年撫州市臨川區高三數學九省聯考后測試卷試卷根據九省聯考題型命制，題型為8+3+3+5模式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某校高一年級18個班參加藝術節合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，獲得了10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數據的分位數為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.52．已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．23．過直線上一點M作圓C：的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點，則直線PQ的方程為（

）A． B．C． D．4．古城贛州最早有五大城門，分別為鎮南門、百盛門、涌金門、建春門和西津門，贛州某學校歷史興趣小組決定利用兩個周日的時間對五大城門的地理位置及歷史意義進行調研．若約定：每個城門只調研一次，且每個周日只調研五大城門中的兩大城門或三大城門，則恰好在同一個周日調研百盛門和建春門的概率為（

）A． B． C． D．5．數列的前n項和為，滿足，則數列的前n項積的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．7．已知，求（

）A． B． C． D．8．若存在，使得對于任意，不等式恒成立，則實數的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．B．集合C．函數的值域為D．在定義域內單調遞增10．如圖，點是函數的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（

）A．B．C．函數在上單調遞減D．若將函數的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數的圖像，則的最小值為11．已知定義在的函數滿足：①對恒有；②對任意的正數，恒有．則下列結論中正確的有（

）A．B．過點的切線方程C．對，不等式恒成立D．若為函數的極值點，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知復平面上一個動點Z對應復數z，若，其中i是虛數單位，則向量掃過的面積為．13．已知實數x，y滿足，則的最小值為．14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，動點M在邊DC上（不同于D點），P為邊AB上任意一點，沿AM將△ADM翻折成△AD'M，當平面AD'M垂直于平面ABC時，線段PD'長度的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學進行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規定：每一局比賽中勝方記1分，負方記0分，先得3分者獲勝，比賽結束．(1)求進行3局比賽決出冠亞軍的概率；(2)若甲以領先乙時，記表示比賽結束時還需要進行的局數，求的分布列及數學期望．16．設函數，曲線在點處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.17．如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個三等分點，P是半球面上一點，且．(1)證明：；(2)若點在底面圓上的射影為中點，求直線與平面所成的角的正弦值．18．已知雙曲線，點，經過點M的直線交雙曲線C于不同的兩點A、B，過點A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點E．（二次曲線在曲線上某點處的切線方程為）(1)求證：點E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點N，，求的值；(3)若點A、B都在雙曲線C的右支上，過點A、B分別做直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．19．若各項為正的無窮數列滿足：對于，，其中為非零常數，則稱數列為數列.記.(1)判斷無窮數列和是否是數列，并說明理由；(2)若是數列，證明：數列中存在小于1的項；(3)若是數列，證明：存在正整數，使得.1．B【分析】利用百分位數的定義即可得解.【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因為，所以這組數據的分位數第8個數與第9個數的平均值，即.故選：B.2．A【分析】設且，建立直角坐標系，得到，求得，得到，結合基本不等式和函數上的單調性，即可求解.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，設且，因為，可得，則，所以，又因為向量滿足，可得，解得，所以，，則，設，因為，當且僅當，所以，又因為在上為單調遞增函數，所以，即的最小值為.故選：A.3．C【分析】設，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點求得t的值，進而得到直線PQ的方程.【詳解】圓C：的圓心為，設，則以為直徑的圓的方程為與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為因為直線PQ過點，所以，解得．所以直線PQ的方程為，即．故選：C．4．A【分析】根據題意，得到此次調研的基本事件的總數為種，再由題設條件，分為兩類求得恰好在同一個周日調研百盛門和建春門的種數，集合古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，每個城門只調研一次，且每個周日只調研五大城門中的兩大城門或三大城門，共有種不同的調研方法，其中恰好在同一個周日調研百盛門和建春門，可得分為：①其中一個周日只調研百盛門和建春門，另一個周日調研其他三門，有種方法；②其中一個周日調研百盛門、建春門和其中另一個門，另一個周日調研剩余的兩門，有種方法，共有種不同的調研方法，所以恰好在同一個周日調研百盛門和建春門的概率為.故選：A.5．B【分析】根據給定的遞推公式求出，進而求出數列通項，借助單調性求解即得.【詳解】依題意，，，則，當時，，兩式相減得，即，因此數列是以512為首項，為公比的等比數列，于是，顯然數列單調遞減，當時，，當，，所以當或時，數列的前n項積最大，最大值為.故選：B6．A【分析】根據異面直線所成角、錐體體積公式等知識求得正確答案.【詳解】因為異面直線所成角的范圍是，故當時，與AD所成角最大，因為四邊形是矩形，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故選：A【點睛】異面直線所成角的范圍是，當兩條直線所成角為時，兩直線平行或重合.求解錐體體積的問題，可以考慮利用轉換定點的方法，然后利用體積公式來求得三棱錐的體積.7．D【分析】利用三角函數誘導公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結合同角三角函數關系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于利用三角函數誘導公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達式之后，要利用拆角的方法，繼而結合三角恒等變換公式，化簡求值即可.8．C【分析】將題干中的不等式變形為，由題意可知直線恒位于函數圖象的上方，函數的圖象的下方，代表直線在軸上的截距，當直線變化時觀察得當直線過且與曲線相切時，最小，設切點坐標為，求出的值，即可得出的最小值.【詳解】令，其中，則，當時，，則函數在上單調遞增，且，令，則，因為函數在上單調遞增，，，所以，存在，使得，當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，如下圖所示：由題意得，直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，代表直線在軸上的截距，當直線變化時觀察得當直線過且與曲線相切時，最小．設切點為，則，整理可得，令，則，，而當時，，，所以，，所以當時，，則函數在上單調遞增，所以有唯一的零點，所以，此時直線方程為，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用函數不等式恒成立求參數的最值，解題的關鍵在于將不等式變形為，通過作出圖象，找出直線與函數相切時，最小，然后利用導數法進行求解.9．BD【分析】根據空集的定義判斷A，根據集合元素的特征判斷B，根據所給函數解析式判斷C，將函數寫成分段函數、再分析函數在各段的單調性即可判斷D.【詳解】對于A：或，故A錯誤；對于B：，又，令，所以，，即，所以，故B正確；對于C：因為，所以的值域為，故C錯誤；對于D：，因為在上單調遞增，在上單調遞增，且為連續函數，所以在上單調遞增，故D正確；故選：BD10．ACD【分析】令求得根據求得，根據求得的解析式，再逐項驗證BCD選項.【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數，故在上單調遞減，故C正確；將函數的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】由條件①結合導數的運算法則可設，再由條件②，求得，選項A，B易判斷；對C，構造函數，利用導數證明即可；對D，利用導數判斷極值點的范圍，即可得證.【詳解】恒有，，可設（其中C為常數），又對任意的正數恒有，對任意的正數恒有，，，，即，對于A，由上式可得，故A正確；對于B，，設切點為，則切線斜率為，，化簡得，解，所以點就是切點，所以切線方程為，故B錯誤；對于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，，所以，對恒成立，故C正確；對于D，設，，在上單調遞增，且，，所以使在上單調遞減，在上單調遞增，為函數的極小值點且滿足，，，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題屬于導數的應用問題，難度較大.首先分析條件①，由導數的運算法則得，可設，再由條件②，代入運算求得，再根據導數知識可依次判斷各個選項得解.12．【分析】根據題意，利用復數的幾何意義，得到復數表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，過原點作圓的切線，切點為，結合三角形和扇形的面積公式，即可求解.【詳解】因為，根據復數的幾何意義，可得復數表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，如圖所示，過原點作圓的切線，切點為，在直角中，可得，所以，且，所以，所以復數向量掃過的面積為.故答案為：.13．【分析】將題意轉化為求曲線上一點到距離最小值，通過求導求出點符合題意，進而求出答案.【詳解】由題意得，，即求曲線上一點到距離最小值，又因為在直線上，所以當曲線與直線平行時，距離取得最小值，令，解得或（舍去），當時，點到直線距離為，即所求曲線上一點到距離最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數的應用.關鍵點在于將所求式子進行化簡，進而轉化為距離問題，通過導數研究曲線即可.本題考查轉化與化歸能力、計算能力，屬于中檔題.14．##【分析】作直線于點，連接，則翻折后，設，由，得，，設，則，，根據條件得到，然后求出線段長度的最小值．【詳解】作直線于點，連接，則翻折后，平面平面，為兩平面的交線，平面，．設，由，得，，設，則，．由知為正三角形，則，，在中，，即，，記，則，由，得，又，，若，則當時，；若，則當時，，．故答案為：．15．(1)(2)分布列見解析，數學期望為【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結果；（2）利用分布列步驟求解并求得期望.【詳解】（1）甲3局全勝的概率為,乙3局全勝的概率為，進行3局比賽決出冠亞軍的概率為（2）的可能取值為1，2，，，故的分布列為：12故．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據切線方程，求得切點與切線斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）寫出函數解析式，化簡整理不等式，構造函數，利用導數研究函數的單調性，求得最值，可得答案.【詳解】（1）函數的定義域為.將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.（2）證明：由（1）知，從而等價于.設函數，則.所以當時，，當時，.故在上單調遞減，在上單調遞增，從而在上的最小值為.設函數，從而在上的最大值為.故，即.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意證明面，得到，再結合線面垂直的判定定理得證；（2）根據題意建立空間直角坐標系，結合線面角的空間向量計算公式進行求解即可.【詳解】（1）連接，因為依次是底面上的兩個三等分點，所以四邊形是菱形，設，則為中點，且，又因為，故是等邊三角形，連接，則，又因為面，，所以面，因為面，所以，因為依次是底面上的兩個三等分點，所以，所以，又因為AB是半球O的直徑，P是半球面上一點，所以，因為面，，所以面，又因為面，所以（2）因為點在底面圓上的射影為中點，所以面，因為面，所以，又因為，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，所以，設平面的法向量，則，令，則，設直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為18．(1)證明見解析(2)0(3)存在【分析】（1）設，由題意可證得點A，B都在直線上，直線l過點，可得，即可證明點E恒在定直線上．（2）法一：設，由可得，將其帶入雙曲線方程可得，同理可得，由根與系數的關系可得．法二：由題意知，設l的方程：，聯立直線與雙曲線的方程，設，由可得，同理，將韋達定理代入即可得出答案.（3）設，與聯立，設，表示出，將韋達定理代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）證明：設，由題意得：切線EA的方程為：，將點E帶入得：，同理可得：，易知點A，B都在直線上，所以直線l的方程為：，因為直線l過點，所以，

所以點E恒在定直線上．（2）法一：設，因為，所以整理得因為點在雙曲線上，所以，整理得，同理可得，所以，是關于x的方程的兩個實根，所以．法二：由題意知，l的斜率存在，設l的方程：，聯立得：，所以，設，因為