第3節合情推理與演繹推理【選題明細表】知識點、方法題號歸納推理3,7,8,10,11,13,15類比推理2,4,6,9,14演繹推理1,5,12基礎對點練(時間:30分鐘)1.(2016煙臺模擬)命題“有理數是無限循環小數,整數是有理數,所以整數是無限循環小數”是假命題,推理錯誤的原因是(C)(A)使用了歸納推理(B)使用了類比推理(C)使用了“三段論”,但大前提錯誤(D)使用了“三段論”,但小前提錯誤解析:由題目可知滿足“三段論”形式,但是大前提表述不正確而使結論錯誤.2.給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集,R為實數集,C為復數集):①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”;②“若a,b,c,d∈R,則復數a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b2=c+d2?a=c,b=d”;③若“a,b∈R,則a-b>0?a>b”類比推出“若a,b∈C,則a-b>0?a>b”.其中類比結論正確的個數是(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正確,③錯誤,因為兩個復數如果不是實數,不能比較大小.故選C.3.(2016長沙校級二模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…,以此類推,第5個等式為(D)(A)24×1×3×5×7=5×6×7×8(B)25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9(C)24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10(D)25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10解析:因為21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…,所以第5個等式為25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10.故選D.4.(2016濟南一模)類比平面內“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質,可得出空間內的下列結論(D)①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行;②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行;③垂直于同一個平面的兩個平面互相平行;④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④解析:①垂直于同一個平面的兩條直線互相平行,正確.②垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行,也可能是相交直線、異面直線,故不正確.③垂直于同一個平面的兩個平面不一定平行,也可能是相交平面,如墻角,故不正確.④垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,正確.5.為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規則加入相關數據組成傳輸信息.設定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),傳輸信息為h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h00⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息為111,則傳輸信息為01111,信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯,則下列接收信息一定有誤的是(C)(A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011解析:對于選項C,傳輸信息是10111,對應的原信息是011,由題目中運算規則知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故傳輸信息應是10110.故選C.6.已知等差數列{an}中,有a11+a12+…+a解析:由等比數列的性質可知b1b30=b2b29=…=b11b20,所以10b11b答案:10b117.(2016渭南模擬)觀察下列不等式:①12<1;②12+16<2;③12+16+112<3解析:由①12②12+16<③12+16+112歸納可知第4個不等式應為12+16+112第5個不等式應為12+16+112+120+答案:12+16+112+1208.在平面內有n(n∈N*,n≥3)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,若這n條直線把平面分成f(n)個平面區域,則f(5)的值是,f(n)的表達式是.

解析:由題意知,n條直線將平面分成n(f(n)=n2答案:16f(n)=n9.在圓中有結論:如圖所示,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD分別是圓O過A,B的切線,P是圓O上任意一點,CD是過P的切線,則有PO2=PC·PD”.類比到橢圓:“AB是橢圓的長軸,直線AC,BD分別是橢圓過A,B的切線,P是橢圓上任意一點,CD是過P的切線,則有.”

解析:橢圓中的焦半徑類比圓中的半徑.答案:PF1·PF2=PC·PD10.某同學在一次研究性學習中發現,以下五個式子的值都等于同一個常數:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數;(2)根據(1)的計算結果,將該同學的發現推廣為三角恒等式,并證明你的結論.解:(1)選擇②式,sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-QUOTE12sin30°=QUOTE34.(2)推廣的三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=QUOTE34.證明:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)=QUOTE12-QUOTE12cos2α+QUOTE12+QUOTE12(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-32sinαcosα-QUOTE12sin2α=1-QUOTE12cos2α+QUOTE14cos2α+34sin2α-34sin2α-QUOTE14(1-cos2α)=1-QUOTE14cos2α-QUOTE14+QUOTE14cos2α=QUOTE34.能力提升練(時間:15分鐘)11.從1開始的自然數按如圖所示的規則排列,現有一個三角形框架在圖中上下或左右移動,使每次恰有九個數在此三角形內,則這九個數的和可以為(C)(A)2097 (B)1553 (C)1517 (D)2111解析:根據如題圖所示的規則排列,設最上層的一個數為a,則第二層的三個數為a+7,a+8,a+9,第三層的五個數為a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,這9個數之和為a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=1517,得a=157,是自然數.且a為表中第20行第5個數,符合,若9a+104=2097,a≈221.4不合題意;若9a+104=1553,a=161,a為表中第21行第一個數不合題意;若9a+104=2111,a=223,a為表中第28行第7個數,不合題意.12.設f為實系數三次多項式函數.已知五個方程式的相異實根個數如下表所述:f(x)-20=01f(x)+10=01f(x)-10=03f(x)+20=01f(x)=03關于f的極小值α,試問下列選項中正確的是(C)(A)0<α<10 (B)-20<α<-10(C)-10<α<0 (D)α不存在解析:f(x)分別向上向下平移10個單位和20個單位分別得到f(x)+10,f(x)+20,f(x)-10,f(x)-20,由題意可近似畫出f(x)的草圖,由圖可以看出f(x)極小值α∈(-10,0).13.從裝有(n+1)個球(其中n個白球,1個黑球)的口袋中取出m個球(0<m≤n,m,n∈N),共有Cn+1m種取法.在這Cn+1m種取法中,可以分成兩類:一類是取出的m個球全部為白球,另一類是取出(m-1)個白球,1個黑球,有C10·Cnm+C11·Cnm-1=Cn+1m,即有等式:Cnm+Cnm-1=Cn+1m解析:在Ck0·Cnm+Ck1·Cnm-1+從第一項到最后一項分別表示:從裝有n個白球,k個黑球的袋子里,取出m個球的所有情況取法總數的和,故答案應為從裝有(n+k)個球的袋子中取出m個球的不同取法數為Cn答案:C14.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:1AD2=1證明:如圖所示,由射影定理AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,所以1AD2=1BD·又BC2=AB2+AC2,所以1AD2=AB2猜想,在四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD,則1AE2=1AB證明:如圖,連接BE并延長交CD于F,連接AF.因為AB⊥AC,AB⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.所以AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,所以1AE2=1因為AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD;因為AE⊥平面BCD,所以AE⊥CD,又AB與AE交于點A,所以CD⊥平面ABF,所以CD⊥AF.所以在Rt△ACD中1AF2=1所以1AE2=1AB15.(2016聊城模擬)下面四個圖案,都是由小正三角形構成,設第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數為f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5);(2)找出f(n)與f(n+1)的關系,并求出f(n)的表達式.解:(1)由題意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12.f(3)=f(2)+3+3×4=27.f(4)=f(3)+3+3×6=48.f(5)=f(4)+3+3×8=75.(2)由題意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,即f(n+1)-f(n)=6n+3,所以f(2)-f(1)=6×1+3,f(3)-f(2)=6×2+3,f(4)-f(3)=6×3+3,f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3,將上面(n-1)個式子相加,得f(n)-f(1)=6[1+2+3+…+(n-1)]+3(n-1)=6×(1+n-又f(1)=3,所以f(n)=3n2.精彩5分鐘1.(2016安陽模擬)我們知道,在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值32(A)63a (B)64a (C)33解題關鍵:在正四面體內任取一點,將四面體分割成四個三棱錐.解析:正四面體內任一點與四個面組成四個三棱錐,它們的體積之和為正四面體的體積,設點到四個面的距離分別為h1,h2,h3,h4,每個面的面積為34a2,正四面體的體積為212a則有QUOTE13×34a2(h1+h2+h3+h4)=212a3,得h1+h2+h3+h4=632.(2016揭陽模擬)對任意的a,b∈R,定義:min{a,b}=amax{a,b}=a,(①min{a,b}+max{a,b}=a+b;②min{a,b}-max{a,b}=a-b;③(min{a,b})·(max{a,b})=a·b;④(min{a,b})÷(max{a,b})=a÷b.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解題關鍵:按照新定義對各式是否恒成立作出判斷.解析:因為對任意的a,b∈R,定義:min{a,b}=amax{a,b}=a所以min{a,b}取a,b中的最小值,max{a,b}取a,b中的最大值.所以min{a,b},max{a,b}分別取出a,b中的一個最大值與一個最小值,所以min{a,b}+max{a,b}=a+b,(min{a,b})·(max{a,b})=a·b,故①③成立;若a≤b,則有min{a,b}-max{a,b}=a-b,若a>b,則min{a,b}-max{a,b}=b-a≠a-b,故②不一定成立;若a≤b,且b≠0,則有(min{a,b})÷(max{a,b})=a÷b,若a>b,且a≠0,(min{a,b})÷(max{a,b})=b÷a≠a÷b.故④不一定成立.故選B.3.(2016銅川模擬)觀察以下等式:1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=1513=1

13+23=9

13+23+