2020-2021學年江西省撫州市南城一中高二（下）期中數學試卷

（文科）

一、單選題（共12小題，每題5分，共60分）.

1.已知全集"={-2,-1,0,1,2,3},集合A={x|0〈x〈l,AGZ),B={1,2},則Cu

(4UB)=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-2,-1,3}D.{-2,-1,0,3}

2.已知復數z噎5,則其共舸復數W的虛部為（）

2222

A.—B.1—C.—iD.1—i

5555

3.若/,根是平面a外的兩條不同直線，且“〃a,則“/〃機”是“/〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若直線x+（l+m）y-2=0和直線/nr+2y+4=0平行，則機的值為（）

0

A.1B.-2C?1或-2D.

3

5.將函數y"cos2x圖象變為）=2cos的一個伸縮變換為（）

‘X，=2x

fx/=2cx

A.<,1B.<

y至丫y'=6y

1人

2D.，x

C.<x~2

/=1yy'=6y

6.2020年，新型冠狀病毒引發的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰疫情，眾志成城克時

難，社會各界支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫院派出3名醫生，2名護士支援

湖北，現從這5人中任選2人定點支援湖北某醫院，則恰有1名醫生和1名護士被選中

的概率為（）

A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3

7.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現該算法的程序框圖.執行該程序框

圖，右輸入x=2,〃=2,依次輸入。的值為1f2,3,則輸出的$=（)

A.10B.11C.16D.17

8.已知拋物線C：V=4x,直線1：1x=2+t與拋物線c交于A,B兩點，則|A8|的長度

ly=-2t+l

為（）

A.癡B.近1C.^15D.5^11

9.ZvlBC中，A8=l,AC=M，/B=120°,而=2前，則標?標的值為（）

A.—B.—C.—D.—

9339

10.矩形ABC。中，A3=4,A￡>=2,點E為C￡>中點，沿AE把△AOE折起，點。到達點

P，使得平面PAE，平面ABCE,則異面直線A8與PC所成角的余弦值為（）

11.已知菱形ABCD的邊長為、/與，ZBAD=60Q,將△ABD沿8力折起，使A,C兩點的

距離為則所得三棱錐A-BCZ）的外接球的表面積為（）

Aon9兀「乙n15兀

A.3KB.----C.onD.-----

22

22

12.己知圓（x-1）2+y2=g的一條切線尸履與雙曲線a與_Xfi（a〉0,b〉0）沒有

4a'/

公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.(1,V3)B.(1,2]C.(A/3，=)D.[2,+8)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知命題p："M€R,使得以2+2r+1V0成立"為假命題，則。的取值范圍為.

14.在新冠肺炎疫情期間，大多數學生都進行網上上課.我校高一、高二、高三共有學生

1800名，為了了解同學們對“釘釘”授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這1800

名學生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大

排列的連續偶數，則我校高三年級的人數為.

15.曲線y=/”x+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

16.已知下列等式成立：

3廨=2幅

3萬底’

3」4層乂3匡,

由此請你猜測等式3收咻(,小”均為正整數)中等為.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知命題p："復數z=x-8+(x2-2x),?在復平面上對應的點在第二象限"，命題“：

ux2-4mx+3m2>0,(w>0)”

(1)若m=l,p八fq為真,求x的取值范圍.

(2)若「p是g的充分不必要條件，求，〃的取值范圍.

18.今年兩會期間國家對學生學業與未來發展以及身體素質的重要性的闡述引起了全社會的

共鳴.某大學學生發展中心對大一的400名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖

所示的直方圖(引體向上個數只記整數).學生發展中心為進一步了解情況，組織了兩

個研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1?15個的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進

行全面的體能測試，

①單次完成11?15個引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這II人中抽取2人進行個別訪談，已知抽到的其中一個男生單次完成了3

個引體向上，求抽到的另一個男生單次完成了11?15個引體向上的概率是多少？

(2)第二小組從學校學生的成績與體育鍛煉相關性角度進行研究，得到了這400人的學

業成績與體育成績之間的2X2列聯表.

學業優秀學業不優秀總計

體育成績不優秀100200300

體育成績優秀5050100

總計150250400

請你根據聯表判斷是否有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業成績有關？

參考公式及數據：IC=-一型嗎第1二一-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(爛0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

2公)

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

19.如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形A2CD和CDPE都是直角梯形，AB//DC,PE//

DC,ADYDC,P￡)_L平面ABC。，AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,尸是CE的中點.

(1)求證：BF〃平面AOP

(2)已知。是BQ的中點，求證：8Q_L平面AOF.

20.已知等差數列｛。"｝的前"項和為S",Ss=25,且43-1,44+1,47+3成等比數列.

(1)求數列｛斯｝的通項公式；

(2)若b"=2"X%,一是數列｛d｝的前〃項和,求7L.

21.在直角坐標系xOy中，直線/的方程為y="§x+5.以坐標原點。為極點，x軸正半軸

為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為P=2sin0,曲線C2的參數方程為

(x=2cosCl

ly=sinCL

(1)求曲線G的直角坐標方程.

(2)求曲線C.上的動點P到直線/距離的最小值.

(3)若。(x,y)為曲線C2上第一象限的動點，A、B分別為曲線C2與直角坐標軸正半

軸的交點，求四邊形04Q8面積的最大值.

22.已知函數/(x)=ae'(x-2)(aWO).

(I)求的單調區間；

(II)當a--1時，求函數g(x)=f(x)+x2-2x的極值.

參考答案

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.己知全集t/={-2,-1,0,1,2,3),集合4={x[0(xWl,xGZ),8={1,2},則Cu

(AU8)=()

A.{1，2}B.{0,1,2}C.{-2,-1,3}D.{-2,-1,0,

3)

解:因為全集0={-2,-1,0,1,2,3},集合集={x|0WxWl,xGZ)={0,1},B=

(L2)，

...AU8={0,1,2)；

則Cu(AUB)={-2,-1,3}；

故選：C.

i

2.已知復數z=?，則其共翔復數z的虛部為（)

i+2

2

A.2R22.D?

D.-----c.1D-T1

555

ii'(2-i)2i+li，則z14i'

解:z==

T^(2+i)(2-1)0-5DD

所以共朝復數W的虛部為咯?

5

故選：B.

3.若/，帆是平面a外的兩條不同直線，且相〃a,則“/〃山”是“/〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：,；/,〃?是平面a外的兩條不同的直線，M〃a,

若/〃，”，則推出ul//an,

若/〃a,則/〃或/與加相交，

故若/,根是平面a外的兩條不同直線，且加〃a,貝I"/〃，""是''/〃a"的充分不必要

條件.

故選：A.

4.若直線x+（1+加）y-2=0和直線加r+2.y+4=0平行，則，”的值為（）

B.-2C.1或-2

3

解：直線x+（l+，〃）y-2=0和直線，nr+2），+4=0平行，可得（1',得：

lm^-2

1,

故選：A.

5.將函數y[cos2x圖象變為），=2cosx的一個伸縮變換為（）

J、’=2x儀=2x

A?I_1B.，

yly-6y

x'=yxf/__1.

C.2D.X-2X

y/71yly/=6y

6

解：根據題意，設這個伸縮變化為=mx,

y=ny

則有2m=1,--=2；

3n

y飛丫

故選：C.

6.2020年，新型冠狀病毒引發的疫情牽動著億萬人的心，八方馳援戰疫情，眾志成城克時

難，社會各界支援湖北共抗新型冠狀病毒肺炎，重慶某醫院派出3名醫生，2名護士支援

湖北，現從這5人中任選2人定點支援湖北某醫院，則恰有1名醫生和1名護士被選中

的概率為（）

A.0.7B.0.4C.0.6D.0.3

解：重慶某醫院派出3名醫生，2名護士支援湖北，

現從這5人中任選2人定點支援湖北某醫院，

基本事件總數"=cV=io，

□

恰有1名醫生和1名護士被選中包含的基本事件個數m=C；C；=6,

則恰有1名醫生和1名護士被選中的概率為2=皿=提=0.6.

n10

故選：c.

7.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現該算法的程序框圖.執行該程序框

圖，若輸入x=2,〃=2,依次輸入。的值為1,2,3,則輸出的5=()

A.10B.11C.16D.17

解：：輸入的x=2,〃=2,

當輸入的。為1時，5=1,k=l,不滿足退出循環的條件：

當再次輸入的。為2時，S=4,k=2,不滿足退出循環的條件；

當輸入的〃為3時，S=ll,%=3,滿足退出循環的條件；

故輸出的S值為11,

故選：B.

8.已知拋物線C：)2=4X,直線1：,x=2+t與拋物線c交于A,8兩點，則的長度

ly=-2t+l

為()

A.倔B.THC.Vl5D.5布

解：直線1：(X=2+t的普通方程為：y=-2x+5,

ly=-2t+l

聯立方程組《丫=4x,消元可得：4/-24X+25=0,

y=-2x+5

設A(xi,yi),8(X2,”)，

二25

4

「?|A3|=J1+(-2)%】_及|=^/^乂J6^-4X-^-=V55-

故選：A.

9.ZvlBC中，AB=\,AC=?,ZB=120°,麗=2衣，則瓦?標的值為（）

11

9

解：Z\ABC中，AB=1,AC=?,NB=120°,4B=BC=1,

由余弦定理可得，（V^）2=12+BC2_2X1XBCX（卷），

EPBC^+BC-2=0,解得8c=1或8c=-2（舍）.

,:麗=2前，，。為8c的靠近C的三等分點,

???AD=AB+BD=AB

AB?AD=AB?4AB+yAC）=y|AB|24AB*AC

00oo

xFqxix百Xcos30。=卷.

OOo

故選：c.

10.矩形ABC。中，A2=4,A￡>=2,點E為CD中點，沿AE把折起，點。到達點

P，使得平面PAE，平面ABCE,則異面直線A8與PC所成角的余弦值為（）

解：如右圖，因為A8〃CE,異面直線AB與PC所成角就是NPCE或其補角,

在△尸CE中,EC=2,PE=2,

在左圖中作。O1_AE,垂足為。，則D0=&，0C=V10>

所以PC=7PO2-K）C2=V2+10=2V3，

所以―E星鎏普12+22-22巫

2X2V§X2=2

故選：D.

11.已知菱形ABC。的邊長為ZBAD=60°,將△A3。沿BQ折起，使A,C兩點的

距離為?，則所得三棱錐A-BC。的外接球的表面積為（)

97T,

A.3nB.--C.6TT

2

解：因為4BCD是菱形，邊長為、口，且/區4。=60°,

所以△A8。，△BCQ是一個邊長為?等邊三角形，

將△ABO沿BO折起，使A,C兩點的距離為

故成將三棱錐A-88放入一個正方體中，使得三棱錐的棱長為正方體面對角線，

故正方體的棱長為

2

所以正方體的外接球即為三棱錐的外接球，

則外接球的直徑2rd3X呼產=患，

2

故三棱錐4-BCD的外接球的表面積為S=4兀r=n（2r）2=等.

故選：B.

22

12.已知圓&-1）2+丫2=g的一條切線尸日與雙曲線仁b>0）沒有

4b，

公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.（1,V3）B.（1,2]C.（?,-HOO）D.[2,+8）

解：由題意，圓心到直線的距離d=/,=返,:.k=±g

Vk2+12

圓（x-l）2+y2=弓的一條切線尸區與雙曲線c：三b>0）沒有公共

4/

點,

<V3>1+」44，，雙曲線C的離心率的取值范圍是（1,2]

aa"

故選：B.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知命題p："axeR,使得ax2+2x+\<0成立”為假命題，則a的取值范圍為“21?

解：命題P：“mxeR,使得以2+2^+1<0成立"為假命題；

故命題->：“對VX6R,使得以2+2X+120成立"為真命題；

①當〃=0時，后J，故錯誤，

②當a>0時，△=4-4aW0,解得

故。的取值范圍為：心1.

故答案為：a?l.

14.在新冠肺炎疫情期間，大多數學生都進行網上上課.我校高一、高二、高三共有學生

1800名，為了了解同學們對“釘釘”授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這1800

名學生中抽取一個容量為72的樣本.若從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大

排列的連續偶數，則我校高三年級的人數為650.

解：高一、高二、高三共有學生1800名，

采用分層抽樣的方法從這1800名學生中抽取一個容量為72的樣本.

從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，

則高一、高二、高三抽取的人數可以設為2〃-2,2n,2〃+2,

2n-2+2〃+2〃+2=72,解得12,

則高三抽取的人數為2X12+2=26人,

高三年級的人數為1800X空=650.

72

故答案為：650.

15.曲線y=Mv+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為y=2x.

解：y—lnx+x+\的導數為y'=工+1,

X

設切點為（”，〃），可得々=1+工=2,

m

解得機=1,即有切點（1,2）,

則切線的方程為y-2=2（x-1）,即y=2x,

故答案為：y=2x.

16.已知下列等式成立:

由此請你猜測等式歸啾(辦”均為正整數)中更為64.

解：由得7=23-1,由得26=33-1,

m=8,,Jm=8

則由可得到《

n=83-l

.,.^^=-^-=64

m8

故答案為：64.

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知命題p："復數z=x-8+(x2-2x)i在復平面上對應的點在第二象限"，命題外

"N-4mx+3m2>0,(〃?>0)”

(1)若用=1,為真，求x的取值范圍.

(2)若是q的充分不必要條件，求機的取值范圍.

解：(1)：復數z=x-8+(x2-2x)i在復平面上的點在第二象限,

\-8<0

則！,,.,jV0或2VxV8,

J-2x>0

當機=1時，q：X2-4x+3>0,或x>3,

x<0^2<x<8

■:p/\fq為其，：.,/，；.2<xW3.

l<x<3

的取值范圍為(2,3].

(2)-'/?：0Wx<2或x58,

q：'."x2-4mx+3>m2>0Cm>0),.,.x>3mgJcx<m,

是q的充分不必要條件,

'3ra<8

<nC>2,

、3

ITL>0

"的取值范圍(2,當).

18.今年兩會期間國家對學生學業與未來發展以及身體素質的重要性的闡述引起了全社會的

共鳴.某大學學生發展中心對大一的400名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖

所示的直方圖(引體向上個數只記整數).學生發展中心為進一步了解情況，組織了兩

個研究小組.

(1)第一小組決定從單次完成1?15個的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進

行全面的體能測試，

①單次完成II?15個引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這11人中抽取2人進行個別訪談，已知抽到的其中一個男生單次完成了3

個引體向上，求抽到的另一個男生單次完成了11?15個引體向上的概率是多少？

(2)第二小組從學校學生的成績與體育鍛煉相關性角度進行研究，得到了這400人的學

業成績與體育成績之間的2X2列聯表.

學業優秀學業不優秀總計

體育成績不優秀100200300

體育成績優秀5050100

總計150250400

請你根據聯表判斷是否有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業成績有關？

參考公式及數據：蜉=-----n(ad-bc)2------------

<a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

*)

ko0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

所以看x11=2,看X11=3,-^-X11=6-

則從1?5,6~10,11?15中選出的個數分別為2個，3個，6個,

因為單次完成11-15個引體向上的人數共有0.06X5X400=120人,

C5.C1

則單次完成11~15個引體向上的男生甲被抽到的概率是~

C120

②抽到的其中一個男生單次完成了3個引體向上，記為事件4,

抽到的另一個男生單次完成了11?15個引體向上，記為事件B,

12

P(AB)

55

1

cjc

P(A)=z9=歿

C?—55'

12

_P(AB)_55__2

所以P(B/4)

一P(A)"一而—5

55

(2)因為阿二駟*(5。。上1QQ00)2二毀Q8.889>7.879,

300X100X150X2509

所以有99.5%的把握認為體育鍛煉與學業成績有關.

19.如圖，在多面體A8COPE中，四邊形4BCD和COPE都是直角梯形，AB//DC,PE//

DC,AD1.DC,平面ABC。，AB=PO=ZM=2PE,CD=3PE,F是CE的中點.

(1)求證：BF〃平面AD尸

(2)已知。是8。的中點，求證：8。_1_平面40尸.

E

【解答】證明：（1）作尸垂足為M,連接8M,則0M=2PE=AB,EM//PD

'：DM//AB,

；.DMBA是平行四邊形，

J.BM//AD,

平面A￡>P,ADcTffiADP

.?.BM〃平面AOP

同理EM〃平面ADP

?：BMCEM=M.

平面BFM〃平面AO尸

平面BFM,

尸〃平面ADP；

（2）由（1）可知FM=P￡,DM=BM=2PE,:.FD=FB=^PE,

是8。的中點，：.FOLBD,

'：AD=AB,O是8。的中點，：.AO±BD,

'：AO^FO=O,

：.BDL^\^AOF.

20.已知等差數列｛a“｝的前〃項和為S”S5=25,且①-1,a4+l,m+3成等比數歹ij.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)若仇=2"Xa“,7；是數列｛5｝的前〃項和,求心.

解：(1)設等差數列｛〃“｝的公差為d,

由55=25,可得5m+10d=25,即〃i+2d=5,

又。3-1,44+1,m+3成等比數列，可得(火+1)2=(。3-1)(s+3),

即為(m+34+1)2=(G+2"-1)(ai+6J+3),

即有(6+J)2=(5-1)(8+4d),解得d=2,ai=l,

則an—1+2(n-1)—2n-1；

(2)bn=2"Xan=(2n-1),2",

所以7；=l?2+3?22+5?23+...+(2n-1)?2〃,

27；=l?22+3*23+5*24+...+(2n-1)?2"+1

兩式相減可得-〃=2+2(22+23+...+2")-(2n-1)*2n+l

=2+2?4(卜2n1).(2〃-1)?2"+i,