第七章萬有引力與航天一、開普勒行星三定律1．軌道定律所有行星繞太陽運動的軌道都是______，太陽處在______的一個焦點上。2．面積定律對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等。3．周期定律所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即式中為橢圓軌道的半長軸，為行星繞行的周期，k是一個與行星無關的常量。二、萬有引力定律1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成______，與它們之間距離r的二次方成______。2．表達式式中為萬有引力常量，由______利用扭秤實驗測得；為質點或勻質球體之間的距離。3．適用條件①公式適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點。②質量分布均勻的球體可視為質點。三、萬有引力和重力的關系（為為地球半徑）1．不考慮地球自轉的情況下，萬有引力和重力相等，既2．考慮地球自轉的情況下，物體所受萬有引力由重力和向心力矢量合成，如圖所示在赤道表面時，向心力和重力重合，即在兩極時，向心力為0，萬有引力和重力相等，既四、計算天體的質量和密度類型方法已知量利用公式表達式備注質量的計算利用運行天體r、T只能得到中心天體的質量r、vv、T利用天體表面重力加速度g、R密度的計算利用運行天體r、T、R當r＝R時，利用近地衛星只需測出其運行周期利用天體表面重力加速度g、R五、衛星運行的相關參數在公式中，為軌道半徑，為地球半徑，為地球表面附近的重力加速度1．線速度2．角速度3．周期4．加速度六、宇宙速度1．第一宇宙速度①定義：物體在地球附近繞地球做______運動的速度②地球的第一宇宙速度的計算當衛星的軌道半徑等于地球半徑時，衛星環繞速度為第一宇宙速度，即③對第一宇宙速度的理解“最小______”：向高軌道發射衛星比向低軌道發射衛星困難，因為發射衛星要克服地球對它的引力。近地軌道是人造衛星的最低運行軌道，而近地軌道的發射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是發射人造衛星的最小速度。“最大______”：在所有環繞地球做勻速圓周運動的衛星中，近地衛星的軌道半徑最小，由可知軌道半徑越小，線速度越大，所以在這些衛星中，第一宇宙速度是所有環繞地球做勻速圓周運動的衛星的最大環繞速度。2．第二宇宙速度在地面附近發射飛行器，如果速度大于7.9km/s，又小于______，它繞地球運行的軌跡就不是圓，而是橢圓。當飛行器的速度等于或大于______時，它就會克服地球的引力，永遠離開地球。我們把11.2km/s叫作第二宇宙速度。3．第三宇宙速度在地面附近發射飛行器，如果要使其掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外，必須使它的速度等于或大于______，這個速度叫作第三宇宙速度。七、衛星變軌1．制動變軌（由Ⅲ軌道降低到Ⅰ軌道）衛星的速率變小時，使得萬有引力大于所需向心力，即，衛星做近心運動，軌道半徑將變小。2．加速變軌（由Ⅰ軌道降低到Ⅲ軌道）衛星的速率變大時，使得萬有引力小于所需向心力，即，衛星做離心運動，軌道半徑將變大。八、相對論時空觀與牛頓力學的局限性1．愛因斯坦的假設①在不同的慣性參考系中，物理規律的形式都是相同的。②真空中的光速在不同的慣性參考系中大小都是相同的。2．時間延緩效應如果相對于地面以v運動的慣性參考系上的人觀察到與其一起運動的物體完成某個動作的時間間隔為Δτ，地面上的人觀察到該物體在同一地點完成這個動作的時間間隔為Δt，那么兩者之間的關系是由于，所以總有，此種情況稱為時間延緩效應。3．長度收縮效應如果與桿相對靜止的人測得桿長是l0，沿著桿的方向，以v相對桿運動的人測得桿長是l，那么兩者之間的關系是由于，所以總有，此種情況稱為長度收縮效應。4．牛頓力學的成就從地面上物體的運動到天體的運動，從攔河筑壩、修建橋梁到設計各種機械，從自行車到汽車、火車、飛機等現代交通工具的運動，從投出籃球到發射導彈、人造地球衛星、宇宙飛船……所有這些都服從牛頓力學的規律。5．牛頓力學的適用范圍：只適用于低速運動，不適用于高速運動；只適用于宏觀世界，不適用于微觀世界。開普勒行星定律揭示了行星繞太陽運行的重要規律。橢圓定律說明了行星繞太陽運行的軌道為橢圓，太陽在橢圓的某個焦點上；面積定律定律說明了行星與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等，也說明了行星在近地點速度大于遠地點速度；周期定律說明了所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，若行星軌道近似為圓軌道，半長軸即為圓周軌跡的半徑。【例題】1.關于行星運動定律和萬有引力定律的建立過程，下列說法正確的是（）A.開普勒通過天文儀器觀察到行星繞太陽運動的軌道是橢圓B.卡文迪許通過對幾個鉛球之間萬有引力的測量，得出了引力常量的數值C.第谷通過嚴密的數學運算，得出了行星的運動規律D.牛頓通過比較月球和近地衛星的向心加速度，對萬有引力定律進行了“月—地檢驗”【答案】B【解析】【詳解】AC．第谷經過多年的天文觀測留下了大量的觀測數據，開普勒通過分析這些數據，最終得出了行星的運動規律，故AC錯誤；B．牛頓發現了萬有引力定律之后，第一次通過實驗比較準確地測出萬有引力常量的科學家是卡文迪許，卡文迪許通過對幾個鉛球之間萬有引力的測量，得出了引力常量的數值，故B正確；D．牛頓通過比較月球公轉的向心加速度和地球表面的重力加速度，對萬有引力定律進行了“月—地檢驗”，故D錯誤。故選B。2.北京冬奧會開幕式24節氣倒計時驚艷全球，如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應的節氣，下列說法正確的是（）A.夏至時地球與太陽的連線在單位時間內掃過的面積最大B.從冬至到春分的運行時間等于從春分到夏至的運行時間C.太陽既在地球公轉軌道的焦點上，也在火星公轉軌道的焦點上D.若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉周期，，則地球和火星對應的k值不同【答案】C【解析】【詳解】A．由開普勒第二定律可知地球與太陽的連線在單位時間內掃過的面積都相等，故A錯誤；B．地球經歷春夏秋冬由圖可知是逆時針方向運行，冬至為近日點，運行速度最大，夏至為遠日點，運行速度最小；所以從冬至到春分的運行時間小于從春分到夏至的運行時間，故B錯誤；C．根據開普勒第一定律可知，太陽既在地球公轉軌道的焦點上，也在火星公轉軌道的焦點上，故C正確；D．若用a代表橢圓軌道的半長軸，T代表公轉周期，，則地球和火星對應的k值是相同的，故D錯誤。故選C。【練習題】3.關于開普勒行星運動的公式，以下理解正確的是（）A.k是一個與中心天體有關的量B.若地球繞太陽運轉軌道的半長軸為R，周期為T，月球繞地球運轉軌道的半長軸為，期為，則C.T表示行星運動的公轉周期D.R表示行星的半徑【答案】AC【解析】【詳解】A．關于開普勒行星運動的公式k是一個與行星無關的常量，與中心天體的質量有關，故A正確；B．關于開普勒行星運動的公式公式中的k是與中心天體質量有關的，中心天體不一樣，k值不一樣，地球公轉的中心天體是太陽，月球公轉的中心天體是地球，k值是不一樣的，故B錯誤；C．關于開普勒行星運動的公式中的T代表行星運動的公轉周期，故C正確；D．關于開普勒行星運動的公式中的R表示行星的軌道半徑，故D錯誤。故選AC。4.開普勒行星運動定律是我們學習、研究天體運動的基礎。下列對開普勒行星運動定律理解錯誤的是（）A.由開普勒第一定律知，行星繞太陽運動的軌道不是標準的圓形B.由開普勒第一定律知，太陽處在繞它運動的行星軌道的焦點上C.由開普勒第二定律知，火星和木星圍繞太陽運行在相等的時間內它們掃過的面積相等D.由開普勒第三定律知，地球與火星軌道的半長軸的三次方跟它們各自公轉周期的二次方的比值相等【答案】C【解析】【詳解】A．開普勒第一定律指出所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，故A正確，不符合題意；B．由開普勒第一定律知，太陽處在繞它運動的行星軌道的焦點上，故B正確，不符合題意；C．由開普勒第二定律可知，行星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，是針對同一個行星而言的，故C錯誤，符合題意；D．由開普勒第三定律知，地球與火星軌道的半長軸的三次方跟它們各自公轉周期的二次方的比值相等，故D正確，不符合題意。故選C。5.某人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為月球繞地球運動半徑的，則此衛星的運動周期為（）A.1~4天 B.4~8天C.8~16天 D.大于16天【答案】B【解析】【詳解】由可知=因為月球繞地球運動的周期約為27天，所以T星≈5天故選B。萬有引力定律的推導主要應用了開普勒第三定律、牛頓第三定律、向心力方程，并且通過月—地檢驗證明了萬有引力定律的正確性。【例題】6.2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛星發射中心點火升空。若神舟十三號在地面時，地球對它的萬有引力大小為F，地球可視為球體，則當神舟十三號上升到離地面距離等于地球半徑時，地球對它的萬有引力大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由題意，根據萬有引力定律有當神舟十三號上升到離地面距離等于地球半徑時，地球對它的萬有引力大小為故選C。7.有一質量為、半徑為、密度均勻的球體，在距離球心O為的地方有一質量為的質點，現在從球體中挖去一半徑為的小球體（如圖所示），然后在挖空部分填滿另外一種密度為原來2倍的物質，則填充后的實心球體對質點的萬有引力是多少（萬有引力常量為）？【答案】【解析】【詳解】設原來球體的密度為，則在球體內部挖去半徑為的小球體，挖去小球體的質量為挖去小球體前，球與質點的萬有引力被挖部分對質點的萬有引力為填充物密度為原來物質的2倍，則填充物對質點的萬有引力為挖去部分的2倍，填充后的實心球體對質點的萬有引力為8.開普勒用二十年的時間研究第谷的行星觀測數據，分別于1609年和1619年發表了下列定律：開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等。開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸a的三次方跟它的公轉周期T的二次方的比都相等，即，k是一個對所有行里都相同的常量。（1）在研究行星繞太陽運動的規律時，將行星軌道簡化為一半徑為r的圓軌道。a．如圖所示，設行星與太陽的連線在一段非常非常小的時間內，掃過的扇形面積為。求行星繞太陽運動的線速度的大小v，并結合開普勒第二定律證明行星做勻速圓周運動；（提示：扇形面積=×半徑×弧長）b．請結合開普勒第三定律、牛頓運動定律，證明太陽對行星的引力F與行星軌道半徑r的平方成反比。（2）牛頓建立萬有引力定律之后，人們可以從動力學的視角，理解和解釋開普勒定律。已知太陽質量為MS、行星質量為MP、太陽和行星間距離為L、引力常量為G，不考慮其它天體的影響。a．通常認為，太陽保持靜止不動，行星繞太陽做勻速圓周運動。請推導開普勒第三定律中常量k的表達式；b．實際上太陽并非保持靜止不動，如圖所示，太陽和行星繞二者連線上的O點做周期均為T0的勻速圓周運動。依照此模型，開普勒第三定律形式上仍可表達為。請推導k′的表達式（用MS、MP、L、G和其它常數表示），并說明k′≈k需滿足的條件。【答案】（1）a．，證明過程見解析；b．證明過程見解析；（2）a．；b．，行星質量遠小于太陽質量【解析】【詳解】（1）a．根據扇形面積公式可得時間內行星掃過的扇形面積滿足解得根據開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等，即為常量，則行星繞太陽運動的線速度的大小v也為常量，所以行星做勻速圓周運動；b．設行星質量為m，根據題意可知行星的圓周運動由太陽對行星的引力F提供向心力，則根據牛頓第二定律有根據開普勒第三定律可得即聯立以上兩式可得其中為常量，則太陽對行星的引力F與行星軌道半徑r的平方成反比；（2）a．行星繞太陽做勻速圓周運動由萬有引力提供向心力，所以根據牛頓第二定律有解得b．設行星做勻速圓周運動的軌道半徑為r，太陽做勻速圓周運動的軌道半徑為R，則有行星做勻速圓周運動由萬有引力提供向心力，所以根據牛頓第二定律有太陽做勻速圓周運動由萬有引力提供向心力，所以根據牛頓第二定律有將以上兩式相加可得解得則若要使k′≈k，即需要行星的質量遠小于太陽的質量。【練習題】9.2021年5月15日，我國首次火星探測任務天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預選著陸區成功軟著陸。用h表示著陸器與火星表面的距離，用F表示它所受的火星引力大小，則在著陸器從火星上空向火星表面軟著陸的過程中，能夠描述F隨h變化關系的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】由萬有引力定律可得著陸器從火星上空向火星表面軟著陸的過程中，隨著h減小，F非線性增大，對比圖線可知，C選項的圖像符合題意。故選C。10.如圖所示，空間有一半徑為R質量分布均勻的球體，球的右側有一質量為m的可視為質點的物體，物體距離球體球心O之間的距離為2R，O與物體的連線在同一水平線上，球對物體的引力大小為。現從球中挖走兩個半徑為的小球，小球的球心、與O點的連線在同一豎直線上。則剩余部分對物體的引力大小為。則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】假設大球的質量為M，則該球對物體的引力大小為挖走的小球質量為挖走的球與物體之間的距離為挖走的一個小球與物體之間的引力大小為整理得設與物體的連線與水平方向的夾角為，則挖走的兩個小球與物體之間的引力為解得得故選D。【易錯題】11.如圖所示，兩球間的距離為r，兩球的質量分布均勻，質量大小分別為m1、m2，半徑大小分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】兩球質量分布均勻，可認為質量集中于球心，由萬有引力定律可知兩球間的萬有引力應為故選D。12.如圖所示，兩個實心球的半徑分別為、，其質量分別為、且兩實心球的質量分布不均勻（兩球內側密度大）。兩球間的距離，取引力常量，則兩球間萬有引力的大小（）A.等于6.67×1011N B.大于6.67×1011NC.小于6.67×1011N D.不能確定【答案】B【解析】【詳解】根據萬有引力公式和題意可知兩實心球的重心間距當代入計算解得重心間距小，萬有引力更大，B項正確，ACD錯誤。故選B。1．假設地球半徑為考慮地球自轉的情況下，萬有引力等于重力mg與向心力F向的矢量和；2．在赤道上，重力mg與向心力F向共線，即；3．在兩極上，向心力F向為0，即；4．在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動，常認為萬有引力等于重力，即；5．在地球表面附近的高處的重力加速度為，即。【例題】13.已知質量分布均勻的球殼對內部任一質點的萬有引力為零。若將地球視為質量分布均勻的球體，半徑為R，且不計地球自轉。設地球表面上方高0.5R處的重力加速度，地球表面下方深0.5R處的重力加速度，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】設地球的質量為M，密度為，由于質量分布均勻球殼對其內部任一質點的萬有引力為零，可知地球表面下方深0.5R處的重力加速度相當于半徑為的球體產生的重力加速度，根據在地球表面上方高0.5R處，根據萬有引力等于重力得又聯立，可得故ABC錯誤；D正確。故選D。14.某星球的質量約為地球質量的4倍，半徑與地球近似相等。（1）若從地球表面高為h處平拋一物體，水平射程為，則在該星球上，從同樣高度，以同樣的初速度平拋同一物體，水平射程應為多少？（2）如圖所示，在該星球表面發射一枚火箭，其上有精密的探測器，豎直向上做加速直線運動，已知該星球半徑為，表面重力加速度為，升到某一高度時，加速度為，測試儀器對平臺的壓力剛好是起飛前壓力的，求此時火箭所處位置距星球表面的高度？【答案】（1）10m；（2）【解析】【詳解】（1）設星球質量為M1地球質量為M，半徑為R1和R2在星球體表面做平拋運動，則，設在星球和地球平拋水平位移分別為和，得故代入值解得=10m（2）起飛前高h處時根據牛頓第二定律得帶入得根據萬有引力提供重力可得，【練習題】15.某行星為質量分布均勻的球體，半徑為R，質量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時，發現物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.2倍。已知引力常量為G，則該行星自轉的角速度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設赤道處的重力加速度為g，物體在兩極時萬有引力等于重力，有在赤道時萬有引力可分解為重力和自轉所需的向心力，則有聯立解得該行星自轉的角速度為故選A。16.在地球上不同地方，重力加速度大小是不同的。若把地球看成一個質量分布均勻的球體，測量出地球兩極處的重力加速度與赤道處的重力加速度之差為，已知地球半徑為R，則地球自轉的周期T為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】設地球的質量為，物體的質量為，地球兩極處的重力加速度為，赤道處的重力加速度為，在地球兩極處有在赤道處有又有聯立解得故ABD錯誤，C正確。故選C。17.假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常數為G，則地球由于自轉，地球赤道上某點轉動的線速度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】在地球兩極在赤道上解得地球赤道上某點轉動的線速度為故選D。計算中心天體的主要思路有兩個：1．根據行星或衛星繞中心天體做勻速圓周運動的的信息求解中心天體的質量，例如已知行星或衛星繞中心天體運行的周期是，根據可知；2．忽略中心天體自轉或在中心天體表面附近做勻速圓周運動，根據可知，需要注意的是g為天體表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用實驗測出，例如讓小球做自由落體、平拋、上拋等運動。計算中心天體的密度，需要知道中心天體的半徑，根據體積和密度求解中心天體的密度。【例題】18.1789年英國物理學家卡文迪許測出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質量的人”。若已知引力常量為G，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個晝夜的時間為T1（地球自轉周期），一年的時間為T2（地球公轉周期），地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽中心的距離為L2。下列說法正確的是（）A.地球的質量B.太陽的質量C.月球的質量D.由題中數據可求月球的密度【答案】B【解析】【詳解】A．若不考慮地球自轉，根據地球表面萬有引力等于重力，有則故A錯誤；B．根據太陽對地球的萬有引力提供向心力，有則故B正確；CD．由題中數據無法求出月球的質量，也無法求出月球的密度，故CD錯誤。故選B。19.月球，地球唯一的一顆天然衛星，是太陽系中第五大的衛星。航天員登月后，觀測羽毛的自由落體運動，得到羽毛的速度隨時間變化的圖像如圖所示。已知月球半徑為，引力常量為，則（）A.月球表面的重力加速度大小為B.月球表面的重力加速度大小為C.月球的平均密度為D.月球的平均密度為【答案】D【解析】【詳解】AB．由圖像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小為故AB錯誤；CD．根據月球表面上的物體受到的萬有引力等于重力，即月球密度聯立以上各式得月球的平均密度為故C錯誤，D正確。故選D。【練習題】20.2021年5月15日，天問一號著陸巡視器成功著陸于火星的烏托邦平原，中國首次火星探測任務著陸火星取得圓滿成功。如果著陸前著陸器近火星繞行的周期為102min。已知地球平均密度為，中國空間站距地球表面約400km，周期約為90min，地球半徑約為6400km。下列數值最接近火星的平均密度的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】詳解】對近地衛星，萬有引力提供向心力，有其中解得常數則故選B。21.2021年5月15日7時18分，由祝融號火星車及進入艙組成的天問一號著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原南部預選著陸區，由此又掀起了一股研究太空熱。某天文愛好者做出如下假設：未來人類宇航員登陸火星，在火星表面將小球豎直上拋，取拋出位置O點處的位移，從小球拋出開始計時，以豎直向上為正方向，小球運動的圖像如圖所示（其中a、b均為已知量）。忽略火星的自轉，且將其視為半徑為R的勻質球體，引力常量為G。則下列分析正確的是（）A.小球豎直上拋的初速度為B.小球從O點上升的最大高度為C.火星的質量為D.火星的密度為【答案】D【解析】【詳解】AB．設小球豎直上拋的初速度為，火星表面重力加速度為，則有可得可知圖像的縱軸截距等于初速度，則有圖像的斜率絕對值為可知星表面重力加速度為小球從O點上升的最大高度為AB錯誤；C．根據物體在火星表面受到的重力等于萬有引力，則有解得火星的質量為C錯誤；D．根據可得火星的密度為D正確。故選D。22.熱愛天文科學的某同學從網上得到一些關于月球和地球的信息，如下表所示。根據表格中數據，可以計算出地球和月球的密度之比為（）月球半徑R0月球表面處的重力加速度g0地球和月球的半徑之比地球表面和月球表面的重力加速度之比A.3∶2 B.2∶3C.4∶1 D.6∶1【答案】A【解析】【詳解】在星球表面附近，萬有引力等于重力，即解得星球質量則地球和月球的質量之比由密度公式體積公式聯立解得地球和月球的密度之比A正確，BCD錯誤。故選A。【易錯題】23.一小物塊掛在豎直彈簧下端并處于靜止狀態，在地球兩極彈簧的形變量為赤道上形變量的k倍，設地球為一均勻球體，已知地球自轉周期為T，引力常量為G，則地球的密度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】地球自轉的角速度設地球質量為，半徑為，根據題意可得又聯立解得故D正確，ABC錯誤。故選D。24.科學家計劃在2025年將首批宇航員送往火星進行考察。一質量為m的物體，假設在火星兩極宇航員用彈簧測力計測得的讀數為，在火星赤道上宇航員用同一個彈簧測力計測得的讀數為，通過天文觀測測得火星的自轉角速度為，引力常量為G，將火星看成是質量分布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【詳解】在火星兩極在火星赤道上密度公式為聯立得，故選AC。1．如圖所示，宇宙中有相距較近、質量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠，其他星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。2．雙星系統的特點①兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同；②兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供；③兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即，軌道半徑與兩星質量成反比。3．雙星系統相關的數量關系①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即②兩行星質量之比；③兩行星總質量；④雙星系統的周期。4．多星系統的特點三星模型四星模型【例題】25.在浩瀚的銀河系中，多數恒星都是雙星系統。如圖所示為某雙星系統中A、B兩星繞其連線上的O點做勻速圓周運動的示意圖。若A星的軌道半徑是B星軌道半徑的4倍，它們之間的距離保持不變，雙星系統中的A、B兩星都可視為質點。則下列說法中正確的是（）A.A星與B星所受的引力大小相等B.A星與B星線速度大小之比為4：1C.A星與B星的質量之比為4：1D.A星與B星的動能之比為4：1【答案】ABD【解析】【詳解】A．星與B星所受的引力就是二者之間的萬有引力，故、B兩星所受的引力大小相等，A正確；B．在雙星系統中，星與B星轉動的角速度相等，根據可知星與B星的線速度大小之比為，B正確；C．、B兩星做勻速圓周運動的向心力由二者之間的萬有引力提供，可得則星與B星的質量之比為C錯誤；D．星與B星的動能之比為D正確；故選ABD。26.某科學報告中指出，在距離我們大約1600光年的范圍內，存在一個四星系統。假設四星系統離其他恒星較遠，通常可忽略其他星體對四星系統的引力作用。四星系統的形式如圖所示，三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行（圖中未畫出），而第四顆星剛好位于等邊三角形的中心不動。設每顆星的質量均為m，引力常量為G，則（）A.在三角形頂點的三顆星做圓周運動的向心加速度與其質量無關B.在三角形頂點的三顆星的總動能為C.若四顆星的質量m均不變，距離L均變為2L，則在三角形頂點的三顆星周期變為原來的2倍D.若距離L不變，四顆星的質量m均變為2m，則在三角形頂點的三顆星角速度變為原來的2倍【答案】B【解析】【詳解】A．每顆星軌道半徑為，每顆星受到的萬有引力的合力由萬有引力提供向心力得解得向心加速度與質量有關，A錯誤；B．由得在三角形頂點的一顆星的動能則總動能B正確；CD．由解得若距離L變為原來的2倍，則周期變為原來的倍；若每顆星的質量m都變為原來的2倍，則周期變為原來的倍，即角速度變為原來的倍，CD錯誤。故選B。【練習題】27.100多年前愛因斯坦預言了引力波的存在，幾年前科學家探測到黑洞合并引起的引力波。雙星的運動是產生引力波的來源之一，在宇宙中有一雙星系統由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點只在二者間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，測得P星的周期為T，P、Q兩顆星的距離為l，P、Q兩顆星的軌道半徑之差為（P星的軌道半徑大于Q星的軌道半徑），引力常量為G，則下列結論錯誤的是（）A.兩顆星的質量之差為B.兩顆星的線速度大小之差的絕對值為C.QP兩顆星的質量之比為D.QP兩顆星的運動半徑之比為【答案】C【解析】【詳解】D．雙星系統靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，則周期相等，所以Q星的周期為T；根據題意可知rP+rQ=l，解得：，則Q、P兩顆星的運動半徑之比，故D正確，不符合題意；A．雙星系統靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有：解得，則Q、P兩顆星的質量差為故A正確，不符合題意；B．Q、P兩顆星的線速度大小之差的絕對值為故B正確，不符合題意；C．Q、P兩顆星的質量之比為故C錯誤，符合題意。故選C。28.2021年5月，基于俗稱“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）的觀測，國家天文臺李菂、朱煒瑋研究團組姚菊枚博士等首次研究發現脈沖星三維速度與自轉軸共線的證據。之前的2020年3月，我國天文學家通過FAST，在武仙座球狀星團（M13）中發現個脈沖雙星系統。如圖所示，假設在太空中有恒星A、B雙星系統繞點O做順時針勻速圓周運動，運動周期為，它們的軌道半徑分別為RA、RB，RA<RB，C為B的衛星，繞B做逆時針勻速圓周運動，周期為T2，忽略A與C之間的引力，萬引力常量為G，則以下說法正確的是（）A.若知道C的軌道半徑，則可求出C的質量B.恒星A、B的質量和為C.若A也有一顆運動周期為T2的衛星，則其軌道半徑小于C的軌道半徑D.設A、B、C三星由圖示位置到再次共線的時間為t，則【答案】BD【解析】【詳解】A．C繞B做勻速圓周運動，滿足故無法求出C的質量，A錯誤；B．AB構成雙星系統，滿足解得同理可得故恒星A、B的質量和為，B正確；C．AB構成雙星系統，滿足因為<，所以，若A也有一顆運動周期為的衛星D，根據可知而衛星C半徑滿足D軌道半徑大于C的軌道半徑，C錯誤；D．如圖所示A、B、C三星由圖示位置到再次共線時，A、B轉過的圓心角θ1與C轉過的圓心角θ2互補，則有解得D正確。故選BD。29.近年科學研究發現，在宇宙中，三恒星系統約占所有恒星系統的十分之一，可見此系統是一個比較常見且穩定的系統。在三恒星系統中存在這樣一種運動形式：忽略其他星體對它們的作用，三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內以相同角速度做勻速圓周運動。如圖所示為A、B、C三顆星體質量mA、mB、mC大小不同時，星體運動軌跡的一般情況。設三顆星體在任意時刻受到的萬有引力的合力大小分別為F1、F2、F3，加速度大小分別為a1、a2、a3，星體軌跡半徑分別為RA、RB、RC，下列說法正確的是（）A.若三顆星體質量關系有mA＝mB＝mC，則三顆星體運動軌跡圓為同一個B.若三顆星體運動軌跡半徑關系有RA＜RB＜RC，則三顆星體質量大小關系為mA＜mB＜mCC.F1、F2、F3的矢量和一定為0，與星體質量無關D.a1、a2、a3的矢量和一定為0，與星體質量無關【答案】AC【解析】【詳解】A．若三個星體質量相等，則根據對稱性可知，三個星體所受的萬有引力大小均相同，在角速度都相等的情況下，軌跡半徑也相等，故三顆星體運動軌跡圓為同一個，故A正確；B．若三顆星體運動軌跡半徑關系有RA＜RB＜RC而因為三顆星體的角速度相等，則萬有引力的大小關系為FA＜FB＜FC根據對稱性可知mA＞mB＞mC故B錯誤；CD．根據萬有引力定律可知F1＝FBA+FCA同理可得F2＝FAB+FCB；F3＝FAC+FBC（此處的“+”號表示的是矢量的運算）則F1+F2+F3＝FBA+FCA+FAB+FCB+FAC+FBC＝0而當三顆星體的質量相等時，加速度的矢量和才等于0，故C正確，D錯誤；故選AC。【易錯題】30.宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，如圖所示，設四星系統中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上、已知引力常量為G，關于四星系統，下列說法正確的是（）A.四顆星的向心加速度的大小均為B.四顆星運行的線速度大小均為C.四顆星運行的角速度大小均為D.四顆星運行的周期均為【答案】B【解析】【詳解】一個星體受其他三個星體的萬有引力作用，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，四顆星的軌道半徑，根據萬有引力提供向心力，有解得故B正確，A、C、D錯誤。故選B。人造衛星繞中心天體做勻速圓周運動，衛星運行的線速度、角速度、周期、加速度均和衛星的軌道半徑有關，結合變化各項參數的形式。【例題】31.中國日報2022年9月9日電（記者張宇浩）當地時間7日，美國國家航空航天局的“苔絲”（TESS）任務宣布發現兩顆系外行星，距離地球約100光年，其中一顆或適合生命存活。這兩顆系外行星被歸類為“超級地球”，即質量比地球大，但比冰巨星小。它們繞著一顆“活躍度較低”的紅矮星運行。第一顆行星，LP8909b，其半徑是地球的倍，每天繞恒星一周。另一顆行星LP8909c的半徑是地球的倍，大約天繞恒星一周，繞行期間處于恒星宜居帶內。研究人員表示，LP8909c距離恒星很近，接收到的輻射熱量卻很低，若有充足的大氣層，行星表面或存在液態水。若將兩顆行星和地球均視為球體，假設LP8909c與地球密度相等，地球繞太陽和兩顆行星繞紅矮星的運動均看做勻速圓周運動。下列說法正確的是（）A.LP8909c表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為B.LP8909c的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為C.LP8909b與LP8909c繞恒星公轉的軌道半徑之比為D.LP8909b與LP8909c繞恒星公轉的線速度之比為【答案】B【解析】【詳解】A．由得又知與地球密度相等，所以故LP8909c表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為，選項A錯誤；B．根據萬有引力定律有解得可得由A選項可知，所以LP8909c的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為1.4:1，選項B正確；C．由開普勒第三定律可知與LP8909c繞恒星公轉的軌道半徑之比為；選項C錯誤；D．由可得與LP8909c繞恒星公轉的線速度之比為；選項D錯誤。故選B。32.如圖所示，宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上點沿水平方向以一定初速度拋出一個小球，測得小球經時間落到斜坡上距離點為的另一點，斜面的傾角為，已知該星球半徑為，引力常量為，則（）A.該星球的第一宇宙速度為B.該星球表面的重力加速度大小為C.小球的初速度大小為D.人造衛星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期為【答案】A【解析】【詳解】AB．小球在豎直方向上做勻加速直線運動有得在星球表面有得該星球的第一宇宙速度A正確，B錯誤；C．小球在水平方向上做勻速直線運動得C錯誤；D．人造衛星繞該星球表面做勻速圓周運動的最小周期D錯誤。故選A。【練習題】33.如圖所示是一張人造地球衛星軌道示意圖，其中圓軌道a、c、d的圓心均與地心重合，a與赤道平面重合，b與某一緯線圈共面，c與某一經線圈共面。下列說法正確的是（）A.a、b、c、d都有可能是衛星的軌道B.軌道a上衛星的線速度大于C.軌道c上衛星的運行周期可能與地球自轉周期相同D.僅根據軌道d上衛星的軌道半徑、角速度和引力常量，也不能求出地球質量【答案】C【解析】【詳解】A．衛星繞地球做勻速圓周運動，地球對衛星的引力提供向心力，可知地心為衛星的圓軌道圓心，故b不可能是衛星的軌道，A錯誤；B．第一宇宙速度是衛星在地球表面繞地球做勻速圓周運動時的線速度，是衛星繞地球做勻速圓周運動的最大線速度，故軌道a上衛星的線速度小于，B錯誤；C．如果軌道c的半徑等于地球同步衛星的軌道半徑，則軌道c上衛星的運行周期等于地球同步衛星的周期，即軌道c上衛星的運行周期等于地球自轉周期，C正確；D．根據萬有引力提供向心力可得可得根據軌道d上衛星的軌道半徑、角速度和引力常量，可以求出地球質量，D錯誤。故選C。34.量子衛星成功運行后，我國將在世界上首次實現衛星和地面之間的量子通信，構建天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系。假設量子衛星軌道在赤道平面，如圖所示。已知量子衛星的軌道半徑是地球半徑的m倍，靜止衛星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點是地球赤道上一點，下列說法正確的是（）A.靜止衛星與量子衛星的運行周期之比為 B.靜止衛星與P點的速度之比為n：1C.靜止衛星與量子衛星的速度之比為 D.量子衛星與P點的速度之比為【答案】AB【解析】【詳解】A．根據可知故靜止衛星與量子衛星的運行周期之比為，故A正確；B．赤道上P點周期與靜止衛星周期相同，根據可知靜止衛星與P點的速度之比為n：1，故B正確；C．根據可知故靜止衛星與量子衛星的速度之比為，故C錯誤；D．綜上所述，則則則，量子衛星與P點的速度之比為，故D錯誤。故選AB。35.兩顆相距足夠遠的行星a、b，半徑均為，兩行星各自衛星的公轉速度的平方與公轉半徑的倒數個的關系圖像如圖所示．則關于兩顆行星及它們的衛星的描述，正確的是（）A.行星a的質量較大B.行星a的第一宇宙速度較大C.取相同公轉半徑，行星a的衛星向心加速度較小D.取相同公轉速度，行星a的衛星周期較小【答案】AB【解析】【詳解】A．根據萬有引力提供向心力可知得可知圖線的斜率表示GM，a的斜率大，則行星a的質量較大，故A正確；B．根據得第一宇宙速度因為行星a的質量較大，則行星a的第一宇宙速度較大，故B正確；C．根據得取相同的公轉半徑，由于行星a的質量較大，則行星a的衛星向心加速度較大，故C錯誤；D．根據得取相同的公轉速度，由于行星a的質量較大，可知行星a的衛星軌道半徑較大，根據知，行星a的衛星周期較大，故D錯誤。故選AB。相對于地面靜止且與地球自轉具有相同周期的衛星，叫作地球同步衛星。所有同步衛星的周期（24h）、角度、距離地面高度（約3.6×104km）相同，線速度大小（約3.1×103m/s）、向心加速度大小，都是相同一定的。同步衛星、近地衛星和赤道上物體的比較如下：1．同步衛星與赤道上的物體具有相同的角速度；2．向心力的對比①同步衛星、近地衛星均由萬有引力提供向心力；②赤道上的物體隨地球自轉做圓周運動的向心力（很小）是萬有引力的一個分力。【例題】36.如圖所示，有a、b、c、d四顆衛星，a未發射在地球赤道上隨地球一起轉動，b為近地軌道衛星，c為地球同步衛星，d為高空探測衛星，所有衛星的運動均視為勻速圓周運動，重力加速度為，則下列關于四衛星的說法正確的是（）A.a衛星的向心加速度等于重力加速度gB.b衛星與地心連線在單位時間掃過的面積等于c衛星與地心連線在單位時間掃過的面積C.c、d衛星軌道半徑的三次方與周期的平方之比相等D.b衛星的運行周期大于a衛星的運行周期【答案】C【解析】【詳解】A．設地球質量為，地球半徑為，對于a衛星有所以A錯誤；B．根據牛頓第二定律得衛星與地心連線單位時間掃過的面積為聯立解得兩衛星半徑不同，所以掃過的面積不同，B錯誤；C．根據開普勒第三定律，c、d衛星軌道半徑的三次方與周期平方之比相等，C正確；D．根據萬有引力提供向心力可得解得可知b衛星的運行周期小于c衛星的運行周期，又因為c為地球同步衛星，所以a衛星的運行周期與c衛星周期相同，故b衛星的運行周期小于a衛星的運行周期，D錯誤。故選C。【練習題】37.國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發射的人造衛星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440km，遠地點高度約為2060km；1984年4月8日成功發射的東方紅二號衛星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上。設東方紅一號在近地點的加速度為，線速度為；東方紅二號的加速度為，線速度為；固定在地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為，線速度為；則下列關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【詳解】AB．東方紅一號與東方紅二號衛星都只受萬有引力，根據牛頓第二定律可得可得則有在地球赤道上隨地球自轉的物體的角速度與東方紅二號衛星角速度相同，根據可知故有故A正確，B錯誤。CD．衛星繞地球做勻速圓周運動時，由萬有引力提供向心力可得可得可知東方紅二號衛星的線速度小于以東方紅一號衛星近地點為半徑繞地球做勻速圓周運動時的線速度，而東方紅一號衛星近地點速度大于，則有在地球赤道上隨地球自轉的物體的角速度與東方紅二號衛星角速度相同，根據可得故有故C錯誤，D正確。故選AD。38.如圖，P是緯度為的地球表面上一點，人造地球衛星Q、R均做勻速圓周運動，衛星R為地球赤道同步衛星。若某時刻P、Q、R與地心O在同一平面內，其中O、P、Q在一條直線上，且，下列說法正確的是（）A.12小時后O、P、Q、R再一次共面B.P點向心加速度大于衛星Q的向心加速度C.P、Q、R均繞地心做勻速圓周運動D.R的線速度小于Q的線速度【答案】D【解析】【詳解】A．由公式得QR的周期之比為故12小時候后，Q轉過得角度大于O、P、R轉過的角度，則不會在一次共面，故A錯誤；B．P是緯度為的地球表面上一點，繞地軸做圓周運動，向心加速度基本可以忽略，重力約等于萬有引力，而人造地球衛星Q繞地心做圓周運動，萬有引力提供向心力，則Q的向心加速度大，故B錯誤；C．P繞地軸做勻速圓周運動，Q、R繞地心做勻速圓周運動，故C錯誤；D．由公式可知R距離地心遠，則R的線速度小于Q的線速度，故D正確。故選D。39.有a、b、c、d四顆地球衛星，衛星a還未發射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動，衛星b處于地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星，各衛星排列位置如圖所示，則下列說法正確的是（）A.a的向心加速度小于重力加速度gB.b在相同時間內轉過的弧長最長C.c在4h內轉過的圓心角是D.d的運動周期有可能是23h【答案】ABC【解析】【詳解】A．a受萬有引力和支持力作用，即兩個力的合力提供向心力，即向心加速度小于重力加速度g，故A正確；B．根據得由于rb＜rc＜rd則vb>vc>vda、c的角速度相等，根據v=ωr知，c的線速度大于a的線速度，可知b的線速度最大，則相同時間內轉過的弧長最長，故B正確；C．c為同步衛星，周期為24h，4h內轉過的圓心角故C正確；D．根據得d的軌道半徑大于c的軌道半徑，則d的周期大于c的周期，可知d的周期一定大于24h，故D錯誤。故選ABC。如圖所示。若衛星要從軌道Ⅰ變換到軌道Ⅲ，則需要在A處、B處各點火加速一次；若衛星要從軌道Ⅲ變換到軌道Ⅰ，則需要在B處、A處各制動減速一次。物理量比較如圖速度關系vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ＞vⅢ（向心）加速度關系aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ周期關系TⅠ＜TⅡ＜TⅢ能量關系EⅠ＜EⅡ＜EⅢ【例題】40.“天問一號”火星探測器需要通過霍曼轉移軌道從地球發射到火星，地球軌道和火星軌道近似看成圓形軌道，霍曼轉移軌道是一個在近日點M和遠日點P分別與地球軌道、火星軌道相切的橢圓軌道（如圖所示）。“天問一號”在近日點短暫點火后進入霍曼轉移軌道，接著沿著這個軌道運行直至抵達遠日點，然后再次點火進入火星軌道。已知引力常量為G，太陽質量為m，地球軌道和火星軌道半徑分別為r和R，地球、火星、“天問一號”運行方向都為逆時針方向。若只考慮太陽對“天問一號”的作用力，下列說法正確的是。（）A.兩次點火噴射方向都與速度方向相反B.“天問一號”在霍曼轉移軌道上P點的加速度比在火星軌道上P點的加速度小C.兩次點火之間的時間間隔為D.“天問一號”在地球軌道上的角速度小于在火星軌道上的角速度【答案】AC【解析】【詳解】A．兩次點火都是從低軌道向高軌道轉移，需要加速，所以噴氣方向與運動方向相反，故A正確；B．在P點受到的萬有引力相等，根據牛頓第二定律可知加速度大小相等。故B錯誤；C．探測器在地球軌道上由萬有引力提供向心力有由開普勒第三定律得兩次點火之間的時間為聯立，可得故C正確；D．由萬有引力提供向心力有解得因為“天問一號”在地球軌道上的半徑小于在火星軌道上的半徑，所以“天問一號”在地球軌道上的角速度大于在火星軌道上的角速度。故D錯誤。故選AC。【練習題】41.一著陸器經過多次變軌后登陸火星的軌跡變化如圖所示，著陸器先在軌道Ⅰ上運動，經過P點啟動變軌發動機然后切換到圓軌道Ⅱ上運動，經過一段時間后，再次經過P點時啟動變軌發動機切換到橢圓軌道Ⅲ上運動。軌道上的P、Q、S三點與火星中心位于同一直線上，P、Q兩點分別是橢圓軌道的遠火星點和近火星點，且。除了變軌瞬間，著陸器在軌道上運行時均處于無動力航行狀態。著陸器在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上經過P點的速度分別為、、，下列說法正確的是（??）A.B.著陸器在軌道Ⅲ上運動時，經過P點的加速度為C.著陸器在軌道Ⅲ上從P點運動到Q點的過程中速率變小D.著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點，與著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間之比為【答案】B【解析】【詳解】A．著陸器從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ需要在P減速做近心運動，同理從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ也需要減速，因此故A錯誤；B．在軌道II的P點時，根據牛頓第二定律得解得在同一點，萬有引力相同，則加速度相同，則著陸器在軌道Ⅲ上運動時，經過P點的加速度也為，故B正確；C．根據開普勒第二定律，著陸器在軌道III上從P點運動到Q點的過程中，速率變大，故C錯誤；D．設著陸器在軌道Ⅱ上周期為T1，在軌道Ⅲ上周期為T2，根據開普勒第三定律得解得著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點所需時間為，著陸器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間為，則兩者之比也為，故D錯誤。故選B。42.嫦娥五號是中國首個實施月面無人取樣返回的月球探測器，為中國探月工程的收官之戰。2020年11月29日，嫦娥五號探測器從橢圓環月軌道1上的P點實施變軌進入近月圓形圓軌道2，開始進行動力下降后成功落月，如圖所示。下列說法正確的是（）A.嫦娥五號的發射速度大于11.2km/sB.沿軌道1運動至P時，需減速才能進入軌道2C.沿軌道1運行的周期小于沿軌道2運行的周期D.探測器在軌道2上經過P點的加速度小于在軌道1上經過P點的加速度【答案】B【解析】【詳解】A．發射速度大于11.2km/s衛星將脫離地球束縛，繞太陽運動，嫦娥五號的發射速度應大于7.9km/s小于11.2km/s，A錯誤；B．沿軌道1運動至P時，需減速才能進入軌道2，B正確；C．由開普勒第三定律可知沿軌道1運行的周期大于沿軌道2運行的周期，C錯誤；D．探測器在軌道2上經過P點在軌道1上經過P點的加速度都有萬有引力產生，即探測器在軌道2上經過P點的加速度等于在軌道1上經過P點的加速度，D錯誤；故選B。【易錯題】43.北京時間2022年5月10日01時56分，搭載天舟四號貨運飛船長征七號遙五運載火箭，在我國文昌航天發射場點火發射，約10分鐘后，飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，2時23分，飛船太陽能帆板順利展開工作，發射取得圓滿成功。后續，天舟四號貨運飛船將與在軌運行的空間站組合體進行交會對接，若對接前兩者在同一軌道上運動，下列說法正確的是（）A.對接前“天舟四號”的運行速率大于“空間站組合體”的運行速率B.對接前“天舟四號”的向心加速度小于“空間站組合體”的向心加速度C.“天舟四號”通過加速可實現與“空間站組合體”在原軌道上對接D.“天舟四號”先減速后加速可實現與“空間站組合體”在原軌道上對接【答案】D【解析】【詳解】AB．對接前兩者在同一軌道上運動，由萬有引力提供向心力解得，同一軌道，運行速率，向心加速度相等，AB錯誤；C．飛船與天宮一號在同一軌道上，此時飛船受到的萬有引力等于向心力，若讓飛船加速，所需要的向心力變大，萬有引力不變，所以飛船做離心運動，不能實現對接，C錯誤；D．飛船與天宮一號在同一軌道上，“神舟八號”先減速飛船做近心運動，進入較低的軌道，后加速做離心運動，軌道半徑變大，可以實現對接，D正確。故選D。以天體的追及相遇問題為例。1．地球和行星繞行太陽做勻速圓周運動，當地球和行星處于地球同側且共線時，地球和行星相距最近，即地球和行星“相遇”。地球運行速度大于行星運行的速度，地球和行星之后經過時間再次同側共線，地球比行星多繞行一圈，即轉動角度相差，即結合變形得解得相遇時間為2．地球和行星繞行太陽做勻速圓周運動，當地球和行星處于地球異側且共線時，地球和行星相距最最遠。地球運行速度大于行星運行的速度，地球和行星之后經過時間再次異側共線，地球比行星多繞行半圈，即轉動角度相差，即結合變形得解得【例題】44.太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。當地球恰好運行到某行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日”；當某行星恰好運行到地球和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星凌日”。已知太陽系八大行星繞太陽運動的軌道半徑如表所示，某顆小行星軌道半徑為（為天文單位）。下列說法正確的是（）行星水星金星地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑0.390.721.01.55.29.51930A.金星會發生沖日現象B.木星會發生凌日現象C.火星相鄰兩次沖日的時間間隔最短D.小行星相鄰兩次沖日時間間隔約為1.1年【答案】D【解析】【詳解】AB．行星處在太陽與地球之間，三者排列成一條直線時會發生凌日現象，由此可知：只有位于地球和太陽之間的行星水星和金星才能發生凌日現象；地球在繞日運行過程中處在太陽與行星之間，三者排列成一條直線時會發生沖日現象，所只有位于地球公轉軌道之外的行星才會發生沖日現象，所以金星會發生凌日現象，木星會發生沖日現象，故AB錯誤；C．地球公轉周期為年，地外行星的公轉周期為，如果兩次行星沖日時間間隔為年，則地球多轉動一周，有解得故地外行星中，火星距地球最近，其公轉周期最小，所以火星相鄰兩次沖日的時間間隔最長，故C錯誤；D．若地球的公轉軌道半徑為，則小行星的公轉軌道半徑為，公轉周期為，根據開普勒第三定律可得解得年由此可得：兩次沖日現象的時間間隔年年故D正確。故選D。45.2020年12月17日1時59分，隨著我國“嫦娥五號”返回器攜帶月球樣品于內蒙古中部四子王旗成功著陸，我國實現了月球探測“繞、落、回”三步走規劃的完美收官，標志著我國具備了地月往返的能力，是我國航天事業發展中里程碑式的新跨越。此次任務中需要完成上升器與軌道返回組合體的交會對接，將上升器中存放的月球樣品通過軌道器轉移到返回器中。假設此次交會對接的過程如圖所示，上升器先在半徑為r的環月軌道飛行，軌道返回組合體在半徑為R的環月軌道飛行，當軌道返回組合體運動到圖示B點時，上升器立即加速進入遠月點與月球距離為R的橢圓軌道并恰與軌道返回組合體在遠月點C相遇對接。則B、C兩點對應的圓心角度是（）A. B.πC. D.π【答案】A【解析】【詳解】由開普勒第三定律可知，上升器在橢圓軌道上運行周期等于繞月半徑為圓軌道運行周期，由G解得橢圓軌道上的運動周期為T上=2π=2π=π上升器沿橢圓軌道從A點運動到C點的時間為運動周期的一半，即t=而組合體沿圓軌道運動的周期為T組=2π可得解得θ=2π故選A。【練習題】46.某宇宙飛船繞地球做圓周運動的周期為T，由于地球遮擋，宇航員發現有時間會經歷“日全食”過程，如圖所示，已知地球的半徑為R，引力常量為G，地球自轉周期為，太陽光可看作平行光，下列說法正確的是（）A.宇宙飛船離地球表面的高度為2RB.地球的平均密度為C.一天內飛船經歷“日全食”的次數為D.宇宙飛船的運行速度為【答案】CD【解析】【詳解】A．由幾何關系，飛船每次“日全食”過程的時間內飛船轉過角，所需的時間為由于宇航員發現有時間會經歷“日全食”過程，則所以設宇宙飛船離地球表面的高度h，由幾何關系可得可得選項A錯誤；C．飛船繞地球一圈時間為T，飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，而地球自轉一圈時間為T0，得一天內飛船經歷“日全食”的次數為選項C正確；B．根據萬有引力提供向心力，有解得又所以地球的平均密度選項B錯誤；D．宇宙飛船的運行速度故D正確。故選CD。47.2020年7月23日，我國自主研制的第一顆火星探測器“天問一號”在海南文昌航天發射場發射升空，之所以選擇這天，是因為地球與火星必須處于特定位置（如圖所示）才能發射。此時間被稱為“發射窗口期”。設定火星與地球繞太陽運動的軌道在同一平面內，且均可視為勻速圓周運動，已知火星繞太陽運動的軌道半徑為地球繞太陽運動的軌道半徑的1.52倍，則相鄰兩次“發射窗口期”的時間間隔約為（）（）A.360天 B.540天 C.680天 D.780天【答案】D【解析】【詳解】設行星質量為，太陽質量為，行星與太陽的距離為，火星的周期為，地球的周期為。行星繞太陽做近似勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則有可得已知火星繞太陽運動