專題03三角形全等的重要模型模型1、平移全等模型，如下圖：1．（2021·浙江溫州市·八年級期末）如圖，，，要說明，需添加的條件不能是（）A． B． C． D．2．（2021·云南昆明市·八年級期末）如圖：已知，且，求證：．3．（2021·廣西百色市·八年級期末）如圖，已知點是的中點，∥，且．（1）求證：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度數．4．（2021·四川瀘州市·九年級月考）如圖，AB//CD，AB=CD點E、F在BC上，且BF=CE．（1）求證：△ABE≌△DCF（2）求證:AE//DF．5.（2021?襄城區期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A＝∠D，AB∥DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學的發言，甲說：添加AB＝DE；乙說：添加AC∥DF；丙說：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是；（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．6.（2021?富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．模型2. 對稱（翻折）全等模型，如下圖：1．（2021·安徽九年級專題練習）如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的序號是__________．2．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，已知，若要使得，則添加的一個條件不能是（）A．B．C．AB=DCD．AC=DB3．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，，，請補充一個條件：______，能使用“ASA”方法判定．4．（2021·西安市·陜西師大附中九年級二模）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：．5．（2021·河南南陽市·八年級期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數．6．（2021·江蘇徐州市·八年級期末）已知：如圖，點C是線段AB的中點，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求證：（1）△ADC≌△BEC；（2）DA=EB．模型3. 旋轉全等模型，如下圖：1．（2021·河北滄州市·八年級期末）如圖，△ABC和△AED共頂點A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E．BC交AD于M，DE交AC于N，甲說：“一定有△ABC≌△AED．”乙說：“△ABM≌△AEN．”那么（）A．甲、乙都對 B．甲、乙都不對 C．甲對、乙不對 D．甲不對、乙對2.（2021?渝水區校級期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：∠ABD＝∠ACE．3．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，已知，，且，，，則的度數為（）A． B． C． D．4．（2021·江蘇鎮江市·八年級期末）如圖，，求證：（1）；（2）．5．（2021·四川廣元市·九年級期末）如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數．6.（2021春?浦東新區期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．模型4、半角全等模型【解題技巧】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系。半角模型（題中出現角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論.1．（2020·武漢市六中位育中學八年級）（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．2．（2020·河南新鄉市·八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F．（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當∠MBN繞點B旋轉到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．（3）當∠MBN繞點B旋轉到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．3.（2020·江陰市夏港中學八年級月考）（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結論：________________．（2）探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠BAD．上述結論是否仍然成立？請說明理由．（3）方法應用：如圖3，E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動點，連接AE、AF，并且始終保持∠EAF=45°，連接EF并延長與AD的延長線交于點G，說明AG=EG．（正方形四邊相等，四個角均為90°）4．（2022·四川綿陽市·八年級期末）已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數量關系，并給出證明過程．5．（2021·全國九年級專題練習）問題背景：如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M、N兩點，連接MN．探究線段BM，MN，CN之間的數量關系．嘉琪同學探究此問題的方法是：延長NC至點E，使CE＝BM，連接DE，先證明△CDE≌△BDM，再證明△MDN≌△EDN，可得出線段BM，MN，CN之間的數量關系為．請你根據嘉琪同學的做法，寫出證明過程．探索延伸：若點M，N分別是線段AB，CA延長線上的點，其他條件不變，再探索線段BM，MN，NC之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．6．（2021·山東東營市·七年級期末）(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC,CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小明同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結論，他的結論應是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分別是BC，CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結論是否依然成立？并說明理由．模型5、三垂直全等模型如圖：1．（2021·廣東中山市·八年級期末）如圖，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，則下列結論中正確的是（）A．E為BC中點 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE2．（2020·涿州市實驗中學八年級期中）在中，于點D，點E為AD上一點，連接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求證：；（2）若，則的度數為．3．（2020·廣東省龍嶺初級中學初一期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由。4．（2020·河北省初三三模）如圖，和都是直角三角形，，，頂點在上，邊經過點，點，在同側，．（1）求證：：（2）若，，，求的長．5．（2020·江西贛州市·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關系，并證明你的結論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由．6.（2021?廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內角和等于180°）模型6、一線三等角全等模型1）.一線三直角全等模型，如圖：1．（2021·廣西梧州市·八年級期末）如圖，在等腰直角三角形中，，點B在直線l上，過A作于D，過C作于E．下列給出四個結論：①；②與互余；③．其中正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2021·江蘇揚州市·八年級期末）如圖，，，且．（1）試說明：是等腰直角三角形；（2）若，求的度數．3．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）將的直角頂點置于直線上，，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．若，．求的面積．4．（2021·山東臨沂市·八年級期末）如圖，，，，，垂足分別為，，，求，求的長．5．（2021·河南商丘市·九年級期末）如圖（1），已知中，，；是過的一條直線，且，在的異側，于，于．（1）求證：；（2）若直線繞點旋轉到圖（2）位置時（），其余條件不變，問與，的數量關系如何？請給予證明．（3）若直線繞點旋轉到圖（3）位置時（），其余條件不變，問與，的數量關系如何？請直接寫出結果，不需證明；（4）根據以上的討論，請用簡潔的語言表達直線在不同位置時與，的位置關系．6．（2020·浙江溫州市·八年級月考）在△ABC中，AO=BO，直線MN經過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D.(1)當直線MN繞點O旋轉到圖①的位置時，求證：CD=AC+BD；(2)當直線MN繞點O旋轉到圖②的位置時，求證：CD=AC-BD；(3)當直線MN繞點O旋轉到圖③的位置時，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．2）.一線三等角與一組對應邊相等全等模型，如圖：1．（2021·安徽馬鞍山市·八年級期末）如圖，已知在中，，，求證：．2．（2021·黑龍江大慶市·七年級期末）如圖，在中，，、、三點都在直線上，并且有，求證：．3．（2021·河南濮陽市·八年級期末）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數量關系，并說明理由．4．（2020·無錫市胡埭中學八年級月考）（1）如圖1，直線m經過等腰直角△ABC的直角頂點A，過點B、C分別作BD⊥m，CE⊥m，垂足分別是D、E．求證：BD＋CE＝DE；（2）如圖2，直線m經過△ABC的頂點A，AB＝AC，在直線m上取兩點D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，補充∠BAC＝（用α表示），線段BD、CE與DE之間滿足BD＋CE＝DE，補充條件后并證明；（3）在（2）的條件中，將直線m繞著點A逆時針方向旋轉一個角度到如圖3的位置，并改變條件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通過觀察或測量，猜想線段BD、CE與DE之間滿足的數量關系，并予以證明．5.（2021?香坊區期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．6．（2021·河北滄州市·八年級期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經過點A，于D，于E，請探索、、三條線段之間的數量關系，直接寫出結論；（2）拓展：如圖2，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請問（1）中結論是否還成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長線交于點F，若，的面積是16，求與的面積之和．模型6、手拉手全等模型1). 等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型eq\o\ac(○,1)如圖，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.eq\o\ac(○,2)兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉過程中（B、C、D不共線）始終有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關系）且BD=AE（數量關系）；③FC平分∠BFE；1．（2020·河南許昌市·九年級期中）問題發現：（1）如圖1，已知為線段上一點，分別以線段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線段，之間的數量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：（2）如圖2，把繞點逆時針旋轉，線段，交于點，則與之間的關系是否仍然成立？請說明理由．2．（2020·黑龍江綏化市·八年級期末）兩塊等腰直角三角尺與（不全等）如圖（1）放置，則有結論：①②；若把三角尺繞著點逆時針旋轉一定的角度后，如圖（2）所示，判斷結論：①②是否都還成立？若成立請給出證明，若不成立請說明理由．3．（2021·湖南常德市·八年級期末）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE為多少？說明理由；（2）設∠BAC=α，∠BCE=β．①如圖2，當點D在線段BC上移動，則α，β之間有怎樣的數量關系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動，則α，β之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不需證明．4．（2021·甘肅慶陽市·八年級期末）在學習全等三角形知識時、教學興趣小組發現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下操究：（1）如圖1、兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此線BD和CE的數量關系是（2）如圖2、兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數量關系和位置關系，并說明理由：（3）如圖3，已知△ABC、請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數量關系及∠PBC+∠PCB的度數、5．（2021·內蒙古赤峰市·九年級期末）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數量關系和位置關系，請寫出結論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點O順時針旋轉一定的角度（如圖②），連結AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在（1）中的關系嗎？請寫出結論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點O逆時針旋轉一定的角度（如圖③），連結AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關系？請直接寫出結論．

2).等邊三角形中的手拉手全等模型如圖，△ABC與△CDE均為等邊三角形，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.圖1圖2圖3圖41．（2021·河南新鄉市·新鄉學院附屬中學八年級月考）如圖，點C是線段AE上一動點（不與A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，有以下5個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結論有（）個A．1 B．2 C．3 D．42．（2020·湖南邵陽市·八年級期中）如圖1，若點是線段上的動點（不與，重合），分別以、為邊向線段的同一側作等邊和等邊.（1）圖1中，連接、，相交于點，設，那么；（2）如圖2，若點固定，將繞點按順時針方向旋轉（旋轉角小于），此時的大小是否發生變化？請說明理由.3．（2020·江西上饒市·南屏中學八年級月考）如圖,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=a.（1）當a=60°,如圖①則，∠DPE的度數______________（2）若△BDE繞點B旋轉一定角度，如圖②所示，求∠DPE（用a表示）4．（2021·費縣第二中學）如圖，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于點M．(1)如圖1，求證：AC=BD，判斷AC與BD的位置關系并說明理由；(2)如圖2，∠AOB＝∠COD＝60°時，∠AMD的度數為___________.5．（2020·新疆八年級期中）如圖，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN，MC交于點E,直線BM、CN交于F點．（1）求證：AN=BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形；（3）將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉900，其他條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷第（1）（2）兩小題的結論是否仍然成立，不要求證明．6．（2020·西華縣教研室八年級期中）如圖，，，三點在一條直線上，和均為等邊三角形，與交于點，與交于點．（1）求證：；（2）若把繞點任意旋轉一個角度，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．3).一般三角形中的手拉手全等模型如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作等邊△ADB、△ACE，連接DC、BE，則△ADC≌△ACE.4).正方形中的手拉手全等模型如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.1．（2020·遼寧丹東市·七年級期末）已知：如圖1，在和中，，，．（1）證明．（2）如圖2，連接和，，與分別交于點和，，求的度數．（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出的度數．2．（2021·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關系是；（2）觀察圖，當和分別繞點A旋轉時，BE、CD之間的大小關系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構造出兩個全等三角形？3．（2020·山東濟寧市·八年級期末）如圖，為等邊的邊延長線上的一動點，以為邊向上作等邊，連接．（1）求證：；（2）當時，求的度數；（3）與有怎樣的數量關系？隨著點位置的變化，與的數量關系是否會發生變化？請說明理由．4．（2020·河南省鶴壁市湘江中學八年級月考）（1）作圖發現：如圖1，已知，小涵同學以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時他發現與的數量關系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數量關系，并說明理由．5．（2020·廣東廣州市·執信中學八年級期中）如圖，兩個正方形ABCD與DEFG，連結AG，CE，二者相交于點H．（1）證明：△ADG≌△CDE；（2）請說明AG和CE的位置和數量關系，并給予證明；（3）連結AE和CG，請問△ADE的面積和△CDG的面積有怎樣的數量關系？并說明理由．6．（2020·山西八年級月考）綜合與實踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當點在上時，線段與之間的數量關系是__；直線與直線之間的位置關系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點順時針旋轉一定角度得到的，請探索線段與之間的數量關系和直線與直線之間的位置關系，并說明理由．

專題03三角形全等的重要模型模型1、平移全等模型，如下圖：1．（2021·浙江溫州市·八年級期末）如圖，，，要說明，需添加的條件不能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據三角形證明全等的條件進行判斷即可；【詳解】A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根據ASA即可判定三角形全等，故此選項不符合題意；B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根據AAS即可判定三角形全等，故此選項不符合題意；C、AC⊥DE，不符合三角形全等的證明條件，故此選項符合題意；D、∵AC=DF，∴根據SAS即可判定三角形全等，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形證明全等所需添加的條件，正確掌握知識點是解題的關鍵；2．（2021·云南昆明市·八年級期末）如圖：已知，且，求證：．【答案】見解析【分析】由AD=BE可求得AB=DE，再結合條件可證明△ABC≌△DEF．【詳解】證明：∵∴∴又∵∴在和中∴（SAS）【點睛】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．3．（2021·廣西百色市·八年級期末）如圖，已知點是的中點，∥，且．（1）求證：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度數．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據SAS證明△ACD≌△CBE；（2）根據三角形內角和定理求得∠ACD，再根據三角形全等的性質得到∠B=∠ACD．【詳解】（1）∵C是AB的中點，∴AC＝CB，∵CD//BE，∴，在△ACD和△CBE中，，∴；（2）∵，∴，又∵，∴．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質，解題關鍵是根據SAS證明△ACD≌△CBE．4．（2021·四川瀘州市·九年級月考）如圖，AB//CD，AB=CD點E、F在BC上，且BF=CE．（1）求證：△ABE≌△DCF（2）求證:AE//DF．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，，然后問題可得證；（2）由（1）可得，則有，然后問題可得證．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴，∵BF=CE，∴，∴，∵AB=CD，∴（SAS）；（2）由（1）可得：，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．5.（2021?襄城區期末）如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A＝∠D，AB∥DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學的發言，甲說：添加AB＝DE；乙說：添加AC∥DF；丙說：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是；（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．【思路】（1）根據平行線的性質，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上條件∠A＝∠D，只需要添加一個能得出邊相等的條件即可證明兩個三角形全等，添加AC∥DF不能證明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答】解：（1）說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；（2）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）．6.（2021?富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．【思路】可以根據已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖（2）、（3）時，其余條件不變，結論仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法進行驗證．【解答過程】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，AF=DE∠A=∠DAC=DB，∴△AFC≌△DEB（在（2），（3）中結論依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，AF=DE∠A=∠DAC=DB，∴△ACF≌△DEB（模型2. 對稱（翻折）全等模型，如下圖：1．（2021·安徽九年級專題練習）如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的序號是__________．【答案】①②③【分析】根據全等三角形的性質得出AB=AD，∠BAO=∠DAO，∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根據全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，進而得出其它結論.【詳解】由△ABO≌△ADO得：AB=AD，∠AOB=∠AOD=90°，∴AC⊥BD∠BAC=∠DAC，又AC=AC，所以，有△ABC≌△ADC，∴CB=CD，所以，①②③正確．由已知條件得不到DA=DC，故④不正確．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法:SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解題的關鍵.2．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，已知，若要使得，則添加的一個條件不能是（）A．B．C．AB=DCD．AC=DB【答案】C【分析】根據全等三角形的判定方法對各選項進行判斷，即可得出結論．【詳解】解：∵，BC＝CB，A、當添加∠A＝∠D時，可利用“AAS”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意；B、當添加時，可利用“ASA”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意；C、當添加AB=DC時，利用“SSA”不能判斷△ABC≌△DCB，故此選項符合題意；D、當添加AC=DB時，可利用“SAS”判斷△ABC≌△DCB，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．3．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，，，請補充一個條件：______，能使用“ASA”方法判定．【答案】∠B＝∠E【分析】已知∠1＝∠2，就是已知∠ACB＝∠DCE，則根據三角形的判定定理“ASA”即可證得．【詳解】可以添加∠B＝∠E．理由是：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BCE＝∠2+∠BCE，∴∠ACB＝∠DCE，∴在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA）．故答案是：∠B＝∠E【點睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握“兩角及夾邊對應相等的兩個三角形全等”是解題關鍵．4．（2021·西安市·陜西師大附中九年級二模）如圖，在中，點，分別是、邊上的點，，，與相交于點，求證：．【答案】見詳解；【分析】依題意，BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠BFD=∠CFE，可得△BDF≌△CEF，可得DF=EF，BF=CF；可得CD=BE，可得△ABE≌△ACD，即可；【詳解】由題知：BD=CE，∠ABE=∠ACD，又∠BFD和∠CFE為對頂角，∴∠BFD=∠CFE；在△BDF和△CEF中，∴△BDF≌△CEF（AAS）；∴DF=EF，BF=CF；又CD=DF+CF，BE=BF+EF；∴CD=BE；在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS）；∴AB=AC；【點睛】本題主要考查對頂角相等、用AAS證明全等及其性質，熟練構造出全等的三角形是關鍵；5．（2021·河南南陽市·八年級期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數．【答案】（1）見解析；（2）78°【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可證明Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）根據直角三角形的兩銳角互余得∠ABC＝39°，根據全等三角形的性質得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°．∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．【點睛】本題主要考查直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質，全等三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．6．（2021·江蘇徐州市·八年級期末）已知：如圖，點C是線段AB的中點，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求證：（1）△ADC≌△BEC；（2）DA=EB．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據SAS證明△ADC≌△BEC即可；（2）根據全等三角形的性質解答即可．【詳解】證明：（1）∵點C是線段AB的中點，∴CA＝CB，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）∵△ADC≌△BEC，∴DA＝EB．【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，解題關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．模型3. 旋轉全等模型，如下圖：1．（2021·河北滄州市·八年級期末）如圖，△ABC和△AED共頂點A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E．BC交AD于M，DE交AC于N，甲說：“一定有△ABC≌△AED．”乙說：“△ABM≌△AEN．”那么（）A．甲、乙都對 B．甲、乙都不對 C．甲對、乙不對 D．甲不對、乙對【答案】A【分析】利用AAS判定△ABC≌△AED，則可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN．【詳解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，∴∠BAC＝∠EAD，在△BAC和△EAD中，,∴△BAC≌△EAD，∴甲說的正確；∵△BAC≌△EAD（AAS），∴AB=AE，在△BAM和△EAN中，,∴△BAM≌△EAN（ASA），∴乙說的正確；故選A．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，根據題目的特點，補充適當條件，活用判定定理是解題的關鍵．2.（2021?渝水區校級期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【解題思路】根據等式的性質得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS證明△ABD與△ACE全等，進而解答即可．【解答過程】證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．3．（2020·武漢市六中位育中學八年級）如圖，已知，，且，，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度數，進而得∠GFD的度數，在△FGD中，由三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和即可求得∠EGF的度數．【詳解】在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC=∠DAE∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°∴∠BAC=∠DAE∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°∴∠GFD=90°在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°故選：C【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質、三角形內角和定理，關鍵求得∠BAC的度數．4．（2021·江蘇鎮江市·八年級期末）如圖，，求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據垂直得到，求出，即可得到結果；（2）設交于，交于，根據全等三角形的性質得到，再根據已知條件轉換即可；【詳解】證明：，，，，，在和中，，；如圖，設交于，交于，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，準確證明是解題的關鍵．5．（2021·四川廣元市·九年級期末）如圖，已知和中，，，，，，線段分別交，于點，．（1）請說明的理由；（2）可以經過圖形的變換得到，請你描述這個變換；（3）求的度數．【答案】（1）見解析；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉，可以得到；（3）【分析】（1）先利用已知條件∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，利用SAS可證△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC-∠PAF=∠EAF-∠PAF，即有∠BAE=∠CAF=25°；（2）通過觀察可知△ABC繞點A順時針旋轉25°，可以得到△AEF；（3）由（1）知∠C=∠F=57°，∠BAE=∠CAF=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根據三角形外角的性質可求∠AMB．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，，∴，∴；（2）通過觀察可知繞點順時針旋轉，可以得到；（3）由（1）知，，∴．【點睛】本題利用了全等三角形的判定、性質，三角形外角的性質，等式的性質等．6.（2021春?浦東新區期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．【思路】（1）延長BD交CE于F，易證△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解題；（2）延長BD交CE于F，易證∠BAD＝∠EAC，即可證明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解題．【解答】證明：（1）延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD∠EAC=∠DAB∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延長BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AD=AE∠BAD=∠EAC∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．模型4、半角全等模型【解題技巧】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系。半角模型（題中出現角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論.1．（2020·武漢市六中位育中學八年級）（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．【答案】（1）見證明；（2）結論EF＝BE+FD不成立，應當是EF＝BE﹣FD，證明見詳解．【分析】（1）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM．先證明△ABM≌△ADF，得到AF＝AM，∠2＝∠3，再證明△AME≌△AFE，得到EF＝ME，進行線段代換，問題得證；（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．先證明△ABG≌△ADF，得到AG＝AF，再證明△AEG≌△AEF，得到EG＝EF，進行線段代換即可證明EF＝BE﹣FD．【詳解】解：（1）證明：如圖，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF∠BAD，∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）結論EF＝BE+FD不成立，應當是EF＝BE﹣FD．證明：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE與△AFE中，，∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉變換的思想添加輔助線，構造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．2．（2020·河南新鄉市·八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F．（1）當∠MBN繞B點旋轉到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當∠MBN繞點B旋轉到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．（3）當∠MBN繞點B旋轉到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析；（2）AE+CF＝EF，證明見解析；（3）AE﹣CF＝EF，證明見解析【分析】（1）利用SAS定理證明△ABE≌△CBF；（2）延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，分別證明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根據全等三角形的性質、結合圖形證明結論；（3）延長DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1）證明：在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：AE+CF＝EF，理由如下：延長DC至點K，使CK＝AE，連接BK，在△BAE與△BCK中，，∴△BAE≌△BCK（SAS），∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠KBC＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF與△EBF中，，∴△KBF≌△EBF（SAS），∴KF＝EF，∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF；（3）解：AE﹣CF＝EF，理由如下：延長DC至G，使CG＝AE，由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC，∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△GBF≌△EBF，∴EF＝GF，∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．3.（2020·江陰市夏港中學八年級月考）（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結論：________________．（2）探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠BAD．上述結論是否仍然成立？請說明理由．（3）方法應用：如圖3，E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動點，連接AE、AF，并且始終保持∠EAF=45°，連接EF并延長與AD的延長線交于點G，說明AG=EG．（正方形四邊相等，四個角均為90°）【答案】（1）EF=BE+FD，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）將△ABE逆時針旋轉得到△ADG，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGD，可得EF=FG即可；（2）如圖2，將△ADF順時針旋轉得到△ABG，使得AD與AB重合，即△ADF≌△ABG；然后再證△EAG≌△EAF，可得GE=EF，再根據線段的和差即可解答；（3）將△ABE逆時針旋轉得到△ADH，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADH，然后再證△EAF≌△HAF可得∠H=∠AEF，再根據直角三角形的性質得到∠EAG=∠H，即，∠EAG=∠AEF，最后根據等腰三角形的性質解答即可．【詳解】解：(1)EF=BE+FD，理由如下：如圖1，將△ABE逆時針旋轉得到△ADG，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADG（SAS）∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=60°，∠BAD=120°∵∠EAF=∠BAD∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°∴∠EAF=∠GAF在△AEF和△GAF中AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=FG∴FG=DG+DF=BE+DF∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF；（2）證明：如圖2，將△ADF順時針旋轉得到△ABG，使得AD與AB重合∴△ADF≌△ABG∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB∵∠EAF=BAD∴∠EAF=∠EAG.在△EAG和△EAF中∵AG=AF，∠EAF=∠EAG，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴GE=EF，∵GE=GB+BE=DF+BE∴EF=BE+FD；（3）如圖3，將△ABE逆時針旋轉得到△ADH，使得AD與AB重合,即△ABE≌△ADH∴AE=AH，∠BAE=∠DAH.∵∠EAF=45°，∠BAD=90°∵∠EAF=∠BAD∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°∴∠EAF=∠HAF在△AEF和△HAF中AE=AH，∠EAF=∠HAF，AF=AF∴△EAF≌△HAF（SAS）∴∠H=∠AEF∵∠EAF=90°，∠HAD=90°∴∠HAD+∠EAG=∠HAD+∠H∴∠EAG=∠H∵∠H=∠AEF∴∠EAG=∠AEF∴AG=EG．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質以及旋轉的性質，通過旋轉作出全等三角形是解答本題的關鍵．4．（2022·四川綿陽市·八年級期末）已知在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC（1）如圖1，連接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的長度．（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ＝AP＋CQ，求證：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC（3）若點Q在DC的延長線上，點P在DA的延長線上，如圖3所示，仍然滿足PQ＝AP＋CQ，請寫出∠PBQ與∠ADC的數量關系，并給出證明過程．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【分析】（1）根據已知條件得出為直角三角形，再根據證出，從而證出即可得出結論；（2）如圖2，延長DC到K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根據證明得，從而得出，然后得出結論；（3）如圖3，在CD延長線上找一點K，使得KC=AP，連接BK，構建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對應角相等：∠PBQ=∠KBQ，結合四邊形的內角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如圖2，延長至點，使得，連接∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）；如圖3，在延長線上找一點，使得，連接，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∴．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．5．（2021·全國九年級專題練習）問題背景：如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角為120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC邊于M、N兩點，連接MN．探究線段BM，MN，CN之間的數量關系．嘉琪同學探究此問題的方法是：延長NC至點E，使CE＝BM，連接DE，先證明△CDE≌△BDM，再證明△MDN≌△EDN，可得出線段BM，MN，CN之間的數量關系為．請你根據嘉琪同學的做法，寫出證明過程．探索延伸：若點M，N分別是線段AB，CA延長線上的點，其他條件不變，再探索線段BM，MN，NC之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．【答案】問題背景：MN＝BM+NC，證明見解析；探索延伸：MN＝NC﹣BM，理由見解析【分析】問題背景：延長AC至E，使得CE＝BM并連接DE，構造全等三角形，找到相等的線段，MD＝DE，再進一步證明△DMN≌△DEN，進而得到MN＝BM+NC．探索延伸：按要求作出圖形，先證△BMD≌△CED，再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結論．【詳解】問題背景：MN＝BM+NC．理由如下：如圖1中，延長AC至E，使得CE＝BM，并連接DE．∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又BD＝CD，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD與△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD＝DE，，∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=60゜，∴∠EDN=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=60゜，即∠MDN=∠EDN，在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=EN=CE+NC，∴MN＝BM+NC．故答案為：MN＝BM+NC．探索延伸：如圖2中，結論：MN＝NC﹣BM．理由：在CA上截取CE＝BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠CBD＝30°，∴∠MBD＝∠DCE＝90°，在△BMD和△CED中，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DE＝DM，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE＝NC﹣CE＝NC﹣BM．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的性質．本題中要證明一條線段等于兩條線段的和或差，常常用截長法或補短法來解決．6．（2021·山東東營市·七年級期末）(1)問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC,CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小明同學探究此問題的方法是延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結論，他的結論應是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分別是BC，CD上的點，∠EAF=∠BAD，上述結論是否依然成立？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見解析【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；【詳解】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：

在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案為EF=BE+DF．（2）結論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質及“半角模型”構造全等的方法是解題的關鍵．模型5、三垂直全等模型如圖：1．（2021·廣東中山市·八年級期末）如圖，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，則下列結論中正確的是（）A．E為BC中點 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE【答案】D【分析】首先利用HL定理證明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根據全等三角形的性質，即可一一判斷．【詳解】∵∠ACB＝∠CED＝90°在Rt△ABC與Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴CB＝DE，CE＝AC，CD＝AB，△ABC≌△CDE，故D符合題意，其他選項不符合題意故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，掌握HL定理判定三角形全等是解題關鍵2．（2020·涿州市實驗中學八年級期中）在中，于點D，點E為AD上一點，連接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求證：；（2）若，則的度數為．【答案】（1）理由見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）由SAS證明即可；（2）由全等三角形的性質，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDE＝90°，在與中，，∴；（2）∵，∴AD＝CD，∴是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，∴∠B＝∠CED＝67°，【點睛】本題考查了三角形全等的判定、幾何圖形中角度的計算、等腰直角三角形的性質；關鍵在于熟練掌握證明三角形全的方式方法、運用等腰直角三角形的性質．3．（2020·廣東省龍嶺初級中學初一期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由。【答案】解：（1）相等，理由如下∵∠DCE=90°，∠DAC=90°，∴∠ECB＋∠ACD=90°，∠D＋∠ACD=90°∴∠D=∠ECB；（2）全等，理由如下在△ADC和△BCE中∴△ADC≌△BCE（3）能，BE和AC，理由如下∵△ADC≌△BCE∴AD=BC，AC=BE∵AC=AB＋BC∴AC=AB＋AD∴BE=AB＋AD4．（2020·河北省初三三模）如圖，和都是直角三角形，，，頂點在上，邊經過點，點，在同側，．（1）求證：：（2）若，，，求的長．【答案】（1）證明：∵，，∴，．∴．又，，∴（AAS）．（2）由，得，．若，，則，，而，∴，∴．5．（2020·江西贛州市·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關系，并證明你的結論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由．【答案】（1），見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析【分析】（1）先用判斷出，得出，進而判斷出，即可得出結論；（2）同（1）的方法，即可得出結論；（3）同（1）的方法，即可得出結論．【詳解】解：（1）理由如下：∵，，∴在和中∴，∴∵，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：∵，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴；（3）成立，理由如下：∵，，∴在和中，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，判斷出是解本題的關鍵．6.（2021?廬江縣期末）如圖1，AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，點E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB＝∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，則∠F的度數是（直接寫出答案即可）；（3）如圖3，EH平分∠CED，EH的反向延長線交∠BAE的平分線AF于點G．求證：EG⊥AF．（提示：三角形內角和等于180°）【解題思路】（1）根據垂直得到直角三角形，由直角三角形兩銳角互余利用等量代換證明結論；（2）通過作FM∥AB∥CD可證∠DFA＝∠CDF+∠BAF，因為∠CDE+∠BAE＝90°和角平分線的定義可得∠F=12（∠CDE+∠（3）根據角平分線的定義得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA＝90°，在△AEG中，可證得∠EAG+∠AEG＝90°，從而證得結論．【解答過程】（1）證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案為45°；過點F作FM∥AB，如圖，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF=12∠CDE，∠BAF=1∴∠CDF+∠BAF=12（∠BAE+∠CDE）＝∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH=12∠CED，∴∠BEG=1∵AF平分∠BAE，∴∠BAG=12∠BAE，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．模型6、一線三等角全等模型1）.一線三直角全等模型，如圖：1．（2021·廣西梧州市·八年級期末）如圖，在等腰直角三角形中，，點B在直線l上，過A作于D，過C作于E．下列給出四個結論：①；②與互余；③．其中正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】證△ADB≌△BEC即可．【詳解】證明：∵，，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∵，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正確；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，∴△ADB≌△BEC，∴，AD=BE，故①正確；DE=DB+BE=CE+AD，故③正確；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題關鍵是找到并證明全等三角形．2．（2021·江蘇揚州市·八年級期末）如圖，，，且．（1）試說明：是等腰直角三角形；（2）若，求的度數．【答案】（1）見解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA證明△BAE≌△CED，可證AE=DE，后利用∠BAE+∠BEA=90°，證明∠BEA+∠CED=90°，問題得證；（2）利用直角三角形的兩個銳角互余，求解即可．【詳解】（1）∵，，且，∴△BAE≌△CED，∴AE=DE，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED是等腰直角三角形；（2）∵，，∴，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【點睛】本題考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定義，直角三角形的銳角互余的性質，根據圖形，結合條件選擇對應判定方法，根據性質構造基本的計算等式是解題的關鍵．3．（2021·湖北鄂州市·八年級期末）將的直角頂點置于直線上，，分別過點、作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．若，．求的面積．【答案】32【分析】根據AAS即可證明，根據全等三角形的對應邊相等，得出，，所而，從而求出AD的長，則可得到的面積．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，在與中，∴∴，，∵，∴．．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，余角的性質等知識，熟悉相關性質是解題的關鍵．4．（2021·山東臨沂市·八年級期末）如圖，，，，，垂足分別為，，，求，求的長．【答案】．【分析】根據垂直定義求出∠BEC＝∠ACB＝∠ADC，根據等式性質求出∠ACD＝∠CBE，根據AAS證明△BCE≌△CAD；根據全等三角形的對應邊相等得到AD＝CE，BE＝CD，利用DE＝CE?CD，即可解答．【詳解】,又在和中,又,,．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，垂線的定義等知識點的應用，解此題的關鍵是推出證明的三個條件．5．（2021·河南商丘市·九年級期末）如圖（1），已知中，，；是過的一條直線，且，在的異側，于，于．（1）求證：；（2）若直線繞點旋轉到圖（2）位置時（），其余條件不變，問與，的數量關系如何？請給予證明．（3）若直線繞點旋轉到圖（3）位置時（），其余條件不變，問與，的數量關系如何？請直接寫出結果，不需證明；（4）根據以上的討論，請用簡潔的語言表達直線在不同位置時與，的位置關系．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）；（4）當，在的同測時，；當，在的異側時，若，則，若，則【分析】（1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形對應邊相等，進而通過線段之間的轉化，可得出結論；

（2）由題中條件同樣可得出△BAD≌△AEC，得出對應線段相等，進而可得線段之間的關系；

（3）同（2）的方法即可得出結論．（4）利用（1）（2）（3）即可得出結論．【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°

又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC，∴BD=DE+CE

（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°

又∵∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAD=90°∴∠ABD=∠CAE

在△ABD與△ACE中∴△ABD≌△ACE∴BD=AE，AD=EC∴BD=DE-CE，

（3）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠EAC，

在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE=BD+CE，∴BD=DE-CE．（4）歸納：由（1）（2）（3）可知：當B，C在AE的同側時，若BD>CE,則BD=DE+CE,若BD>CE,則BD=DE+CE,若BD<CE,則BD=CE-DE.

【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性質，線段的和差，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．6．（2020·浙江溫州市·八年級月考）在△ABC中，AO=BO，直線MN經過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D.(1)當直線MN繞點O旋轉到圖①的位置時，求證：CD=AC+BD；(2)當直線MN繞點O旋轉到圖②的位置時，求證：CD=AC-BD；(3)當直線MN繞點O旋轉到圖③的位置時，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CD=BD-AC，證明見解析.【分析】（1）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC+BD；（2）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC-BD；（3）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=BD-AC．【詳解】解：（1）如圖1，∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直線MN經過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，在△ACO和△ODB中，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴OC=BD，AC=OD，∴CD=AC+BD；（2）如圖2，∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直線MN經過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，在△ACO和△ODB中，,∴△ACO≌△ODB（AAS），∴OC=BD，AC=OD，∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．（3）如圖3，∵△AOB中，∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，直線MN經過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，∴∠ACO=∠BDO=90°∴∠AOC+∠OAC=90°，∴∠OAC=∠BOD，在△ACO和△ODB中，,∴△ACO≌△ODB（AAS），∴OC=BD，AC=OD，∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，即CD=BD﹣AC．【點睛】此題是一道幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，是一個探究題目，對于學生的能力要求比較高.2）.一線三等角與一組對應邊相等全等模型，如圖：1．（2021·安徽馬鞍山市·八年級期末）如圖，已知在中，，，求證：．【答案】見解析．【分析】證明，為三角形的全等提供條件即可．【詳解】證明：，，，，，在和中，≌(ASA)．【點睛】本題考查了ASA證明三角形的全等，抓住題目的特點，補充全等需要的條件是解題的關鍵．2．（2021·黑龍江大慶市·七年級期末）如圖，在中，，、、三點都在直線上，并且有，求證：．【答案】見解析【分析】首先根據等量代換得出，從而可證，最后利用全等三角形的性質即可得出結論．【詳解】證明：設，∴，∴，∵在和中，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，掌握全等三角形判定方法和性質是解題的關鍵．3．（2021·河南濮陽市·八年級期末）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側作，使，連接BD，CE．（1）如圖①，若，，，求證；（2）如圖②，若，請判