專題2.5一元二次不等式的恒成立和有解問題題型一一元二次不等式在上恒成立題型二一元二次不等式在區間上恒成立題型三給定參數范圍求范圍的恒成立問題題型四一元二次不等式在區間上有解題型一 一元二次不等式在上恒成立1．已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是.【答案】【分析】不等式恒成立，分和兩類分析即可得出答案.【詳解】由題知，若，不等式為，符合題意；若，要使恒成立，則滿足，解得.綜上，的取值范圍是.故答案為：2．不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分類討論和兩種情況，結合一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】當時，原不等式為滿足解集為R；當時，根據題意得，且，解得．綜上，的取值范圍為．故選：B．3．若關于x的一元二次不等式對于一切實數x都成立，則實數k滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】只需要滿足條件即可.【詳解】由題意，整理可得，，解得.故選：C.4．若不等式對一切實數都成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】考慮和兩種情況，得到，解得答案.【詳解】當時，恒成立，滿足；當時，需滿足，解得.綜上所述：，故選：C5．實數a，b滿足．若不等式的解為一切實數是真命題，則實數c的取值范圍是．【答案】【分析】先求出的值，再轉化為對一切實數恒成立進行處理即可.【詳解】因為實數，滿足，所以，得，，因為不等式的解為一切實數為真命題，所以對一切實數恒成立，等價于對一切實數恒成立，所以△，解得，所以實數的取值范圍為．故答案為：6．在R上定義運算：，若不等式對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍為.【答案】【分析】根據定義可得不等式對任意實數x恒成立，再根據根的判別式即可得出答案.【詳解】由題意可得不等式對任意實數x恒成立，即不等式對任意實數x恒成立，即對任意實數x恒成立，所以，解得，所以實數a的取值范圍為.故答案為：.7．已知函數．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）函數類型不定，需對的系數分類討論，結合圖象即得答案.（2）對應函數類型不定，需對的系數分類討論，對應方程有根大小不定，需分類討論，結合圖象即得答案.【詳解】（1）由已知得，在R上恒成立.①當時，顯然不滿足題意.②當時，只需滿足，解得.綜上所述，實數的取值范圍為.（2）不等式，即為，即，可化為.①當，即時，，解集為；②當，即時，，解集為或;③當，即時，i當，即時，解集為；ii當，即時，解集為；iii當，即時，解集為.綜上所述：當時，解集為；當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.8．若命題“”為真命題，則實數a的取值范圍為.【答案】【分析】根據全稱命題的定義和性質結合不等式進行求解即可.【詳解】命題“”為真命題，則有判別式，解得.故答案為：.題型二 一元二次不等式在區間上恒成立9．若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形給定不等式，分離參數，利用均值不等式求出最小值作答.【詳解】，而當時，，當且僅當，即時取等號，則，所以m的取值范圍是.故選：C10．關于的不等式的解集是,則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根先將不等式,寫為,對整體換元,再進行全分離求最值,分新元是否為零,再用基本不等式即可得出結果.【詳解】解:由題知,關于的不等式的解集是,因為,不妨取,,即對于,即,當時,,當時,,當且僅當,即時取等,故,故,綜上:.故選:A11．若時，不等式恒成立，則實數的最小值為（

）A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值【答案】C【分析】時，不等式恒成立，即，令，求出函數的最大值即可得解.【詳解】解：時，不等式恒成立，即，令，故，所以，即實數的最小值為.故選：C.12．設函數.(1)當，且時，解關于x的不等式；(2)當，若“”是“”成立的充分條件，求實數a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由，得，從而有，再分，，討論求解；（2）由，得到，再根據是成立的充分條件，得到在上恒成立，，再分，和時討論求解.【詳解】（1）解：由函數，，則，得，.①當即，，，；②當，即，；③當即時，，或.綜上：①當時，不等式的解集為：R②當時，不等式的解集為：；③當時，不等式的解集為：或；（2）由函數，，則，得，因為是成立的充分條件，所以不等式在上恒成立，則在上恒成立，在上恒成立，，①當時，恒成立，②當時，在上恒成立，，；③當時，在上恒成立，，；綜上，實數a的取值范圍.13．已知函數.(1)若，求不等式的解集；(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍；【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1），分三種情況即，，解不等式即可.（2）對任意，恒成立，即對任意恒成立，令，只需的最大值小于等于0，分情況討論繼而得解.【詳解】（1），令，得；當，即時，不等式的解集為：，當，即時，不等式的解集為：，當，即時，不等式的解集為：，（2）對任意，恒成立，即對任意恒成立，令，當時，只需，解得當時，要使對任意恒成立，只需，顯然成立，所以成立，當時，對稱軸為，因為，所以在單調遞減，所以，所以，綜上：.14．設對恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，分（不滿足題意）和，解得，兩種情況解決即可.【詳解】令，若，則，于是，與題意矛盾，所以，此時，那么恒成立，代入，知，解得，所以，所以，當時，對恒成立，滿足題意，綜上可得，的最大值為，故選：C15．設不等式的解集為A，關于x的不等式（a為常數）的解集為B，若A?B，則a的取值范圍是.【答案】【分析】先求出集合，然后根據建立關系式，再求的取值范圍．【詳解】解：由題得.所以.令，拋物線的對稱軸方程為.若，則，解得，所以的取值范圍是．故答案為：．16．已知函數．(1)若的解集為，求的解析式；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由一元二次不等式的性質可得方程的兩根為，由韋達定理可得結果；（2）易得，即求出和的范圍，結合可得結果.【詳解】（1）的解集為的兩根為，；（2）時，不等式恒成立，所以所以所以的取值范圍是.題型三 給定參數范圍求范圍的恒成立問題17．已知對任意，恒成立，則實數x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】面對含參不等式，利用分離變量法，由于是已知取值范圍的，則單獨分離出來，整理成函數，再根據不等式恒成立，求函數的最小值，可得答案.【詳解】對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立，所以對任意，恒成立，所以對任意，，所以，解得，故實數x的取值范圍是．故選：D．18．已知時，不等式恒成立，則x的取值范圍為．【答案】【分析】由題意構造函數關于a的函數，則可得，從而可求出x的取值范圍.【詳解】由題意，因為當，不等式恒成立，可轉化為關于a的函數，則對任意恒成立，則滿足，解得，即x的取值范圍為．故答案為：19．設函數．(1)若對于，恒成立，求的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據已知可得對于恒成立，分離參數，構造函數，求解函數的最小值即可；（2）根據已知可得對于，恒成立，構造關于的函數，由即可求解的取值范圍.【詳解】（1）解：若對于，恒成立，即對于恒成立，即對于恒成立．令，，則，故，所以的取值范圍為．（2）解：對于，恒成立，即恒成立，故恒成立，令，則，解得，所以的取值范圍為．20．已知關于x的不等式．(1)當時，解關于x的不等式；(2)當時，不等式恒成立，求x的取值范圍．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）分三種情況討論即可得出結論；（2）換成關于的不等式，只需即可.（1）當時，不等式為，解得，不等式解集為：.當時，不等式等價于，因為，所以不等式解集為：；當時，，不等式解集為：.綜上：時，不等式解集為：；時，不等式解集為：；時，不等式解集為：.（2）不等式轉化為：，設，因為時，不等式恒成立，所以有，即，即.21．（1）已知，不等式的解集為(0，5)．①求的解析式；②若對于任意的x∈[－1，1]，不等式恒成立，求t的取值范圍．（2）若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根據一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關系，由韋達定理即可求解，由恒成立問題轉化為最值，根據二次函數的性質即可求解最值，（2）將其看作關于的一元一次不等式，轉化為關于的一元二次不等式即可求解.【詳解】解：(1)①，不等式的解集是(0，5)，即的解集是(0，5)，∴0和5是方程的兩個根，由根與系數的關系知，，∴，∴.②在[－1，1]上恒成立等價于恒成立，設，則其對稱軸為則在區間[－1，1]上為減函數，∴，∴，即.（2）因為不等式對滿足的所有都成立對恒成立，設???????，解得：∴的取值范圍為.22．已知函數．(1)若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍；(2)若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)結合已知條件，分類討論二次函數的對稱軸與區間的位置關系，并結合二次函數性質求最小值即可求解；(2)首先將一元二次不等式轉化成關于的一元一次不等式，然后利用一次函數性質求解即可.【詳解】（1）由于對于任意，恒成立，故．又函數的圖像的對稱軸方程為，且開口向上，當時，即時，在上單調遞增，故，求得無解；當時，即時，在上單調遞減，故，求得；當時，即時，由二次函數性質可知，恒成立.綜上所述，實數的取值范圍．（2）若對于任意，恒成立，等價于，∴，求得，即的范圍為．23．設函數．(1)若，解關于x的不等式．(2)若不等式對于實數時恒成立，求實數x的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對參數分類討論，結合二次函數的圖象可得解集；（2）原問題等價于函數在上恒成立，轉化為最值問題.【詳解】（1）不等式，即，當時，，當時，不等式可化為，而，解得，當時，不等式可化為，當，即時，，，當，即時，或，當，即時，或，所以，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為．．（2）不等式對于實數時恒成立，即，，顯然，函數在上遞增，從而得，即，解得，所以實數的取值范圍是.24．關于的不等式．(1)當m＞0時，求不等式的解集；(2)若對不等式恒成立，求實數x的取值范圍【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）移項后因式分解，討論與1的大小關系，即可寫出答案；（2）將不等式移項后，將看成自變量，即，則原不等式等價于，由一次函數的性質即可列出不等式組，即可解出答案.【詳解】（1）因為，所以，所以，又，所以，當，即時：不等式的解集為：或；當，即時：不等式的解集為：；當，即時：不等式的解集為：或；綜上所述：當時：不等式的解集為：或；當時：不等式的解集為：；當時：不等式的解集為：或；（2）記，則原不等式等價于對不等式恒成立，只需：，即解得：所以實數x的取值范圍是.題型四 一元二次不等式在區間上有解25．若關于x的不等式在區間內有解，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，由題意可得，從而可求出實數a的取值范圍【詳解】設，開口向上，對稱軸為直線，所以要使不等式在區間(2，5)內有解，只要即可，即，得，所以實數a的取值范圍為，故選：D26．關于的不等式在內有解，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據不等式有解可得當時，，結合二次函數的最值可求得結果.【詳解】在內有解，，其中；設，則當時，，，解得：，的取值范圍為.故答案為：.27．若，且關于x的不等式在R上有解，求實數a的取值范圍．【答案】【分析】根據二次不等式的解法即得；或參變分離，求函數的最值即得.【詳解】方法一（判別式法）關于x的不等式可變形為,由題可得，解得,又，所以實數a的取值范圍為；方法二（分離變量法）因為，所以關于x的不等式可變形為，因為，所以，解得，又，所以實數a的取值范圍為．28．若關于x的不等式在上有實數解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意轉化為不等式在上有實數解，結合函數的單調性，求得，即可求解.【詳解】由不等式在上有實數解，等價于不等式在上有實數解，因為函數在上單調遞減，在單調遞增，又由，所以，所以，即實數的取值范圍是.故選：A.29．設，若關于的不等式在上有解，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據不等式等價變形，轉化為對勾函數在上的最值，即可求解.【詳解】由在上有解，得在上有解，則，由于，而在單調遞增，故當時，取最大值為，故，故選：C30．若關于x的不等式x2＋mx－2＞0在區間[1，2]上有解，則實數m的取值范圍為.【答案】．【分析】由題設命題的否定，原不等式在上無解求得的范圍后，再求其在實數集中的補集即得．【詳解】原不等式在R上有解，它的否定是不等式在上無解，則，解得，因此不等式x2＋mx－2＞0在