1.5.2點到直線的距離學習目標1.了解點到直線距離公式的推導方法.2.掌握點到直線的距離公式,會求平行線間的距離.3.能利用點到直線的距離公式解決相關問題.

1|距離公式

點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間的公垂線

段的長公式點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0

(A2+B2≠0)的距離d=①

兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)

間的距離d=②

2|距離公式的特殊情況(1)點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;(2)點P(x0,y0)到y軸的距離d=|x0|;(3)點P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=a的距離d=|y0-a|;(4)點P(x0,y0)到與y軸平行的直線x=b的距離d=|x0-b|.兩條垂直于x軸的直線x=a,x=b的距離d=|a-b|;兩條垂直于y軸的直線y=a,y=b的距離d=|a-b|.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.點到直線的垂線段的長度就是點到直線的距離.

(√)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為

.

(

?)提示:直線方程化為一般式為kx-y+b=0,P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為

.3.直線外一點與直線上任一點距離的最小值就是點到直線的距離.

(√)提示:由直線外一點與直線上任一點的連線中,垂線段最短,故結論成立,這是點到

直線距離的代數特征.4.連接兩條平行直線上兩點,即得兩平行線間的距離.

(

?)提示:兩平行線間的距離是兩平行線間的公垂線段的長,并不是兩平行直線上任

意兩點間的距離,故結論不正確.5.兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也能看作兩條直

線上各取一點的最短距離.(√)提示:由平行線間距離的定義知結論正確.

1|點到直線的距離公式及其應用整理:將直線方程化為一般式,即Ax+By+C=0.代入:將點P(x1,y1)的坐標及A,B,C的值代入式子d=

.計算:得到d的值.(1)設直線上任一點的坐標為(x,y),利用距離公式構造等量關系,將等量關系坐標

化,即得所求直線方程.(2)設出直線的方程,利用距離公式建立關于待定系數的方程,解方程求出待定系

數,即得直線方程.(1)當點在直線上時,點到該直線的距離為0,點到直線的距離公式仍然適用.(2)點到直線的距離公式對于直線方程中A=0或B=0時的情況仍然適用.(3)在應用點到直線的距離公式時,若給出的直線方程不是一般式,則應先把方程

化為一般式.

已知正方形的中心的坐標為直線2x-y+2=0,x+y+1=0的交點,正方形一邊所在的直

線l的方程為x+3y-5=0,求正方形其他三邊所在直線的方程.思路點撥根據所求的三邊中有一邊所在的直線與直線x+3y-5=0平行,另兩邊所在的直線與

直線x+3y-5=0垂直,并結合正方形的中心到四邊的距離相等解題.解析

由

得正方形的中心的坐標為(-1,0).設與直線l:x+3y-5=0平行的邊所在直線的方程為l1:x+3y+c=0(c≠-5).由點(-1,0)到兩直線l,l1的距離相等,得

=

,解得c=7或c=-5(舍去),∴l1:x+3y+7=0.又正方形另兩邊所在直線均與l垂直,∴設另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).∵正方形的中心到四條邊的距離相等,∴

=

=

,解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,∴另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形其他三邊所在直線的方程分別為x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.2|平行線間距離公式的應用

兩平行線間距離的求法(1)當直線的方程為一般式時,可利用兩平行線間的距離公式,其步驟如下:

解題時必須注意兩直線方程中x,y的系數對應相等,若不相等,則先將系數化為相等.(2)當直線的方程為斜截式,即l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2時,d=

.(3)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點

到另一條直線的距離.

兩平行線間距離的應用已知兩平行直線間的距離及其中一直線的方程求另一直線的方程,一般先設出直

題轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離問題,然后利用點到直線的距

離公式求解.

在△ABC中,已知A(1,1),B(3,-2).(1)若直線l過點M(2,0),且點A,B到直線l的距離相等,求直線l的方程;(2)若∠ACB的平分線在直線m:2x-y-6=0上,求直線BC的方程.思路點撥(1)將條件轉化為直線l過線段AB的中點或l∥AB,結合直線方程的知識即可得解;(2)將條件轉化為點A關于直線m的對稱點A'(a,b)在直線BC上,由軸對稱的性質可

得A'(5,-1),再由直線方程的知識即可得解.解析

(1)∵點A,B到直線l的距離相等,∴直線l過線段AB的中點或l∥AB.①當直線l過線段AB的中點N

時,直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=2;②當l∥AB時,直線l的斜率k=kAB=

=-

,則直線l的方程為y-0=-

(x-2),即3x+2y-6=0.綜上,直線l的方程為x=2或3x+2y-6