考綱要求考綱研讀1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義．2．會運用函數圖象理解和研究函數的性質.1.以函數的奇偶性與周期性為載體求函數值、比較函數值的大小、解函數不等式及求參數的取值范圍是本節考查的重點．2．研究函數性質時可以將抽象的函數具體化、直觀化(利用圖象).第3講函數的奇偶性與周期性1．函數的奇偶性的定義

(1)對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有____________[或_____________]，則稱f(x)為奇函數．奇函數的圖象關于____對稱．

(2)對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有____________[或____________]，則稱f(x)為偶函數．偶函數的圖象關于___軸對稱．

(3)通常采用圖象或定義判斷函數的奇偶性．具有奇偶性的函數，其定義域關于原點對稱(也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱)．原點f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0f(－x)－f(x)＝0yf(－x)＝f(x)

2．函數的周期性的定義 對于函數f(x)，如果存在一個__________T，使得定義域內的每一個x值，都滿足_____________，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的______．非零常數f(x＋T)＝f(x)周期DA．奇函數B．偶函數C．既是奇函數又是偶函數D．非奇非偶函數)C2．下列函數中，在其定義域內是奇函數的是(CA．y軸對稱C．坐標原點對稱B．直線y＝－x對稱D．直線y＝x對稱4．設函數f(x)＝(x2＋1)(x＋a)為奇函數，則a＝___.05．設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)＝_______.－0.5

解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4為周期的函數．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，且當0≤x≤1時，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.

考點1判斷函數的奇偶性例1：判斷下列函數的奇偶性：解：(1)函數的定義域為x∈(－∞，＋∞)，關于原點對稱．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函數．(2)此函數的定義域為{x|x>0}．由于定義域關于原點不對稱，故f(x)既不是奇函數也不是偶函數．(3)去掉絕對值符號，根據定義判斷．

故f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關于原點對稱，且有x＋2＞0.故f(x)為奇函數．(4)∵函數f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．當x＞0時，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．故函數f(x)為奇函數．(5)此函數的定義域為{－1,1}，且f(x)＝0.可知圖象既關于原點對稱、又關于y軸對稱，故此函數既是奇函數又是偶函數．∴f(x)是奇函數．

(1)函數的奇偶性是函數的一個整體性質，定義域具有對稱性(即若奇函數或偶函數的定義域為D，則x∈D時都有－x∈D)是一個函數為奇函數或偶函數的必要條件，因此判斷函數的奇偶性應首先考慮函數的定義域．

(2)分段函數的奇偶性一般要分段證明．

(3)用定義判斷函數的奇偶性的步驟是：定義域(關于原點對稱)→驗證f(－x)＝±f(x)→下結論，還可以利用圖象法或定義的等【互動探究】域均為R，則()BA．f(x)與g(x)均為偶函數C．f(x)與g(x)均為奇函數

B．f(x)為偶函數，g(x)為奇函數D．f(x)為奇函數，g(x)為偶函數01．(2010年廣東)若函數f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義＝___.

解析：∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)．即x2－|x＋a|＝(－x)2－|－x＋a|?＝.∴a＝0.考點2利用函數的奇偶性求函數解析式【互動探究】

3．(2011年廣東廣州綜合測試)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f(x)＝x3－x2，則當x>0時，f(x)的解析式為_________________.f(x)＝－x3－x24．(2011年安徽)設f(x)是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()AA．－3B．－1C．1D．3解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故選A.考點3函數奇偶性與周期性的綜合應用答案：A值的方法．關鍵是通過周期性和奇偶性，把自變量－—轉化到區間本題主要考查利用函數的周期性和奇偶性求函數52[0,1]上進行求值．【互動探究】

5．(2011年山東)已知f(x)是

R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數y＝f(x)的圖象在區間[0,6]上與x軸的交點的個數為()BA．6B．7C．8D．9

解析：因為當0≤x<2時，f(x)＝x3－x，又因為f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，又因為f(1)＝0，所以f(3)＝0，f(5)＝0.故函數y＝f(x)的圖象在區間[0,6]上與x軸的交點的個數為7個，故選B.D A．a<b<c

C．c<b<aB．b<a<cD．c<a<b2－x

易錯、易混、易漏5．判斷函數奇偶性時沒有考慮定義域例題：給出四個函數：①y＝lg

；2＋x②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．其中奇函數是________，偶函數是________．

正解：①②的定義域相同，均為(－2,2)，且均有f(－x)＝－f(x)，所以都是奇函數；③的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有f(－x)＝f(x)，所以為偶函數；而④的定義域為(2，＋∞)不對稱，因此為非奇非偶函數．答案：①②③

【失誤與防范】對函數奇偶性定義的實質理解不全面．對定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的實質是：函數的定義域關于原點對稱．這是函數具備奇偶性的必要條件．對于函數f(x)定義域中的任意x，總存在一個常數T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則T是函數y＝f(x)的一個周期．(1)若函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期．(2)若函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期．(3)若函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝－

1f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期．(4)若函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝

1f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期．1－f(x)1＋f(x)(a≠0)，則T＝2a是它

(5)若函數y＝f(x)滿足f(x＋a)＝的一個周期．(6)若函數y＝f(x)(x∈R)的圖象關于直線x＝a與x＝b對稱，則T＝2|b－a|是它的一個周期．(7)若函數y＝f(x)(x∈R)的圖象關于點(a,0)與x＝b對稱，則T＝4|b－a|是它的一個周期．

對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，則稱f(x)為奇(偶)函數．因此在討論函數的奇偶性時，應首先求函數的定義域，觀察其定義域是否關于原點對稱，若不對稱，則函數不具備奇偶性，為非奇非偶函數；只有定義域關于原點對稱，才有必要利用定義進一步研究其奇偶性．考綱要求考綱研讀1.會求一些簡單函數的值域．2．理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義.利用函數單調性、圖象等方法求一些簡單函數的值域或最值；或以最值為載體求參數的范圍，并能解決實際生活中的一些優化問題.第4講函數的單調性與最值1．函數的單調性的定義

設函數y＝f(x)的定義域為A，區間I?A，如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1<x2

時，都有__________，那么就說y＝f(x)在區間I上是單調增函數，I稱為y＝f(x)的______________；如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1<x2

時，都有________，那么就說y＝f(x)在區間I上是單調減函數，I稱為y＝f(x)的____________．單調增區間f(x1)>f(x2)單調減區間

f(x1)<f(x2)

2．用導數的語言來描述函數的單調性 設函數y＝f(x)，如果在某區間I上___________，那么f(x)為區間I上的增函數；如果在某區間I上____________，那么f(x)為區間I上的減函數．f′(x)>0f′(x)<0

3．函數的最大(小)值 設函數y＝f(x)的定義域為A，如果存在定值x0∈A，使得對于任意x∈A，有____________恒成立，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值；如果存在定值x0∈A，使得對于任意x∈A，有___________恒成立，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A．k>－1．函數y＝x2－6x的減區間是()DA．(－∞，2]C．[3，＋∞)B．[2，＋∞)D．(－∞，3]2．函數y＝(2k＋1)x＋b在實數集上是增函數，則()A12B．k<－12C．b>0D．b>03．已知函數f(x)的值域是[－2,3]，則函數f(x－2)的值域為()DA．[－4,1]C．[－4,1]∪[0,5]

B．[0,5]D．[－2,3]

解析：f(x－2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個單位．因此f(x－2)的值域不變．單調減區間是______________．[0，＋∞)5．指數函數y＝(a－1)x

在(－∞，＋∞)上為減函數，則實數a的取值范圍為________.1<a<24．若函數f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函數，則f(x)的例1：已知函數f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)．考點1利用定義判斷函數的單調性ax(1)判斷函數f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區間[2，＋∞)是增函數，求實數a的取值范圍．當a≠0時，f(x)既不是奇函數也不是偶函數．解：(1)當a＝0時，f(x)＝x2為偶函數．【互動探究】

2xx－1在區間(0,1)上

1．試用函數單調性的定義判斷函數f(x)＝的單調性．考點2利用導數判斷函數的單調性函數，在區間(6，＋∞)上為增函數，試求實數a的取值范圍．

解題思路：本題可用分離參數的方法結合不等式恒成立問題求解，也可求出整個函數的遞增(減)區間，再用所給區間是所求區間的子區間的關系求解．解析：函數f(x)的導數為f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.當a－1≤1即a≤2時，函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數，不合題意．當a－1＞1，即a＞2時，函數f(x)在(－∞，1)上為增函數，在(1，a－1)內為減函數，在(a－1，＋∞)上為增函數．依題意應有：當x∈(1,4)時，f′(x)＜0.當x∈(6，＋∞)時，f′(x)＞0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范圍是[5,7]．【互動探究】

＋mf(x)<0恒成立，則實數m的取值范圍是_________.m<－1

考點3函數的最值與值域例3：求下列函數的值域：程，用判別式可求值域