^>=2,b=log32<log33=1l=log22<log,3<log24=2

?

,

則有Iog32<1<Iog23<2<s?所以。VCVɑ.

故選：B

7.D

【分析】由/(X)IΛ,=-2/(O)=如/(q)=0可求得/(x),由此可得平移后的解析式，根據平移后為

TT-JT

偶函數可構造方程y-2^-→^(?∈Z),結合0>()可求得最小值.

【詳解】由圖象可知/Wmin=-2=-A.?.A=2;

,/(0)=2sin?c>=>∕3,.?.sin∕=N,又∣9∣<g'-φ=~z；

223

?=+=0ω*%=π，解得：?=2,"(X)=2sin(2x+-}

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.,./(x-，)=2sin(2x-2e+?J為偶函數,-Λ-2θ=^+kπ(keZ)

解得：0=--^-y(?∈Z),又e>o

，當Z=T時盤n若?

故選：D.

8.B

【分析】將橢圓方程化成標準方程求出其焦點坐標，再根據雙曲線虛軸長度為6,即可求得雙曲線的標準方

程.

9

【詳解】橢圓χ2+16/=16的標準方程為三+y2=1；

16

易得橢圓焦點坐標為(士岳，0)

又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，所以雙曲線的焦點在X軸上，且C=A

由雙曲線虛軸長為6可知6=3,所以/=02-從=6；

所以，雙曲線的標準方程為片-E=L

69

故選：B.

9.B

【解析】根據/(/(%))€8,根據函數解析式，即可求出與的取值范圍.

【詳解】根據函數解析式，可得當XeA時/(x)e(l,2],當xe8時/(x)e1，5)

因為/(/α)))e8,故可得4-27(XO)W/2),解得/(%)e(l,?

1537

又因為x°∈3,故令1</一]≤w,解得

故Xo≡(?∣>^]?

故選:B.

【點睛】本題考查由分段函數的函數值范圍求解自變量范圍的問題，屬基礎題.

10.2

【分析】根據復數的除法可求得z,即可得W=Li，結合復數的乘法即可得答案.

【詳解】由題意得Z=/圍=0"R=I+i,故W=>i

2+15

所以ZN=(I+i)(lT)=2

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故答案為：2

??-竽##三近

【分析】根據已知條件聯立方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式即可求解.

4

X=-

X2+y2+4x-4y=0(x=-45

【詳解】由解得或“

X2+y2+2x-8=0Iy=On12

y=w

所以不妨取兩圓的交點為M(-4,0),N

所以IMV卜/(-4_：1+(0_同=與叵

故答案為吆叵.

5

4

12.-ππ

3

【分析】由題意可知三棱錐A-CA0是邊長為2√6的正四面體,則球O1是三棱錐A-CBl。的內切球,設其半

徑為K，由匕一αw=；XSCZWXAO=4×∣×SCBlD)XR,可知舄=；A0,設平面MNP〃平面CBa,且球。和

球。2均與平面MNP相切于點E,則球。2是正四面體A-MNP的內切球,設其半徑為4,則&=；AE,最后

代入數據計算即可.

【詳解】因為正方體ABCo-A耳GA的棱長為2相

所以三棱錐A-CBa是邊長為2指的正四面體，CBQ的高為3五

設底面CBa的中心為0,連接8,則CO=IX3√Σ=2√ΣΛO=√24^8=4

則球Oi是三棱錐A-C瓦。的內切球,設其半徑為Rl

則有乙cqq=§xSCXAO=4x§xSqqXRl

所以凡=；Ao=I

4

所以球Oi的體積為:萬

又球。2與三棱錐A-CBQl的三個面和球。|都相切

則設平面MNP〃平面CB1D1,且球O1和球0?均與平面MNP相切于點E,如下圖所示

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則球O2是三棱錐A-MNP的內切球,設其半徑為R2

故AE=AO-2凡=2

因此在正四面體A-MvP中，R=-ΛE=-

242

所以球。2的表面積為〃

4

故答案為π.

【點睛】本題主要考查三棱錐內切球的綜合問題,考查學生的空間思維及想象能力,有一定難度.

13.5

【解析】根據基本不等式可求得結果.

【詳解】因為x>0

所以x+'+3≥21Jx-+3=5,當且僅當x=l時等號成立.

故答案為：5

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構

成積的因式的和轉化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.

14.O

【分析】以A為原點，AB為X軸，建立直角坐標系，設3(4,0),C(α,A),N(X,0),可得MB?MC=α-3,

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NB?g[-等)川-用≥4”用'由此列方程求得"2'可得AC=BC,利用平面向量

數量積的運算法則求解即可.

【詳解】

以A為原點，AB為X軸，建立直角坐標系

設B(4,0),C(a,6),N(X,0)則M(3,0)

MBMC=(1,0)?(α-3向=°-3,

NB-NC=(4-x,0)?(a-x,b)=(4—x)(α-x)

=W-(4+4)x+40=k-等J；所”I

因為NBNC≥MB?MC

所以4a_S+4)2="3

4

解得a=2.?.AC=BC

所以(C4+CB)?AB=(CA+CB)?(C8-C4)=W_cT=0

故答案為0.

【點睛】平面向量數量積的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數量積的定義式，二是利用數量積的坐

標運算公式，涉及幾何圖形的問題以及最值問題時往往先建立適當的平面直角坐標系，轉化為解析幾何問

題或函數問題，可起到化繁為簡的妙用.

15.-##0.4工##0.25

54

【分析】根據條件概率和古典概型概率計算公式可得答案.

【詳解】從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，?(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4,),(3,5),(4,5)

10種情況

事件/有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5)4種情況，事件B有(2,4)1種情況

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所以尸(A)HP(BM)T

21

故答案為：①三；②

54

LrrτrLrrτrL?τr-ττbrrσr

16.⑴/(x)的單調遞增區間為?--??+-(左eZ),單調遞減區間為?+—??+-(ZEZ).

(2)”==時八司有最大值0,A:=-2時/(x)有最小值一遠.

1282

【分析】（1）利用正弦函數的單調性，利用整體代入的方法求得了（X）的單調區間;

（2）根據函數的關系式，利用函數的定義域確定函數的最大和最小值.

【詳解】⑴由2丘-94》+32也+半丘2）,解得Sq≤χ≤[E+.（keZ）,所以"x）的單調遞增

4VZ4乙VZJ?乙

πkππ

區間為一，--1—(ZwZ);

6212

由2E+:≤4x+S≤2E+BE(A∈Z),^My+?≤%≤y+^(?eZ),所以f(x)的單調遞減區間為

kπTIkTIπ^∣

—+—,—+—(z?ι∈Z)

L21223Jv7

(2)/(x)=&sin(4x+,)，x∈-?^Λ時4x+?∈q丹

Ib√LɑθJo|_33

當4x+J=m即X=S時〃x)有最大值&；

O212

當4x+2=-［即X=Y時/U)有最小值-亞

6382

17.(1)(i)證明見解析；(ii)也

4

⑵28+24倔

【分析】（l）（i）以A為坐標原點，AB為X軸，AD為》軸，過點A作面A88的垂線為Z軸，建立空間

直角坐標系，求平面PAO的法向量加和直線MN的方向向量，證得MN，機，即可證明MN〃平面R40；

（ii）求直線PM的方向向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.

（2）設PN=Μ8=（2/,0,-育）,止[0,1],求平面/<4。與平面4^的法向量，由二面角的向量公式可求出，，

即可求出P言N的值.

【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標系，以A為坐標原點，AB為X軸，AO為V軸，過點A作

面ABa）的垂線為Z軸，則由題意可得8（3,O,O）,〃（O,6,O）,P（I,O,6）,M（I,G,O）

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ZA

由PB=(2,O,-√3),PΛ/=(0,√3,-√3),及PH=；PB即PN=gPB

可得PN=U_'0'-,MN=PN-PM=∣,f

(i)設平面PA。的一個法向量為6=(X,y,z)

APnI=X+幣z=U,x=-?∣3z

則解得

AD?m=y∕3y=0,y=0

令z=l,得加=(-6,0,1)是平面PAO的一個法向量.

因為MN,m=—2"+0+2'-0

33

所以MNI又MN(Z平面PAD

所以MN//平面PAZ).

?PM?mΛ∕2

⑴)由⑴可得C。S(PM⑺=研討=-彳

所以直線PM與平面PAo所成角的正弦值為也.

4

(2)設尸N="8=3,0,-G),f∈[0,l]

則AN=AP+PN=(1+2兀0,退一后)

設〃=(APX,Z])是平面AMN的一個法向量

n.AM=x.+?∣3y.=0

則《L

n?AN=(1+2，)再+>p(l-f)z1=0

取X=√3(r-l),則〃=(石("I),1-2+1)是平面AMN的一個法向量

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則卜式…肛觸=N+2E=4

1、(∣∕n∣?∣∏∣2√3(∕-l)2+(I-Z)2+(2/+1)25

解得,=28+24期或,=28-24倔(舍去)

487487

所以”=28+24倔

PB487

18.⑴克

2

⑵三+V=I

2

【分析】（1）求出點M的坐標，根據心巧可得出關于。、C的齊次等式，即可解得該橢圓的離心率的

值;

（2）由（1）可得出橢圓的方程為=1,將直線MN的方程與橢圓的方程聯立，求出點M、N的坐

標，利用三角形的面積公式可求得C的值，即可得出橢圓的方程.

儲”2,2

【詳解】（1）解：將X=C代入橢圓的方程可得??+2=l,解得y=±2

aba

因為直線MN的斜率為也,易知點MT

4

所以，Li_T__^_T2,所以，√2?2=^(a2-c2)=αt?

等式血（/-c2）=αc兩邊同時除以/可得缶?+e_應=o

因為0<e<l,解得e=巫.

2

因此，該橢圓的離心率為史.

2

（2）解：由（1）知α=JJc,b=Ja2-c2=C故橢圓方程為37+==1

2c2C2

由題意，則直線MN的方程為y=也（x+c）

X2+2y2=2c2

聯立《日、，消去丁并化簡可得5∕+2CX-7C2=0,顯然△>（）

y=τ（χ+c）

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7τc

設點Ma,χ)和N(X2,%)，解得(√2或■

√-2

WF卜=-lo

故點例G*c)N-y,-^yC

所以，S"時,=；x2CXE-必|=￥，=竿，解得C=I

因此，橢圓的方程為《+V=L

2-

19.(1)證明見解析

【分析】(1)根據等比數列的定義證明;

(2)用分組求和法計算.

【詳解】(1)在數列｛““｝中4=6,α∣-2=4≠0,α,,=4t*-6,α,,-2=4(α,ι-2)*0(n≥2,∕j∈N*)

a—24。.—6—2.—8.

所以一E°一=—LV=4

a,,-ι~2??-1-2-2

則數列｛4-2｝是以4-2=4為首項，4為公比的等比數列；

(2)由(1)得”“-2=4x4"’=4",所以",,=4"+2,則%+〃=4"+〃+2

所以S,=(4l+3)+(4?+4)+(型+5)+…+(4"+”+2)

=(4,+42+43+???+4,,)÷[3÷4+5÷???+(n+2)]

,,+l

4'-4+(3+w+2)

1-423322

20.(De2

(2)(0,e2)

42

(3)(xl+X2)>αx1x,,理由見解析

【分析】(1)求出函數的導數，計算g'(0),g(0),得到切線方程，設出與f(x)的切點坐標，根據斜率和

截距相等，從而求出。的值;

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(2)問題轉化為Xlng-X-1<0對于x>0恒成立，根據函數的單調性，求出。的范圍即可;

X

(3)根據函數/(x)的單調性得到/&)>/(先+々)，整理變形即可.

【詳解】(Og'(x)=e',g(x)在X=O處切線斜率々=g'(0)=lg(0)=l

所以切線/：y=x+i

又r(x)=lnf-l,設/與/(x)相切時的切點為(看,與始2)

,

則斜率k=f(x0)=?n--?

?

(\(\

則切線/的方程又可表示為y=?n--l(X-%)+XOlnq=?n--lΛ