高考文科數學解析幾何練習題

+導數訓練題+經典過關試題附答案+模擬試卷

解析幾何單元易錯題練習（附參考答案）

考試內容：

橢圓及其標準方程.橢圓的簡單幾何性質.橢圓的參數方程.

雙曲線及其標準方程.雙曲線的簡單幾何性質.

拋物線及其標準方程.拋物線的簡單幾何性質.

考試要求：

掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程.

掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質.

掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質.

了解圓錐曲線的初步應用.

【注意】圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數學的重點內容，高考中主要出現三種類型

的試題：①考查圓錐曲線的概念與性質；②求曲線方程和軌跡；③關于直線與圓錐曲線的位

置關系的問題.

三.基礎知識：

橢圓及其標準方程

橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點工、工的距離的和大于|工戶2|這個條

件不可忽視.若這個距離之和小于|乙尸2|,則這樣的點不存在；若距離之和等于

則動點的軌跡是線段K

9222

了y1yxi

2.橢圓的標準方程：a-b-（。>人>0）,a-b-

2*2

3.橢圓的標準方程判別方法:判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果X項的分母大于）

項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.

4.求橢圓的標準方程的方法：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后，運用待定系數

法求解.

橢圓的簡單幾何性質

22

廠上廠-1

橢圓的幾何性質：設橢圓方程為。2/（?>^>0）.

（1）范圍：-aWxWa,-bWxWb,所以橢圓位于直線x=±。和y=±人所圍成的矩形里.⑵對

稱性：分別關于x軸、y軸成軸對稱，關于原點中心對稱.橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.

A

⑶頂點：有四個A|（-a,0）、2（a,o）（0,-b）,%（0,b）.

線段A42、鳥當分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等于2a和2b,a和b分別叫

做橢圓的長半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，稱為橢圓的頂點.

⑷離心率：橢圓的焦距與長軸長的比。叫做橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程

度.0<e<l.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0時，橢圓就越接近于圓.

2.橢圓的第二定義

c

€——

⑴定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數?（e

<1=時，這個動點的軌跡是橢圓.

92

~r+一=1

⑵準線：根據橢圓的對稱性，b-（”>b>0）的準線有兩條，它們的方程為

a2y2x2

x=±——--?=1

C.對于橢圓/（。>力>0）的準線方程，只要把x換成y就可以了，即

,a2

y=±-

C.

3,橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑.

22

------F--二1

設K（-C,0）,B（C,0）分別為橢圓/b-的左、右兩焦點，M（X,

y）是橢圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為.制=。+夕，M閭="一夕

橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便.

C

e———

橢圓的四個主要元素a、b、c、e中有/=/+c:。兩個關系，因此確定橢圓的標準

方程只需兩個獨立條件.

4.橢圓的參數方程

丫22（X=QCOS6

_+=i\

橢圓/h-（a>b>o）的參數方程為U='sin9（9為參數）.

說明⑴這里參數0叫做橢圓的離心角.橢圓上點P的離心角0與直線OP的傾斜角Q不同：

b

tancr=—tan0

a.

片+亡=1,,

（2）橢圓的參數方程可以由方程“2b-與三角恒等式cos2?+sin2e=l相比較而得

X2y2

—+TT=>0）

到，所以橢圓的參數方程的實質是三角代換.92.橢圓。"的參數方程是

x=acos0

<

y=bsin0

5.橢圓的的內外部

2222

—L.2—=1f/7>A>0）z=s5.+.,^9.

（1）點2/，為）在橢圓/環的內部a2b2

2222

r+%=l（a>b>。）o-+普>1

⑵點P（x。在橢圓。夕的外部a'b-

6.橢圓的切線方程

22

r+夫=l（a>8>0）空+迎=1

橢圓夕b-上一點P（/，%）處的切線方程是crb2

-+-y=Ka>b>Q）p（v）

（2）過橢圓如b-外一點中/'%）所引兩條切線的切點弦方程是

v+）v=1

a2h2.

X2y2

~—=1（。>b>0）AD?-?n9?9?9

（3）橢圓7b~與直線4+8）'+0=0相切的條件是Az+Bb-=c~

雙曲線及其標準方程

雙曲線的定義：平面內與兩個定點K、「2的距離的差的絕對值等于常數2a（小于IK瑞|）

的動點M的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件2a<|K尸2|,這一條件可以用“三

角形的兩邊之差小于第三邊”加以理解.若2a=|KK|,則動點的軌跡是兩條射線；若2a

則無軌跡.

若用<MK|時，動點M的軌跡僅為雙曲線的一個分支，又若四用>1"1時，軌跡

為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應為“差的絕對值”.

2222

上-匕=1匯-上=1,,,

雙曲線的標準方程：〃/和//（a>0,b>0）.這里>2=。2—。2,其中

F2|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.

22

3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果廠項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果>項的

系數是正數，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣，通過比

較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.

4.求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；（2）設出標準方程后,

運用待定系數法求解.

雙曲線的簡單幾何性質

雙曲線a.卜的實軸長為2a,虛軸長為2b,離心率。>1,離心率e越大，雙曲

線的開口越大.

/VbX2y2

雙曲線/b"的漸近線方程為a或表示為/H.若已知雙曲線的漸

,m

y=——%,_八

近線方程是〃，即,加士〃y=u,那么雙曲線的方程具有以下形式：

2222

mx-ny=kt其中k是一個不為零的常數.

雙曲線的第二定義：平面內到定點（焦點）與到定直線（準線）距離的比是一個大于1的常

22

土-匕=1

9.2

數（離心率）的點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線。一b,它的焦點坐標是（-c,o）

?>

a~a2

x-----x——

和（c,0）,與它們對應的準線方程分別是C和C.雙曲線

22

xy=13>0,。>0）

22

ah的焦半徑公式

2

\PF\=\e(^--x)\

|P用=|e(x+?)|2

雙曲線的內外部

222

X

=1(67>0,/?>0)。c二X。一萬%>、11

點尸（/，％））

在雙曲線/的內部ab-

2222

xy=l(a>0,0〉0)o烏一冬<1

點P（x。'為）在雙曲線//的外部"h-

雙曲線的方程與漸近線方程的關系

2222

Xyxy

10<=>y=±—x

（1）若雙曲線方程為/產n漸近線方程:/一后a

y=±—x-±-=U-----—=A

若漸近線方程為.aQab=>雙曲線可設為ab

2222

二-二=1工_21=>

若雙曲線與/b?有公共漸近線，可設為b-（入焦點在X軸上,

大<°,焦點在y軸上）.

雙曲線的切線方程

二-2=1（。〉0力>0）

雙曲線如夕上一點P（%'%）處的切線方程是/H

22

二一a=1（。>0力>0）p（）

（2）過雙曲線如b-外一點日玉>'為,所引兩條切線的切點弦方程是

a2b1

fy2

=l（a>0,b>0）.??

（3）雙曲線/與直線A"*寸?相切的條件是

A2a2-B2b2=c\

拋物線的標準方程和幾何性質

1.拋物線的定義：平面內到一定點（F）和一條定直線（I）的距離相等的點的軌跡叫拋物

線。這個定點F叫拋物線的焦點，這條定直線I叫拋物線的準線。

需強調的是，點F不在直線I上，否則軌跡是過點F且與I垂直的直線，而不是拋物線。

2.拋物線的方程有四種類型：

y2-2pxy2--2pxx2-2pyx2=-2py

、、、?

對于以上四種方程：應注意掌握它們的規律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一

次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲

線的開口方向向x軸或y軸的負方向。

3.拋物線的幾何性質，以標準方程y2=2px為例

（1）范圍：xNO；

（2）對稱軸：對稱軸為y=0,由方程和圖像均可以看出；

（3）頂點：0（0,0）,注：拋物線亦叫無心圓錐曲線（因為無中心）；

（4）離心率：e=l,由于e是常數，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；

VP

X=-----

（5）準線方程2.

（6）焦半徑公式：拋物線上一點P（xl,yl）,F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半

徑公式分別為（p>0）：

2

y=2px:|PF|=X1+y；/^-2px:\PF\^-x]+-|

2

/=2py:|尸目=y+與x=-2py:\PF\=-yt+g

（7）焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長，可以用焦半徑公式推導出弦長公式。設過

拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的弦為AB,A（xl,yl）,B（x2,y2）,AB的傾斜角為a,

則有①IAB|=x?+x2+p

以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用“弦長公式”來求。

（8）直線與拋物線的關系：直線與拋物線方程聯立之后得到一元二次方程：x-+bx+c=O,

當a#0時，兩者的位置關系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0,

則直線是拋物線的對稱軸或是和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個

公共點。

2

4.拋物線V=2px上的動點可設為p（2p'"）或P（2pf2,2pf）或pl"）,其中

V=2px

21b2^ac-b1

y=ax~+PX+c=az(x+—)+

5.二次函數2a4a（aR°）的圖象是拋物線：（1）頂點坐標

（b4ac-h2）（b4ac-b24-1）

為2/4a.（2）焦點的坐標為2a'4a.（3）準線方程是

4ac一。2-1

y=~

4a

6.拋物線的內外部

點P（x。，％）在拋物線V=2*（。>°）的內部oV<2PHp>0）

點P（x。，%）在拋物線V=2PMp>0）的外部oV>2Px（p>0）

點P（x。，%））在拋物線V=-2px（p>0）的內部0y2<_2px（p>0）

點P（x。，為）在拋物線V=-2px（p>0）的外部oV>_2px（p>0）

點P（x（），加）在拋物線f=2py（p>°）的內部=廠<2py（p>0）.

點P（x。，為）在拋物線Y=2py（p>0）的外部=Y>2py（p>0）

點產（入0,打）在拋物線％2=2py（p>°）的內部=<2py（p>0）

點產（/，%）在拋物線f=-2py{p>0）的外部o/>_2py（p>0）

7.拋物線的切線方程

拋物線V=2px上一點尸（/，為）處的切線方程是=P（x+X。）.

(2)過拋物線V=2px外一點所引兩條切線的切點弦方程是為y=P(x+%).(3)

拋物線>，2=2Px(p>0)與直線Ax+By+C=0相切的條件是涉=2AC

(六).兩個常見的曲線系方程

過曲線工(國力=°,力(％歷二°的交點的曲線系方程是

工(x，y)+46(x,y)=o(4為參數)

22

廠?廠=122

共焦點的有心圓錐曲線系方程/一&b2-k，其中Z<max{42,的當

k>min{〃/r時表示橢圓；當min{],〃}<k<max{/口?}時表示雙曲線

直線與圓錐曲線相交的弦長公式I陰=限-*2)2+(凹一%)~或

2222

\AB\=yl(l+k)(x2-Xj)=|x1-x2\Vl+tancr=|y}-y2\yji+cota(弦端點

y=kx+b

<

A(x「M),B(x2，y2),由方程[F(x,y)=0消去y得到內？+陵+c=0,八>0尸為直線

AB的傾斜角，左為直線的斜率).

(八).圓錐曲線的兩類對稱問題

(1)曲線/(乂丁)=0關于點A*。'為)成中心對稱的曲線是FQx。-x,2yo-y)=O

(2)曲線/(乂刃二°關于直線4+8)'+c=0成軸對稱的曲線是

24(Ax+By+C)2B(Ax+By+C)

XA2+B2A2+B2

四.基本方法和數學思想

r22

---F=1

橢圓焦半徑公式：設P(x0,y0)為橢圓/y(a>b>0)上任一點，焦點為Fl(-c,0),F2(c,0),

則歸用=。+%,歸閭=。一%(e為離心率)；

雙曲線焦半徑公式：設P(x0,y0)為雙曲線/后(a>0,b>0)上任一點，焦點為

Fl(-c,0),F2(c,0),則：

⑴當P點在右支上時，歸用=。+啾“=3叫

(2)當P點在左支上時，歸胤"一啊(e為離心率);

，y2，,2

------------=J------------=u

2

另：雙曲線1b?(a>0,b>0)的漸進線方程為/b.

拋物線焦半徑公式：設P(xO,yO)為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F為焦點，則

|PF|=XO+K|P耳=_玉)+"

2；y2=2px(p<0)上任意一點，F為焦點，2；

涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題；

_,bx2y2_

=

y=±—x~~TTo

共漸進線a的雙曲線標準方程為b-為參數，A^o);

計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式，

一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB,A、B兩點分別為A(xl,yl)、B(x2,y2),

則弦長Mq=J1+二'|X2—Xl|=l(l+&-)[(X]+*2廠—4百9]

=，(1+表)](%+丫2)2-4%為]

=j"一帆，這里體現了解析幾何“設而不求”的解

題思想;

2b2b2

橢圓、雙曲線的通徑(最短弦)為丁，焦準距為p=",拋物線的通徑為2p,焦準距為

￡l_2t=1

p;雙曲線/b-(a>0,b>0)的焦點到漸進線的距離為b;

中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設為Ax2+Bx2=l；

拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦(過焦點的弦)為AB,A(xl,yl)、B(x2,y2),則有如下結論：(1)

=xl+x2+p;(2)yly2=—p2,xlx2=4-

過橢圓靛>一(a>b>0)左焦點的焦點弦為AB,則|Aq=1+0(再+為2),過右焦點的

一JAq=2a—e(x}+x2)

72A

yp

對于y2=2px(pW0)拋物線上的點的坐標可設為(2P,y0)，以簡化計算；

處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設A(xl,yl)、B(x2,y2)為橢圓

二+4=1E

y(a>b>0)上不同的兩點，M(xO,yO)是AB的中點，貝ljKABKOM=4；對于雙曲

x?y?.b2

——-----=I-----

2242

線卜（a>0,b>0）,類似可得：KAB.KOM=?'；對于y2=2px（pW0）拋物線有KAB=

2P

>'i+%

求軌跡的常用方法：

（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關系，構成F（x,y）=O,是求軌跡的最基本的方法；

（2）待定系數法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據條件列出所

求曲線的方程，再由條件確定其待定系數，代回所列的方程即可；

（3）代入法（相關點法或轉移法）：若動點P（x,y）依賴于另一動點Q（xl,yl）的變化而變化，

并且Q（xl,yl）又在某己知曲線上，則可先用x、y的代數式表示xl、yl,再將xl、yl帶入已

知曲線得要求的軌跡方程；

（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫

出方程；

（5）參數法：當動點P（x,y）坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可

考慮將x、y均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程。

例題1求過點（2,1）且與兩坐標所圍成的三角形面積為4的直線方程。

-=1

錯解：設所求直線方程為“b。

；（2,1）在直線上，。匕，①

1,

一aub=4

又2，即ab=8,②

由①、②得a=4,b=2o故所求直線方程為x+2y=4。

剖析：本題的“陷阱”是直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積的表示。上述解法中，由于對

截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。

事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為5M而不是，ab。

故所求直線方程應為：

x+2y=4,或（血+1）x-2（收-1）y-4=0,或（血-1）x-2（收+1）y+4=0。

例題2求過點A（-4,2）且與x軸的交點到（1,0）的距離是5的直線方程。

2

錯解：設直線斜率為k,其方程為y-2=k（X+4）,則與X軸的交點為（-4-7，0）,

卜，解得k=-5。故所求直線的方程為x+5y-6=0。

剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經過A且垂直于x軸的

直線，落入“陷阱:其實x=-4也符合題意。

例題3求過點(1,1)且橫、縱截距相等的直線方程。

錯解：設所求方程為。0，將(1,1)代入得a=2,

從而得所求直線方程為x+y-2=0。

平=1

剖析：上述錯解所設方程為。。，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、

縱截距為0且過點(1,1)的直線y=x也符合條件。

例題4已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點為A(1,2),要使過A點作圓的

切線有兩條，求a的取值范圍。

a4-3/

錯解：將圓的方程配方得：。

(x+2)2+(y+i)2=4

al4-3a2

?.?其圓心坐標為C(―5,-1),半徑r=丫4。

當點A在圓外時，過點A可作圓的兩條切線，則HO>ro

/(1+/+(2+1)2J"：」

即V2>V4。即a2+a+9>0,解得aWR。

剖析：本題的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圓的充要條件，上述解法僅由條

件得出MU>r,即a2+a+9>0,卻忽視了a的另一制約條件4-3a2>0。

-|V3,|V3

事實上，由a2+a+9>0及4-3a2>0可得a的取值范圍是(33)。

例題5已知直線L：y=x+b與曲線C：丫=1一工2有兩個公共點，求實線b的取值范圍。

y=x+b,

<

錯解：由I>='1一/消去x得：2y2-2by+b2-l=0。(*)

L與曲線C有兩個公共點，,A=4b2-8(b2-1)>0,解得一挺<b〈血

剖析：上述解法忽視了方程yk一，中y》0,—1WxW1這一限制條件，得出

了錯誤的結論。

事實上，曲線C和直線L有兩個公共點等價于方程(*)有兩個不等的非負實根。

A=4b2-8(b2-l)>0

-2b八

y.+y2=—^->o

b2-\八

NO

解得b4叵。

例題6等腰三角形頂點是A(4,2),底邊的一個端點是B(3,5),求另一個端點C的軌

跡方程。

錯解：設另一個端點的坐標為(x,y),依題意有：

IA。=|A0，即.J(x-4尸+(y-2/_-J(4—3)2+(2—5)2

(x-4)2+(y-2)2=10即為C點的軌跡方程。

這是以A(4,2)為圓心、以為半徑的圓。

剖析：因為A、B、C三點為三角形三個頂點，所以A、B、C三點不共線，即B、C不能重合,

且不能為圓A一直徑的兩個端點，這正是解題后沒有對軌跡進行檢驗，出現增解，造成的

解題錯誤。

I2

xw3|y+5

<c------w2

事實上，C點的坐標須滿足〔丁工5,且12

故端點C的軌跡方程應為(x-4)2+(y-2)2=10(x*3,y*5；x*5,y*-1),,

它表示以(4,2)為圓心，以W為半徑的圓，除去(3,5)(5,-1)兩點。

5x+3y<15

y<x+1

x-5y<3

例題7求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x,y滿足約束條件:

錯解：作出可行域如圖1所示，過原點作直線L0：3x+5y=0。

由于經過B點且與L0平行的直線與原點的距離最近，

剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤認為在對過原點的直線L0的平行移動中，與原

點距離最大的直線所經過的可行域上的點，即為目標函數Z取得最大值的點。反之，即為Z

取得最小值的點，并把這一認識移到不同情況中加以應用，由此造成了解題失誤。

事實上，過原點作直線LO：3x+5y=0,由于使z=3x+5y>0的區域為直線L0的

右上方，而使z=3x+5y<。的區域為L0的

左下方。由圖知：z=3x+5y應在A點取得最大值，在C點取得最小值。

y=x+1

<

解方程組5一5丁=3,得c(-2,-Do

z最小=3X(-2)+5X(-1)=-11,

例題8已知正方形ABCD對角線AC所在直線方程為'=兀.拋物線內幻=/+"x+c過

B,D兩點

(1)若正方形中心M為(2,2)時，求點N(b,c)的軌跡方程。

(2)求證方程/(幻二X的兩實根再，X2滿足|當一￡1>2

解答：(1)設'(2+s,2—s),0(2-s,2+s),s*°

‘2+s=(2-Sy+〃(2-S)+c

<

因為B,D在拋物線上所以〔2-S=(2+S)2+b(2+S)+c兩式相減得

2s=-8s-2sb則》=-5代入⑴

得2+s=s--4s+4—10+5s4-c/.c=8―—<8

故點N(b，c)的方程x=-5(y<8)是一條射線。

(2)設B(t+s,，—s),D(t—s"+s)s*°

1+s=Q-s)2+bQ-s)+c(1)

V

同卜t—s=(?++s)+c(2)

b+1

t=------

(1)-(2)得2⑶

(1)+(2)得S~+('—1"+廠+c=°(4)

2

2b-1S+l)2n

(3)代入(4)消去f得24

得一4c>4又f(x)=x即x2+(b-1)x+c=0的兩根和々滿足

玉+/=1一。％?尤2=。

222

-x21=(Xj+x2)-4X]X2=(Z7-l)-4c>4

故I石-訃2。

易錯原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。

1,

r'pky——(x+l『+l

例題9已知雙曲線兩焦點‘2,其中的為4的焦點，兩點A卜3,2)B(l,2)

都在雙曲線上，(1)求點片的坐標；(2)求點亮的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；(3)若

直線>+/與F?的軌跡方程有且只有一個公共點，求實數t的取值范圍.

12

解答：(1)由'-4X++1得：(x+l)2=-4(y-1),故耳(TO)

(2)設點，(蒼>),則又雙曲線的定義得"A"一I福一明1-1%快°

乂\AF2\=\AFi\=2yf2

??.IAF21=|BF2\^\F2A\+\F2B\=\AFl\+\BFi\=4yf2

二點網的軌跡是以AB為焦點的橢圓

(x+1)2(y-2)2

--------1---------I

x+l=O除去點(T，°)，(T外或84除去點

(-1,0),(-1,4)圖略。

y=x+t

9+1)2(y-2)

1=1

o)聯列：18-------4消去y得

(x+1)~+2(x+1—2)~——8整理得3r+(4f—6)x+2廣—8/+1—0

當=0時得f=3±2百從圖可知：'€(—8,3—2百)53+2后+8),

又因為軌跡除去點(T，°)<T，4)所以當直線過點(一1，°)，61，4：時也只有一個交點，即

，=1或5

:.te<-oo,3-273)53+2百,+8)卬,5}

易錯原因：(1)非標準方程求焦點坐標時計算易錯；(2)求點’2的軌跡時易少一種情況;

(3)對有且僅有一個交點誤認為方程只有一解。

例題10已知圓+V=1,圓。2：V+V-10X+9=0都內切于動圓，試求動圓

圓心的軌跡方程。

錯解:圓。2：/+y2—m+9=°,即為--5)2+y2=i6

所以圓02的圓心為02(5,0)泮徑4=4,

而圓儲：v+9=1的圓心為a(0,0)泮徑6=1

設所求動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r

則7=|0附|+1且y。知1+4,所以|。四|一|。2M1=3

即Jx-+.2-J(x-5)-+y2=3,化簡得16x2-80x-9y2+64=0

3上1

94

即4為所求動圓圓心的軌跡方程。

剖析：上述解法將?am一102"￡看成n°陷I02Mli=3,誤認為動圓圓心的軌跡

為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。

事實上，II一|02M1=3表示動點M到定點01及。2的距離差為一常數3o

且|0。21=5>3,點M的軌跡為雙曲線右支，方程為4

*,3)

例題11點P與定點F(2,0)的距離和它到直線x=8的距離比是1:3,求動點P與定點4

距離的最值。

IP」J

錯解：設動點P(x,y)到直線x=8的距離為d,則d3'

■^(x—2)2+y2_1

即Ix-813

(x--)22

-----4----,-y-

")29

()

兩邊平方、整理得42=i(1)

(x--)2=(l--^2)x(-)2

由此式可得：494

222

\PPl\=(x-^)+(y-3)(1一■|y2)x(；)2+(y-3)

因為V4

1，~、21377

--(y+24)-+ir

所以IPR-x

剖析由上述解題過程知，動點P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質知，橢圓上點的橫縱坐標都是

—V2WyW—A/2

有限制的，上述錯解在于忽視了22這一取值范圍，由以上解題過程知,

16Pl的最值可由二次函數在區間上的單調性給予解決

《后時，IP斗2=3+1行

y

即：當

22

二-4?小〉。力＞0)七6

例題12已知雙曲線＞的離心率e=3,過點A(0~b)和B(a,0)

的直線與原點的距離為2，直線y=kx+m(ZNQ〃2H°)與該雙曲線交于不同兩點C、D,且

C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍。

2

b4

e2=1+

a

ab_G

7鵬+22解之得：/=3乃2=1

錯解由已知，有

2

“2_1

----y=1

所以雙曲線方程為3

把直線y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：O-^2)^2-(＞kmx-3m2-3=0

2

所以△m+1—3左2>0(1)

3kmm

%l-3k2，)>0

設CD中點為則AP’CD,且易知:1一342

m

r+]

k=1-3小1

”3kmI

所以\-3k2=>3k2=4m+1⑵

將(2)式代入⑴式得-4m>0解得m>4或加<°

故所求m的范圍是加(—8,0)U(4,+oo)

剖析上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關系，

k2_4m+1

將3代入⑴式時，m受k的制約。

11c

2m>———<m<0

因為左>°所以4故所求m的范圍應為m>4或4

V3n3

c——0,一

例題13橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率2，已知點「(2)到橢圓上

的點最遠距離是近，求這個橢圓的方程。

22

—v+4=1(。>b>Q)

錯解設所求橢圓方程為。b

J+—=1

于是橢圓方程為4〃b-

(0,43)

設橢圓上點M(x,y)到點P2的距離為d,

則J2=x2+(y-|)2=4^(l-^-)+/-3y+1=-3(y+1)2+4Z>2+3

所以當‘2時，有"2max=4〃+3=7,"=1

X22_1

---=1

所以所求橢圓方程為4

22

~T+^5"=1(。>人>°)h[

剖析由橢圓方程如夕得一勘

1

2y~—

由⑴式知d是y的二次函數，其對稱軸為2

上述錯解在于沒有就對稱軸在區間［一"，句內或外進行分類,

—3(yH—)2+46~+3

其正解應對f(y)="2的最值情況進行討論:

,1,1

-h<——h>—

(1)當2,即2時

1v-2

2

屋max=/(——)=4/+3,—+y=l

2=7=6=1,方程為4

--<-bb<-

(2)當2,即2時,

d~max=/(-匕)=7=>6=J722,與b2矛盾。

綜上所述，所求橢圓方程為4

例題15已知雙曲線2，問過點A(1,1)能否作直線/,使/與雙曲線交于P、Q

兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在,求出直線’的方程，若不存在，說明理由。

錯解設符合題意的直線/存在，并