高中數學選修二：導數與零點、不等式的綜合運用解題技巧【思維導圖】考點一零點問題1．已知函數.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若函數有3個零點，求實數的取值范圍.【一隅三反】1．已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.2．已知函數.（1）證明：函數在上存在唯一的零點；（2）若函數在區間上的最小值為1，求的值.3．設函，．（1）設，求函數的極值；（2）若，試研究函數的零點個數．考點二導數與不等式【例2】．已知函數．（1）求的最大值；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍．【一隅三反】1．已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）是否存在實數，使恒成立，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．2．已知函數.（1）求的單調區間和極值；（2）若對任意恒成立，求實數的最大值.3．已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間；（3）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍.答案解析考點一零點問題1．已知函數.（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若函數有3個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，，故，又當時，，故所求的切線方程為，即.（2）由題意，，令，得或，故當時，，當時，，當時，故當時，函數有極大值，當時，函數有極小值.若函數有3個零點，實數滿足，解得，即實數的取值范圍為.【一隅三反】1．已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）.【解析】（1）函數，定義域為，，當時，.故在定義域上單調遞增，此時無減區間.當時，令，得；當時，，故單調遞增；當時，，故單調遞減.綜上所述，當時，在定義域上單調遞增，此時無減區間；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）知，時，至多一個零點，不符合題意；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.要有兩個零點，需滿足，即.此時，.因為，所以在有一個零點；因為，.令，，所以在單調遞增，，所以，所以在上有一個零點.所以，有兩個零點.2．已知函數.（1）證明：函數在上存在唯一的零點；（2）若函數在區間上的最小值為1，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：∵，∴.∵在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，∴函數在上單調遞增.又，令，，則在上單調遞減，，故.令，則所以函數在上存在唯一的零點.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數在上單調遞增.∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.∴.由（*）式得.∴，顯然是方程的解.又∵是單調遞減函數，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實數的值為.3．設函，．（1）設，求函數的極值；（2）若，試研究函數的零點個數．【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）1個．【解析】（1），，，．，①當時，恒成立，在上是增函數，無極值．②當時，，當時，單調遞減；當時，單調遞增，的極小值，無極大值．（2）由（1）知，當時，的極小值，結合的單調性可知，即恒成立．在上是增函數，，，在，中有一個零點，函數的零點個數為1個．考點二導數與不等式【例2】．已知函數．（1）求的最大值；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，所以，設，所以，所以在上單調遞減，且，所以當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以；（2）因為，所以，所以當時，且，所以恒成立，當時，若恒成立，則恒成立（*），設，所以，又因為，所以，所以在上單調遞增，所以，又因為由（1）知且，所以若（*）成立，只需要，所以，綜上可知：.【一隅三反】1．已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）是否存在實數，使恒成立，若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析；（2）當時，使恒成立．【解析】函數的定義域為，，當時，由，得，或，由，得，故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，當時，恒成立，故函數的單調遞增區間為.（2）恒成立等價于恒成立，令，當時，即當時，，故在內不能恒成立，當時，即當時，則，故在內不能恒成立，當時，即當時，，由解得，當時，；當時，.所以，解得.綜上，當時，在內恒成立，即恒成立，所以實數的取值范圍是.2．已知函數.（1）求的單調區間和極值；（2）若對任意恒成立，求實數的最大值.【答案】（1）在處取得極小值，極小值為.（2）4【解析】（1），，∴的單調增區間是，單調減區間是.∴在處取得極小值，極小值為.（2）由變形，得恒成立，令，，由.所以，在上是減函數，在上是增函數.所以，，即，所以的最大值是.3．已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區間；（3）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）時，，，，曲線在點處的切線方程（2）①當時，恒成立，函數的遞增區間為②當時，令，解得或x-+減增所以函數的遞增區間為，遞減區間為（3）對任意的，使成立，只需任意的，①當時，在上是增函數，所以只需而所以滿足題意；②當時，，在上是增函數，所以只需而所以滿足題意；③當時，，在上是減函數，上是增函數，所以只需即可而從而不滿足題意；綜合①②③實數的取值范圍為.《導數與零點、不等式的綜合運用》專題訓練【題組一零點】1．已知函數，其中e是自然對數的底數，．（1）求函數的單調區間；（2）設，討論函數零點的個數，并說明理由．2．已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，判斷方程的實根個數，并說明理由．3．已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，判斷函數零點的個數，并說明理由.4．已知函數，．（1）求在區間上的極值點；（2）證明：恰有3個零點．5．已知函數.（1）若，求函數的單調區間；（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.6．設函數.（1）討論在上的單調性；（2）證明：在上有三個零點.7．已知函數.（1）若，證明：當時，；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍.8．設函數，其中.（1）若，證明：當時，；（2）若在區間內有兩個不同的零點，求a的取值范圍.【題組二導數與不等式】1．設函數．（1）討論函數的單調性；（2）若函數在時恒成立，求實數的取值范圍；2．已知函數（a為常數）.（1）當時，求過原點的切線方程；（2）討論的單調區間和極值；（3）若，恒成立，求a的取值范圍.3．已知函數.（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；（2）若對都有成立，試求實數的取值范圍；4．已知為函數的極值點（1）求的值；（2）若，，求實數的取值范圍.5．已知函數，.（1）求的單調區間；（2）若是函數的導函數，且在定義域內恒成立，求整數a的最小值.6．設函數在及時取得極值．（1）求的值；（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍．7．已知函數（1）若，函數的極大值為，求a的值；（2）若對任意的，在上恒成立，求實數的取值范圍.8．已知函數（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）證明當時，關于的不等式恒成立；答案解析【題組一零點】1．已知函數，其中e是自然對數的底數，．（1）求函數的單調區間；（2）設，討論函數零點的個數，并說明理由．【答案】（1）增區間是，減區間是.（2）見解析【解析】（1）因為，所以.由得；由得.所以由的增區間是，減區間是.（2）因為.由，得或.設，又即不是的零點，故只需再討論函數零點的個數.因為，所以當時，單調遞減；當時，單調遞增.所以當時，取得最小值.①當即時，無零點；②當即時，有唯一零點；③當，即時，因為，所以在上有且只有一個零點.令則.設，所以在上單調遞增，所以，都有.所以.所以在上有且只有一個零點.所以當時，有兩個零點綜上所述，當時，有一個零點；當時，有兩個零點；當時，有三個零點.2．已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，判斷方程的實根個數，并說明理由．【答案】（1）；（2）方程恰有三個不同的實根，1，，理由見解析.【解析】（1）當時，，則，因為，所以，則所求切線方程為，即．（2）當時，，方程，即．令，定義域為，則．令，則，令，得．當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增．所以．又，，，．所以在上存在唯一零點，記為．在上存在唯一零點，記為．則，．當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增．又，，所以在上存在唯一零點1．因為，，所以存在唯一的，使得．存在唯一的，使得，且，．綜上，方程恰有三個不同的實根，1，．3．已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）當時，判斷函數零點的個數，并說明理由.【答案】（1）答案見解析；（2）只有一個零點，理由見解析.【解析】（1）的定義域為，，當時，，則在上是增函數；當時，，所以；或；，所以在上是減函數，在和上是增函數.（2）當時，，其定義域為，則.設()，則，從而在上是增函數，又，，所以存在，使得，即，.列表如下：100增函數極大值減函數極小值增函數由表格，可得的極小值為；的極大值為因為是關于的減函數，且，所以，所以在內沒有零點.又，，所以在內有一個零點.綜上，只有一個零點.4．已知函數，．（1）求在區間上的極值點；（2）證明：恰有3個零點．【答案】（1）極大值點，極小值點；（2）證明見解析.【解析】（1）（），令，得，或．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．故是的極大值點，是的極小值點．綜上所述，在區間上的極大值點為，極小值點為．（2）（），因為，所以是的一個零點．，所以為偶函數．即要確定在上的零點個數，只需確定時，的零點個數即可．當時，．令，即，或（）．時，，單調遞減，又，所以；時，，單調遞增，且，所以在區間內有唯一零點．當時，由于，．．而在區間內單調遞增，，所以恒成立，故在區間內無零點，所以在區間內有一個零點，由于是偶函數，所以在區間內有一個零點，而，綜上，有且僅有三個零點．5．已知函數.（1）若，求函數的單調區間；（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）增區間是和，減區間是（2）【解析】（1）因為，所以，.令，解得或.函數的增區間是和，減區間是.（2），.當時，，只有1個零點，不合題意.當時，.時，，為減函數；時，，為增函數，極小值.又，當時，，使.當時，，，.取，則，，函數有2個零點.當時，由，得或.①當，即時，由，得或，在和遞增，在遞減.極大值.函數至多有1個零點，不符合題意；②當，即時，在單調遞增，至多有1個零點，不合題意；③當，即時，由，得或，在和遞增，在遞減.，時，，.又，函數至多有1個零點，不合題意.綜上，的取值范圍是.6．設函數.（1）討論在上的單調性；（2）證明：在上有三個零點.【答案】（1）的單調遞減區間為，；單調遞增區間為，.（2）證明見解析【解析】（1），由及，得或或.當變化時，和的變化情況如下表：0－0＋0－0＋↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調遞減區間為，；的單調遞增區間為，.（2）當時，由（1）得，的極小值分別為，；極大值.又，所以在上僅有一個零點0；在，上各有一個零點.當時，，令，則，顯然時，單調遞增，；當時，，從而時，，單調遞減，因此，即，所以在上沒有零點.當時，，令，則，顯然時，，；當時，，從而時，，單調遞增，因此，即，所以在上沒有零點.故在上僅有三個零點.7．已知函數.（1）若，證明：當時，；（2）若在有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析.(2).【解析】（1）證明：當時，函數.則，令，則，令，得.當時，，當時，在單調遞增，（2）解：在有兩個零點方程在有兩個根，在有兩個根，即函數與的圖像在有兩個交點．，當時，，在遞增當時，，在遞增所以最小值為，當時，，當時，，在有兩個零點時，的取值范圍是．8．設函數，其中.（1）若，證明：當時，；（2）若在區間內有兩個不同的零點，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1），由，得，則，即在上為增函數.故，即.（2）由，得.設函數，則.令，得.則時，時，，所以在上單調逼增，在上單調減.又因為，所以當時，方程在區間內有兩個不同解，即所求實數a的取值范圍為.【題組二導數與不等式】1．設函數．（1）討論函數的單調性；（2）若函數在時恒成立，求實數的取值范圍；【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.【解析】（1）當時，，∴在上單調遞減；當時，令，則，∴當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增；（2）函數；在時恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，∴當時，；當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，∴，∴的取值范圍為.2．已知函數（a為常數）.（1）當時，求過原點的切線方程；（2）討論的單調區間和極值；（3）若，恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）當時，，則，設切點坐標為，∴，解得，∴，∴過原點的切線方程；（2），∴，當時，恒成立，函數在上單調遞增，無極值；當時，令，解得，當時，，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞增，∴，無極大值；（3），恒成立，即在上恒成立，當時，恒成立，當時，，設，，∴恒成立，∴在上單調遞減，∴，∴，綜上所述.3．已知函數.（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；（2）若對都有成立，試求實數的取值范圍；【答案】（1）的單調增區間是，單調減區間是;（2）.【解析】（1）直線的斜率1.函數的定義域為，，所以，解得.所以，.由解得；由解得，所以的單調增區間是，單調減區間是.（2），由解得；由解得.所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以當時，函數取得最小值，，因為對于都有成立，所以只須即可，即，解得.4．已知為函數的極值點（1）求的值；（2）若，，求實數的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1），，解得，經檢驗，在遞減，在遞增，為的極小值點，符合題意，因此，．（2），，設，其中，令，則，在遞增①當時，即，，在遞增，符合題意，所以②當時，即，，，在上，，在遞減，所以時，不符合題意,綜上，實數的取值范圍為5．已知函數，.（1）求的單調區間；（2）若是函數的導函數，且在定義域內恒成立，求整數a的最小值.【答案】（1）減區間是，增區間；（2）2．【解析】（1）由已知，當時，，當時，，∴的減區間是，增區間；（2）函數的定義域是，定義域是，不等式為，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，設，則，時，，，又在上是增函數，，，∴存在，使得，時，，時，，，即在上遞增，在上遞減，，，，∴，∵，∴，∴整數的最小值為2．6．設函數在及時取得極值．（1）求的值；（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ），因為函數在及取得極值，則有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可