第6節(jié)幾何概型最新考綱1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；2.了解幾何概型的意義.知

識

梳

理1.幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的____________________________成正比，而與A的_____和_____無關(guān)，滿足上述條件的試驗稱為幾何概型.幾何度量(長度、面積、體積)位置形狀2.幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有___________； (2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有___________.3.幾何概型的概率公式無限多個等可能性P(A)＝______，其中______表示區(qū)域Ω的幾何度量，______表示子區(qū)域A的幾何度量.μΩμA基

礎(chǔ)

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(

)(3)概率為0的事件一定是不可能事件.(

)(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(

)答案(1)√

(2)×

(3)×

(4)√2.(引自人教A版必修3P140練習(xí)1)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是(

)答案

A3.(必修3P109例2改編)如圖，正方形的邊長為2，向正方形ABCD內(nèi)隨機投擲200個點，有30個點落入圖形M中，則圖形M的面積的估計值為____________.答案0.64.(2016·全國Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(

)答案

B5.(2018·大連模擬)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(

)答案C6.(2018·全國Ⅰ卷)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(

)A.p1＝p2

B.p1＝p3C.p2＝p3

D.p1＝p2＋p3答案A考點一與長度(角度)有關(guān)的幾何概型【例1】(1)(2019·撫順模擬)在區(qū)間[－1，4]內(nèi)任取一個實數(shù)a，使得關(guān)于x的方程x2＋2＝a有實數(shù)根的概率為(

)【訓(xùn)練1】(1)(2016·全國Ⅰ卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(

)解析(1)如圖所示，畫出時間軸：考點二與面積有關(guān)的幾何概型

多維探究角度1與平面圖形面積有關(guān)的問題【例2－1】(1)(2019·煙臺診斷)七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率是(

)答案(1)B

(2)D角度2與線性規(guī)劃有關(guān)的問題答案A角度3與定積分有關(guān)的問題【例2－3】

如圖，點A的坐標(biāo)為(1，0)，點C的坐標(biāo)為(2，4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________.規(guī)律方法

(1)幾何概型與平面幾何的交匯問題：要利用平面幾何的相關(guān)知識，先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸剑嬎愠銎涿娣e，進而代入公式求概率；(2)幾何概型與線性規(guī)劃的交匯問題：先根據(jù)約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進而代入公式求概率；(3)幾何概型與定積分的交匯問題：先確定基本事件對應(yīng)區(qū)域的形狀構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計算，并求其大小，進而代入公式求概率.【訓(xùn)練2】(1)(2017·全國Ⅰ卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是(

)解析(1)設(shè)正方形的邊長為2，則面積S正方形＝4.又正方形內(nèi)切圓的面積S＝π×12＝π.答案(1)B

(2)B考點三與體積有關(guān)的幾何概型【例3】(1)在5升水中有一個病毒，現(xiàn)從中隨機地取出1升水，含有病毒的概率是________.規(guī)律方法

對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.答案A[思維升華]1.區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限個.2.判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法： (1)當(dāng)題干是雙重變量問題，一般與面積有關(guān)系. (2)當(dāng)題干是單變量問題，要看變量可以等可能到達的區(qū)域；若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)，