2023年高考數學三輪復習查補易混易錯點06解析幾何

ɑlj

1.不能準確區分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率的取值范圍確

定傾斜角的范圍時出錯.

2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩軸上的截距相等設方程時，忽視

截距為0的情況，直接設為；+1；再如，過定點P(XO,yo)的直線往往忽視斜率不存在的情

aa

況直接設為y-yo=A(X-XO)等.

3.討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的討論導致漏解，如兩條直線垂直時，

一條直線的斜率不存在另一條直線的斜率為0.當兩條直線的斜率相等時,兩直線平行或重合,

易忽視重合.

4.求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數不相等，而直接代入公式JA?+晶,導

致錯解.

5.利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線

的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2α<∣B∕?如果不滿足第一個條件，動

點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

6.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中a,b,c三者之間的關系，導

致計算錯誤.

7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸導致漏解.

8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構成的方程組有實數解，消元后得到的方程中要注

意：二次項的系數是否為零，判別式/K)的限制.尤其是在應用根與系數的關系解決問題時，

必須先有“判別式/加”；在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應在“/>0”下

進行.

好題演練

1.（2023?吉林?統考三模）已知圓C:x2+y2-2x+2y=0,直線/：X-y+l=0,則圓心。到直

線/的距離為（）

A.yB.在C.ID.逑

2222

2.（2023?四川遂寧?統考二模）過直線/:x+y-5=0上的點作圓C:（X-1）2+（），+2『=6的切線，

則切線段長的最小值為（）

A.√6B.2√3C.√L5D.3√2

3.（2023?甘肅蘭州?校考模擬預測）若直線x+y-α=0與曲線y=2-J-f-2χ恰有兩個公共點,

則α的取值范圍是（）

A.[l-^,l+√2]B.（l-√2,0]

C.[2,l+√2)D.(1-√2,0)

4.（2023?河南開封?開封高中校考模擬預測）設尸為拋物線Uy2=4X的焦點，點A在C上，點

3（4,0）,若∣AF∣=∣BF∣,則43的中點到，軸的距離是（）

A.2B.2√2C.3D.3萬

5.（2023?陜西榆林?統考二模）已知雙曲線C：^-?=1（?>0）的左、右焦點分別是K,F2,

49b

。是雙曲線C上的一點，且∣PK∣+IPEl=34,若抽_LP/"則雙曲線。的離心率是（）

、13n13C13n17

A.—B?—C.-D.—

57127

6.（2023?山東濰坊聯考二模）橢圓￡+方=1,>石）的左、右焦點分別為K,F2,A為上頂

點，若的面積為6,則△4中；的周長為（）

A.8B.7C.6D.5

7.（2023?天津河東?一模）已知雙曲線'-g?=l（a>0,6>0）的實軸為4,拋物線丁=2px（p>0）的

準線過雙曲線的左頂點，拋物線與雙曲線的一個交點為尸（4,機），則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±述XB.y=±MχC.y=+→D.y=+^-x

,3334

8.（2023?江西南昌?統考一模）“米”是象形字.數學探究課上，某同學用拋物線G：V=-2PXs>0）

和G：/=2px（p>0）構造了一個類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線G,G的焦點分別

為6,8，點P在拋物線G上，過點尸作X軸的平行線交拋物線G于點Q,若P4=2尸。=4,則

A.2B.3C.4D.6

9.（2023?天津?校聯考一模）由倫敦著名建筑事務所SteynStUdio設計的南非雙曲線大教堂驚

訝世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一

段近似看成雙曲線，-1?=l（α>0）下支的一部分，以原點為圓心，雙曲線虛半軸長為半徑長的

圓與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B、C、。四點，四邊形ABC。的面積為2”,則雙曲

線的方程為（）

10.（2023?新疆阿克蘇?校考一模）如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個燈泡戶（當成

質點）發出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點是橢圓的右

焦點.若籃球的半徑為1個單位長度，燈泡與桌面的距離為4個單位長度，燈泡垂直照射在平

面上的點為A,橢圓的右頂點到A點的距離為3個單位長度，則此時橢圓的離心率，等于（）

A

11.（多選題）（2023?廣東江門?統考一模）已知曲線UYsina+/COSa=I（O≤α<7r）,則下列說

法正確的是（）

A.若曲線C表示兩條平行線，則。=0

B.若曲線C表示雙曲線，則T<a<π

C.若0<α<],則曲線C表示橢圓

D.若0<α<%則曲線C表示焦點在A軸的橢圓

22

12.（多選題）（2023?湖北?校聯考模擬預測）已知6,K是橢圓從上+上=1的兩個焦點，點P

43

在橢圓E上，則（）

A.點片,工在X軸上B.橢圓E的長軸長為4

C.橢圓E的離心率為TD.使得aEPE為直角三角形的點P恰有6個

13.（多選題）（2023?山東著澤預測）已知雙曲線￡-《=1（。>0,〃>0）的左、右頂點分別為A,

aa

B,M是雙曲線右支上一點，且在第一象限，線段MA被兩條漸近線三等分，則（）

,_b?,_3b

Aa.∣<-=—B.=一

ma5aa

C.zM14B的面積為34bD.若K4垂直于一條漸近線，則雙曲線的離心率為3

14.（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考一模）已知拋物線U∕=4y,O為坐標

原點，尸為拋物線C的焦點，點P在拋物線上，則下列說法中正確的是（）

A.若點A（2,3）,則IPAI+|尸日的最小值為4

B.過點B（3,2）且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條

C.若正三角形OoE的三個頂點都在拋物線上，則OOE的周長為8√J

D.點”為拋物線C上的任意一點，G（O,-1）,?HG?=t?HF?,當，取最大值時，GF"的面積

為2

15.(多選題)(2023?廣東?校聯考模擬預測)已知雙曲線C:4-4=1(?>0,?>0),C

a^b

的左、右焦點分別為K,F2,P為C上一點，則以下結論中，正確的是()

A.若P(屈1),且空口軸，則C的方程為/-V=1

B.若C的一條漸近線方程是J%-y=0,則C的離心率為當

C.若點尸在C的右支上，C的離心率為√J,則等腰。冗。的面積為從

D.若SinNP耳心=e?sinN∕EK,則C的離心率，的取值范圍是(1,0+1]

16.(2023?江西?校聯考二模)寫出與圓/+V=4和拋物線Y=3「都相切的一條直線的方程

17.(2023?河南開封?開封高中校考模擬預測)已知橢圓?→]1=1的左焦點為BP是橢圓上

一點，若點A(LT),則IPAl+1PFI的最小值為.

18.(2023?山東聊城?統考模擬預測)已知雙曲線CW-I=I(α>0,6>0)的左、右焦點分別為￡,

ab~

F2,且恒4∣=4,P(3,√Σ)是。上一點.

(1)求。的方程；

(2)不垂直于坐標軸的直線/交C于M,N兩點，交X軸于點4,線段MN的垂直平分線交X

軸于點O,若IAMl?∣AN∣=2∣A0,證明：直線/過四個定點(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一個.

19.(2023?遼寧段山?統考二模)拋物線C:V=2px(P>0)上的點M(l,%)到拋物線。的焦點F

的距離為2,A、B(不與。重合)是拋物線C上兩個動點，且OALO8.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)X軸上是否存在點P使得ZAP3=2ZAPO?若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由.

22

20.(2023?陜西漢中?統考二模)已知過點(Le)的橢圓E：宗+白=舊>∕,>o)的焦距為2,其

中e為橢圓E的離心率.

⑴求E的標準方程；

(2)設。為坐標原點，直線/與E交于AC兩點，以OA,OC為鄰邊作平行四邊形OSC,且點5

恰好在E上，試問：平行四邊形。ABC的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，

說明理由.

查補易混易錯點06解析幾何

ɑlj)/易混易錯歸納/

1.不能準確區分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率

的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯.

2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩軸上的截距相等設

方程時，忽視截距為0的情況，直接設為%》1；再如，過定點P(xo,yo)的直

線往往忽視斜率不存在的情況直接設為y-y。=k{x-Xo)等.

3.討論兩條直線的位置關系時，易忽視系數等于零時的討論導致漏解，如兩條

直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0.當兩條直線的斜率

相等時，兩直線平行或重合，易忽視重合.

4.求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數不相等，而直接代入公式

aQ,導致錯解.

√A2+β2

5利用橢圓、雙曲線的定義解題時,要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如

在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2α<PB∣?如果

不滿足第一個條件,動點到兩定點的距離之差為常數,而不是差的絕對值為常數,

那么其軌跡只能是雙曲線的一支.

6.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中alb,c三者之

間的關系，導致計算錯誤.

7.已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時，易忽視討論焦點所在坐標軸

導致漏解.

8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構成的方程組有實數解，消元后得到

的方程中要注意：二次項的系數是否為零，判別式∕≥0的限制.尤其是在應用

根與系數的關系解決問題時，必須先有“判別式/K)”；在求交點、弦長、中點、

斜率、對稱或存在性問題時都應在“/>0”下進行.

____________

EJ好題演練t

1.(2023?吉林?統考三模)已知圓C:x2+y2-2x+2y^0,直線/：x-y+l=O,

則圓心C到直線/的距離為()

√2

20浮

【答案】D

【解析】依題意，圓C:(x-l)2+(y+l)2=2的圓心C(I,-1),

所以圓心C到直線/的距離”

故選：D

2.(2023?四川遂寧?統考二模)過直線/:x+y-5=0上的點作圓C：

(X-I)?(y+2)2=6的切線，則切線段長的最小值為()

A.√6B.2yβC.√15D.3亞

【答案】B

【解析】設直線上任意一點為P,過P作圓的切線,切點為M,圓C圓心C為(1,-2),

半徑r=瓜,

則?MP?=JlPCF-，=√∣PC∣2-6,

要使IMPl最小，則IPC最小，易知IPq最小值為圓心C到直線/的距離.

即IPqN"尸）/=3√2,

故選：B.

3.(2023?甘肅蘭州?校考模擬預測)若直線x-?-y-a=。與曲線y=2-J-χ2-2X恰有

兩個公共點，則α的取值范圍是()

A.[l-√2,1+^^]B.(l-√2,0]

C.[2,l+√2)D.(l-√2,0)

【答案】B

【解析】y=可化為(V-2)2+(x+l)2=l且y≤2,

即曲線y=2-，-一―2X是以(-1,2)為圓心,1為半徑的圓的下半圓，

作出曲線Iy=2-J-X2一2x,如圖，

作直線χ+y=0,而直線χ+y-a=。與直線χ+y=0平行，

當直線x+y-α=O過A(-2,2)時，4=0,

1-1+2-?1L

當直線x+y-α=0與半圓相切時，由J~忑~~^=1得〃=1-0(4=1+應舍去)，

由圖象可知”的取值范圍是(l-√∑,0∣.

4.(2023?河南開封?開封高中校考模擬預測)設/為拋物線C：V=4x的焦點,

點A在C上，點3(4,0),若IAFI=I附，則A3的中點到丁軸的距離是()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【答案】C

【解析】由題意得，F(LO),則IM=網=3,

所以，由拋物線的定義得點A到準線4-1的距離為3,

所以點A的橫坐標為-1+3=2,

不妨設點A在.'軸上方，代入拋物線方程得，A（2,2應）,

所以AB的中點坐標為（3,√∑）,到J軸的距離是3.

故選：C

5.（2023?陜西榆林?統考二模）已知雙曲線C:—-?-=1（?>O）的左、右焦

49b-

點分別是月，F-P是雙曲線C上的一點，且歸4+上用=34,若PK_LP心，則雙

曲線C的離心率是（）

13131317

A.-B.-C.—D.—

57127

【答案】B

【解析】不妨設P在雙曲線C的右支上,由題意可得α=7,

根據雙曲線定義IP周一IPEl=2=14,又IP用+1PEI=34,

所以IPMl=24,陶=10.

因為PFjPE2,所以忻Yl=亞西而7=26=2c,

c13

則c=13,故雙曲線C的離心率e=￡=g.

a7

故選：B.

9夕

6.（2023?山東濰坊聯考二模）橢圓?→q=l（α>√J）的左、右焦點分別為G,E,

A為上頂點，若的面積為白，則AAKE的周長為（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

22

【解析】設橢圓點+q=l（">⑹的半短軸長為3半焦距為c,

則b=√J,4AEE的面積S=JKEIb=&

由題知y∣3c=G9

所以C=1,a=Jb*+H=29

由橢圓的定義知∣AK∣+∣A周=24=4,又山尸2∣=2C=2,

所以AAZ5的周長為4+2=6.

故選：C.

7.（2023?天津河東?一模）已知雙曲線W-W=I（。>（）2>0）的實軸為4,拋物線

y2=2Px（p>0）的準線過雙曲線的左頂點，拋物線與雙曲線的一個交點為P（4,附,

則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±^^-xB.y=±^^-xC.y=±∣?xD.y=±—x

3334

【答案】A

【解析】由題意得加=4,。=2,故雙曲線左頂點坐標為（-。,0）,

拋物線的準線為x=-?^,就a=g,解得〃=4,

點P（4,附為拋物線與雙曲線的一個交點，故∕=8p=32,*/=1,

即4-*1,解得從夸，解得/y*,

4√6

故雙曲線的漸近線方程為b工丁J瓜.

y=±-x=±^-x=±----X

a23

故選：A

8.（2023?江西南昌?統考一模）“米”是象形字.數學探究課上，某同學用拋物線

C,：/=-2px（p>0）和G：V=2px（p>0）構造了一個類似“米”字型的圖案，如圖所

示，若拋物線G,G的焦點分別為用，點尸在拋物線G上，過點P作X軸的

平行線交拋物線G于點Q,若P"=2PQ=4,則P=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】因為2尸。=4,即PQ=2,由拋物線的對稱性知牛=T,

由拋物線定義可知，IPFJ=^f,即4=勺（-1）,解得P=6,

故選：D

9.（2023?天津?校聯考一模）由倫敦著名建筑事務所SteynStUdiO設計的南非雙

曲線大教堂驚訝世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品.若將如圖

所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線5?-1=l（a>0）下支的一部分，以

原點為圓心，雙曲線虛半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、

8、C、。四點，四邊形ABC。的面積為24,則雙曲線的方程為（）

R?2?21

A.匕-工=115.-----------=1d=1

94124?V-7

【答案】B

2

2,,ax

【解析】雙曲線a%地〉。）的漸近線方程為)'=±萬，

以原點為圓心，雙曲線虛半軸長為半徑長的圓的方程為爐+丁=4,

不妨設點A、5、C、。分別為第一、二、三、四象限內的點,

42a42a

則AB

2

`+4yJa+4>Ja2+4Ja2+4,

D

84a

易知四邊形ABCO為矩形，且IAM=

6+4Ja2+4

故四邊形A5C。的面積為∣ABHAD∣=∕^=2%可得.2=12,

2?

因此，該雙曲線的方程為限￡=1,

故選：B.

10.（2023?新疆阿克蘇?校考一模）如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個

燈泡P（當成質點）發出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與

桌面的接觸點是橢圓的右焦點.若籃球的半徑為1個單位長度，燈泡與桌面的距

離為4個單位長度，燈泡垂直照射在平面上的點為A,橢圓的右頂點到A點的距

離為3個單位長度，則此時橢圓的離心率，等于（）

【答案】D

【解析】以A為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系,

設Q(〃,0)("-3),則M(%l),

?..點"到直線PR的距離4=也F=1,解得："T，

71

.?.?QR?^-3+-=-f即…；；

設直線PMy=丘+4(A>0),即"-y+4=0,

，點用到直線PN的距離*」成+3|」3一義_解得：上=4或Z=:，

a

2-;--------1153

√Λ2+1√?2+l

QQ

又魚級kpN<kpli,:.k=3即直線PN*x-y+4=0,

令y=o,解得：χ=~,即

715

?,?∣∕V2∣=--+y=4,即cz+c=4;

9

1a=—_

.a-c=一,6,jr7

由J2得：<7，橢圓離心率e=-=g.

/a9

α+c=4c=-

4

故選：D.

1L（多選題）（2023?Γ東江門?統考一模）已知曲線C：VSina+√cosa=I（O≤α<π）,

則下列說法正確的是（）

A.若曲線C表示兩條平行線，則α=0

B.若曲線C表示雙曲線，貝∣]'<α<π

C.若0<α<5,則曲線C表示橢圓

D.若0<￡<：,則曲線C表示焦點在1軸的橢圓

【答案】BD

【解析】對于A選項，若曲線C表示兩條平行線，則有Sina=O或CoSa=0,且

0≤α<π.

若Sina=0,則==0,此時曲線C的方程為V=1,可得"T或尸】，合乎題意，

若COSa=0,則ɑ=],此時曲線C的方程為χ?=ι,可得α―]或X=1,合乎題意，

故A錯；

對于B選項，若曲線C表示雙曲線，則SinaCC）SaVO,

由于0≤α<7i且Sina聲0,貝IJSina>0,可得COSaV0,則?^<α<π,B對；

sincr>O

對于C選項，若曲線C表示橢圓，則：t">°,解得O<α<S且a#；,C錯;

（）≤a<π24

Sina≠cosa

1]

對于D選項，^0<a<π-,則O<sina<cosa,貝4------>------>0,

4SmaCoSa

廠I）廣T

曲線C的方程可化為1+1-1

SinaCOSCT

此時，曲線C表示焦點在I軸上的橢圓，D對.

故選：BD.

12.(多選題)(2023?湖北?校聯考模擬預測)已知耳,乃是橢圓E：M+￡=1的

43

兩個焦點，點P在橢圓E上，則()

A.點6,用在X軸上B.橢圓E的長軸長為4

C.橢圓E的離心率為TD.使得為直角三角形的點P恰

有6個

【答案】BC

【解析】由題意￡:《+片=1的長半軸長α=2,短半軸長〃=百，焦半距c=l,

43

橢圓￡:3+\=1的焦點在y軸上，A錯誤；

橢圓E的長軸長為為=4,B正確；

橢圓E的離心率為￡=：,C正確；

橢圓的右頂點M(H0),焦點耳(0,-1),乙(0,1),

所以ME=(-√3,-l),MF=(-?l),cos<M∕?,MFJ=前,踞=∣>0

2j

則〈MR/砧e(θg),即3M行為銳角，

故根據橢圓的對稱性可知，使得P鳥為直角三角形的點P恰有4個(以Fl或心

為直角)，D錯誤.

故選：BC.

13.(多選題)(2023?山東蒲澤預測)已知雙曲線1-5=l(α>(),6>())的左、右頂

ab,

點分別為A,B,M是雙曲線右支上一點，且在第一象限，線段MA被兩條漸近

線三等分，則()

A.k=γ-B.k=—

MA3。MBa

C.ZiMAB的面積為3"D.若MA垂直于一條漸近線，則雙曲

線的離心率為3

【答案】AB

【解析】對于A：易知直線M4的方程為y=%Λw（χ+4）,

設直線y=-"與尸砥分別交直線M4于點P（XQJ,Q（x2,y2）f如圖所示:

aa

將y=&(X+")與y=-3χ聯立，解得X=%

將尸%（』）與—X聯立'解得'"黑

因為線段MA被兩條漸近線三等分,

kMAab2kMAab

所以力=2%，即,得L=故A正確.

b-akMAb+akMA

對于B:設必伍,幾)，則鐮?L=+?q=/1T,

Λθ+ClX^-ClXQ-CI

由盤-*=1,得尤=4(片-叫，則白%=耳，得G=步,故B正確.

Crbav73aCra

13

所以Sw=3?2"?W=w",故C錯誤.

對于D:設。為坐標原點，易知OPLMA,因為IAH=IPQ

所以ZAoP=NQOP,又/AOP=NQOB,所以/008=60,?t-=√3,

a

所以雙曲線的離心率e=JZgj=2,故D錯誤.

故選：AB

14.（多選題）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考一模）已知拋物線UX2="，

O為坐標原點，F為拋物線C的焦點，點P在拋物線上，則下列說法中正確的

是（）

A.若點A(2,3),則∣%∣+∣P尸I的最小值為4

B.過點B(3,2)且與拋物線只有一個公共點的直線有且僅有兩條

C.若正三角形Oz)E的三個頂點都在拋物線上，則OoE的周長為8√J

D.點H為拋物線C上的任意一點，G(0,-l),?HG?^t?HF?,當，取最大值時，

GFH的面積為2

【答案】AD

【解析】A選項，過尸點做準線y=τ的垂線，垂足為九則由拋物線定義，有

IpFl=IPil.則I網+IPPl=IM+∣%∣,則當4P,《三點共線時，∣PAl+∣PF∣有最小值

4.故A正確；

B選項，當過點5直線斜率不存在時，直線方程為x=3,此時直線與拋物線只

有一個交點；當過點5直線斜率存在時，設直線方程為：y=A(x-3)+2,將直線

方程與拋物線方程聯立，則X2-4fcv+I2Z-8=0.令

Δ=16Λ2-48%+32=O=>k=1或

k=2,則直線y=χ-ι或y=2x-4為拋物線切線.綜上，過點B(3,2)且與拋物線只有

一個公共點的直線有3條，故B錯誤；

C選項，設。(XUX)，E(χ2,y2),因三角形0。E為正三角形，

則?OD?=?OE?=X：+4=￥+￥,又片=4y,考=4y2,

則4(X-%)=W-4=>(為_X)(%+X+4)=0.

因乂，%>°,則為=X=X2+百=O.又由圖可得/0。F=7-

O

得ODE的周長為24√L故C錯誤;

D選項，設“(X，y),則f

y2+2y+\

,當r取最大值時,

y=l.取“（2,1）,則此時G尸〃的面積為gx,GIXkJ=gx2χ2=2.

故D正確.

22

15.（多選題）（2023?廣東?校聯考模擬預測）已知雙曲線C：?-4=l（?>0,

a~b~

b>0）,C的左、右焦點分別為月，F2,尸為C上一點，則以下結論中，正確的

是（）

A.若P（√∑,l）,且也心軸，則C的方程為/-V=1

B.若C的一條漸近線方程是0χ-y=O,則C的離心率為亞

2

C.若點尸在C的右支上，C的離心率為G,則等腰尸耳。的面積為

D.若SinNpzM=e?sinNP死耳，則C的離心率，的取值范圍是（1,√∑+1]

【答案】AD

【解析】對于A,若P（√I1）,且PFTX軸，則耳卜衣0）,6（立0）,c=4,

所以IPKITPGI=J（2&）+F-JO`r=3-1=2=24,則4=1,所以從=C?-6=ι,

則C的方程為--V=],故A正確；

對于B,若C的一條漸近線方程是"r-y=O,則?=√∑,離心率e=/=6,

故B不正確；

對于C,若C的離心率為6,JHc=&,所以A=TJ二∕=J2,若點尸在C的右

支上，W。為等腰三角形，則IPa=IO不，連接PF2,如圖，

y

FΓTO?UF2X

q-l?-Ib2-b2

則APEB是直角三角形，所以呻-萬^歷弓-]丁丁-萬，故C不正確；

tan—

4

對于D,若SinNP/祀=esinNP//，由正弦定理得∣∕1E∣=e∣P用，可知點P在雙曲

線的左支上，故IP闖—∣PR∣=2α,

則歸用=必；，^?PFl?≥c-af所以蘭≥c-α,整理得二≥e-l,解得e≤√∑+l,

e—ie—le—1

所以C的離心率，的取值范圍是（1,五+1],故D正確.

故選：AD.

16.（2023?江西?校聯考二模）寫由與圓./+）,2=4和拋物線Y=3y都相切的一條

直線的方程.

【答案】y=2√Σx-6或.y=-2Λ∕ΣX-6（寫出其中之一即可）

【解析】由題知：與圓/+V=4和拋物線V=3）都相切的直線存在斜率，

設切線方程為y=kx+bf

所以7鼻=2,化簡得：k2=--l.

√l+?~4

Y2=3v

又{?=^>x2-3Ax-3?=0

[y=kx+b9

（h2}2

因為A=9∕+12）=0,所以9彳-1+126=0,解得。=-6或〃=：.

當6=-6時，k2=^-1=8,?=±2√2.

24

當時，」2=0一1=-[<0,舍去?

49

所以切線方程為y=2y∣2x-6或y=-2&x-6.

17.（2023?河南開封?開封高中校考模擬預測）已知橢圓q→q=l的左焦點為Ft

P是橢圓上一點，若點A(1,-1),則以∣+∣p目的最小值為.

【答案】6-√2??-√2+6

【解析】根據橢圓的定義：?PA?+?PF?^PA?+2a-?PF2?f

.JΛ4∣+∣PF∣取得最小值時,

即∣Λ4∣-∣P居I最小,

如圖所示：IPAl+1PFl≥2"-|A局=6-五，當P,A,巴共線時取得最小值.

.?∣PA∣+∣P用的最小值為：6-√2?

18.(2023?山東聊城?統考模擬預測)已知雙曲線cJ-∕l(α>0,6>0)的左、右

焦點分別為￡,F2,且忸閭=4,P(3,四)是C上一點.

⑴求C的方程；

(2)不垂直于坐標軸的直線/交。于M,N兩點，交X軸于點A,線段MN的垂

直平分線交無軸于點。，若IAMliAN∣=2∣A0,證明：直線/過四個定點

(―3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一個.

【解析】(D設C的焦距為2c,則2c=4,即c?=2,fl(-2,0)f用(2,0),

由雙曲線的定義，得力=IP用TPFJ=7(3+2)2+(√2)2-√(3-2)2+(√2)2=2√3,

即α=>∕J,所以6=Vc2-a2=1,

故。的方程為丁=1;

(2)設A(s,0),M(xl,y,)fN(x2,y2)f直線/的方程為X=)+s(tHθ),

x=ty+s

2

聯立*2_整理得(產-3)V+2sty+s-3=09

-----y=1

3

[r-3≠0βlfr≠3

222,

由題意，^μ=4Λ-4(r-3)(5-3)>0則江+/>3,

則％+為=怖三，MM=Ff,

I—?I—5

IAMHANI=IAM?A7V∣=∣(x∣-s)(x2-s)+y%∣=H?優+X%∣

∣/,?Ip-3)(r2+ι)

=h+l)x%∣'，

設MN的中點G(Xo,九)為，則為=^^1=pz!?,Xo="。+s='?7?+s=;?,

所以線段MN的垂直平分線的方程為丫+仁=-/小+工］,

t—jII~JJ

令.V=。，得X=反，即。(瀉,0),所以IADl=瀉-S=華?，

t-J—?)t—Jt-J

2

(--3)(r+1)L√r+l)∣ll

由題意，得^~~?~~,即卜2-3∣=2⑶，從而.*-3=±2S,

當S?-3=2s,即s'-2s-3=0時,解得S=T或s=3;

當$2-3=-2s,即s?+2s-3=0時，解得s=-3或s=l,

所以直線/的方程為x=，」3,或x="-l,或x="+l,或x=)+3,

故直線/過四個定點(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一個.

19.(2023?遼寧鞍山?統考二模)拋物線C:y2=2px(p>0)上的點M(l,%)到拋物

線。的焦點尸的距離為2,4、3(不與。重合)是拋物線。上兩個動點,且OALOB.

⑴求拋物線。的標準方程；

(2)X軸上是否存在點P使得ZAPB=2ZAPO?若存在，求出點P的坐標，若不存

在，說明理由.

【解析】⑴由拋物線的定義得網=1+勺2,解得P=2,

則拋物線C的標準方程為,F=4x.

(2)依題意知直線。4與直線。8的斜率存在，設直線04方程為y=乙伏WO),

由得直線。B方程為：尸-卜,

由H、，解得心，

1

V=——X

由,k解得B(4∕T%)

y2=4x

由ZAPB=2ZAPO得AOPA=NOPB,假定在'軸上存在點P使得^OPA=NoPB,設

點P(%,0),

4

jAk—4k

則由⑴得直線PA斜率％=才J=直線P5斜率α=κ7,

--Y"KXQX0

k20

4jt4%

22

由NOPA=NOPB得%+A?=0,則有=^4-kx0=4k-x0f

整理得