專題3.1函數的概念及其表示、分段函數知識點1函數的概念1．函數的定義設是非空的實數集,如果對于集合中的任意一個數,按照某種確定的對應關系,在集合中都有唯一確定的數和它對應,那么就稱為從集合到集合的一個函數,記作.2．函數的定義域與值域函數中,叫做自變量,x的取值范圍叫做函數的定義域,與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合叫做函數的值域．顯然,值域是集合的子集．3．對應關系除解析式、圖象表格外,還有其他表示對應關系的方法,引進符號統一表示對應關系．注意：（1）當為非空數集時,符號“”表示到的一個函數．（2）集合中的數具有任意性,集合中的數具有唯一性．（3）符號“”它表示對應關系,在不同的函數中的具體含義不一樣．知識點2同一個函數1．函數三要素由函數的定義可知,一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域．2．相同函數值域是由定義域和對應關系決定的,如果兩個函數的定義域和對應關系相同,我們就稱這兩個函數是同一函數．兩個函數如果僅對應關系相同,但定義域不同,則它們不是相同的函數．知識點3區間1．區間的概念(為實數,且)定義名稱符號數軸表示閉區間開區間半閉半開區間半開半閉區間2．其他區間的表示定義符號知識點4常見函數的定義域和值域函數函數關系式定義域值域正比例函數反比例函數一次函數二次函數重難點1求函數的定義域及區間的表示1．已知區間，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由區間的定義列式即可求得結果.【詳解】由題意可知，，解得.故選：A.2．函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據函數定義域的定義，結合二次根式的定義以及分母的性質，建立不等式組，可得答案.【詳解】由題意可得：，解得.故選：D.3．函數中，自變量x的取值范圍是．【答案】且【分析】根據分母不等于零，開偶數次方根號里的數大于等于零即可得解.【詳解】由題意，，解得且，所以自變量x的取值范圍是且.故答案為：且.4．函數的定義域為.【答案】【分析】根據函數定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，，解得，所以的定義域是.故答案為：5．函數的定義域為.【答案】【分析】根據偶次根式有意義及分母不為零計算求解即可.【詳解】因為函數，滿足，即，函數的定義域為.故答案為：.6．把下列數集用區間表示．(1)；(2)；(3)；(4)或．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】由區間的概念求解即可.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）或.7．求下列函數的定義域：(1)(2)；(3)(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)且，(5)【分析】（1）由被開方數非負，列不等式組求解即可，（2）由分母不為零可求得結果，（3）由被開方數非負，且分母不為零可求得結果，（4）由底數不為零，且分母不為零可求得結果，（5）由被開方數非負，可求得答案.【詳解】（1）要使函數式有意義，則，解得，從而函數的定義域為．（2）因為當，即時，有意義，所以函數的定義域是，即．（3）要使函數有意義，則且，解得且，所以函數的定義域為．（4）要使函數有意義，則且，即且，所以函數的定義域是且，（5）要使函數有意義，則，解得，則函數的定義域是．重難點2同一函數的判斷8．下列選項中表示同一函數的是（）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】根據定義域，值域以及函數表達式是否相同，即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，因為定義域為，而的定義域為，所以兩函數的定義域不同，故不能表示同一函數；對于B，因為定義域為，而的定義域為，所以兩函數的定義域不同，故不能表示同一函數；對于C，易知函數和的定義域為，值域為，且所以是同一函數．對于D，易知函數和的定義域為，而的值域為，的值域為，兩函數值域不同，故不能表示同一函數.故選：C．9．下列與函數是同一個函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定義域相同且對應關系相同，則兩個函數相同，進而得到答案.【詳解】函數定義域為R.對A，函數定義域為，故錯誤；對B，函數定義域為，故錯誤；對C，函數定義域為R，函數為，對應關系不同，故錯誤；對D，函數定義域為R，函數可化簡為，故正確.故選：D.10．各組函數是相等函數的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據若兩函數的定義域相同，對應關系相同，則這兩函數為同一個函數逐個分析判斷即可【詳解】對于A，因為的定義域為，的定義域為，所以兩函數的定義域不相等，所以這兩函數不是相等函數，所以A錯誤，對于B，，的定義域都為，因為，所以兩函數不是相等函數，所以B錯誤，對于C，，的定義域都為，因為，所以這兩個函數不是相等函數，所以C錯誤，對于D，因為的定義域都為，且對應關系相同，所以是相等函數，所以D正確，故選：D11．下列四組函數中表示同一個函數的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】依次判斷各選項中的函數定義域和對應關系是否都相同即可.【詳解】對于A，，，與對應關系不同，與不是同一函數，A錯誤；對于B，與的對應關系不同，與不是同一函數，B錯誤；對于C，與的定義域均為，對應關系相同，與是同一函數，C正確；對于D，由得：，即的定義域為，又的定義域為，與定義域不同，與不是同一函數，D錯誤.故選：C.12．（多選）下列各組函數表示的是不同函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【分析】利用相同函數的定義求解.【詳解】A.的定義域為，且，的定義域為，解析式不同，所以不是同一函數，故錯誤；B.的定義域為R，定義域為R，且解析式相同，所以是同一函數，故正確；C.的定義域為R，的定義域為，所以不是同一函數，故錯誤；D.，由得，所以的定義域為，由，得或，所以函數的定義域為或，所以不是同一函數，故錯誤；故選：ACD13．下列各對函數中是同一個函數的是(填序號)．①與；②與；③與；④與.【答案】②④【分析】根據函數定義的三要素即可判斷.【詳解】①函數，函數的定義域為，兩個函數的定義域不相同，不是同一個函數；②與的定義域和對應關系相同，是同一個函數；③與的對應關系不相同，不是同一個函數；④與的定義域和對應關系相同，是同一個函數．故答案為：②④重難點3求值域14．（多選）下列函數中，值域為的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據函數直接分析值域即可.【詳解】對于A，的值域為，故A錯誤；對于B，的值域為，故B正確；對于C，的值域為，故C錯誤；對于D，定義域，即，則值域為，故D正確.故選：BD15．函數的最大值與最小值分別為M和m，則的值為．【答案】2【分析】先求出函數的定義域，從而求出的取值范圍，從而求出，進而即可得到答案．【詳解】依題意可得函數的定義域為，即，則，所以，所以，，即．故答案為：2．16．求下列函數的值域.(1)；(2)，.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分離常數的方法確定的值域；（2）判斷出在上的單調性，從而求出值域.【詳解】（1）函數的定義域為，的值域為.（2）,則的對稱軸是，在上單調遞減，在單調遞增，故；，的值域為.17．求下列函數的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由可推導得到函數值域；（2）將的取值代入解析式即可求得結果；（3）采用分離常數法可求得函數值域；（4）采用換元法，將問題轉化為關于的二次函數的值域求解問題.【詳解】（1），，即，的值域為.（2）當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；，的值域為.（3），，，的值域為.（4）令，則且，，則當時，，的值域為.18．求下列函數的值域．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）采用分離常數法可知即可得其值域為；（2）利用換元法，將原函數表示為，根據二次函數單調性可求得結果；（3）求得函數定義域為，求出二次函數最值即可求得其值域.【詳解】（1）由于，且；所以可得，因此函數的值域是．（2）令，所以，即，當時，，即函數的值域為.（3）易知需滿足，即，即函數定義域為；，由二次函數性質可得，所以的值域為．19．求下列函數的值域.(1);(2);(3)，(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）用換元法轉化為二次函數在給定區間的值域問題求解；（2）用分離常數法求解；（3）根據二次函數的性質求解；（4）利用基本不等式求解．【詳解】（1）設，則，所以，根據二次函數的圖象和性質，函數的值域為.（2）函數的定義域為，，所以函數的值域為.（3）因為函數圖象的對稱軸為，所以函數在單調遞減，單調遞增，所以函數的值域為.（4），，當時，，當且僅當時等號成立；當時，，當且僅當時等號成立.故函數值域為.重難點4求抽象函數的定義域20．已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函數的定義域求出的定義域，再由可得答案.【詳解】因為函數的定義域為，所以滿足，即，又函數有意義，得，解得，所以函數的定義域為.故選：C21．若函數的定義域是，則函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函數的定義域為求出的定義域，再由可得答案.【詳解】函數的定義域是滿足，即，又分母不為0，則，所以函數的定義域為：故選：C.22．若函數的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意先求得函數的定義域為，然后結合抽象函數定義域與求解即可；【詳解】由題意可知，所以，要使函數有意義，則解得.故選：D23．已知函數的定義域是，則函數的定義域是．【答案】【分析】利用函數的定義，結合復合函數定義域求法即得.【詳解】因為函數的定義域為，所以，則，所以函數的定義域為，故答案為：.24．函數的定義域為，則的定義域為.【答案】【分析】利用抽象函數的定義域可得出關于的不等式組，即可求得函數的定義域.【詳解】因為函數的定義域為，對于函數，則有，解得.因此，函數的定義域為.故答案為：25．已知函數的定義域為，則的定義域為.【答案】【分析】先由題意求出函數的定義域為，再由求解，即可得出結果.【詳解】因為函數的定義域為，所以；即函數的定義域為；由解得，因此的定義域為.故答案為：重難點5根據函數的值域求定義域26．若函數的值域是，則此函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論解不等式即可.【詳解】由函數的值域是，所以當時，，當時，即，解得，所以函數的定義域為：，故選：D27．（多選）已知函數的值域是，則其定義域可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】分別令，，解方程解得，設定義域為，根據圖象得到或，然后判斷即可.【詳解】令，解得，令，解得或-2，可作出函數圖象如圖：設定義域為，所以或，故AD正確，BC錯.故選：AD.28．（多選）若函數在定義域上的值域為，則區間可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據二次函數單調性，以及值域，結合其函數特點，即可容易求得結果.【詳解】∵函數的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，故，又，故要定義域上的值域為，滿足題意的選項是：BC.故選：BC.29．（多選）定義，若函數，且在區間上的值域為，則區間長度可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】作出函數的圖象，求出的最大值和最小值，即可得解.【詳解】，當時，若，即，解得或；當時，若，即，解得或，此時.所以，，作出函數的圖象如下圖所示：因為函數在區間上的值域為，則當時，區間的長度取最小值；當時，區間的長度取最大值.所以，區間的長度的取值范圍是.故選：BC.30．已知函數的值域為，則函數的定義域為.【答案】【分析】根據題意，列出不等式求解，即可得到結果.【詳解】由函數的值域為，可知，解得，因此函數的定義域為.故答案為：31．為不超過的最大整數，若函數，，的值域為，則的最大值為．【答案】4【分析】根據的定義，函數的定義域和值域分析求解【詳解】因為函數，，的值域為，所以最大取到3，最小取到，所以的最大值為，故答案為：432．已知一個函數的解析式為y＝x2，它的值域為{1,4}，這樣的函數有個.【答案】9【分析】根據解析式、值域判斷定義域的可能種數，由不同定義域與值域的映射關系確定函數的個數.【詳解】由函數的解析式為y＝x2，值域為{1,4}，∴函數的定義域可以為{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9種可能，∴這樣的函數共9個.故答案為：9.知識點5函數的表示法函數的表示法解析法用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應關系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應關系注意：列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數值的對應關系，同一個函數可以用不同的方法表示．知識點6分段函數1．分段函數就是在函數定義域內，對于自變量的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數．2．分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集．注意：(1)分段函數雖然由幾部分構成，但它仍是一個函數而不是幾個函數．（2）分段函數的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如，其“段”是不等長的．（3）分段函數的圖象要分段來畫．重難點6函數的表示法33．已知函數，如下表所示：x011x0111則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據表格求解即可.【詳解】由題意，當時，，當時，，當時，，故不等式的解集為．故選：D34．下表表示y是x的函數，則函數的值域是（）xy2345A．[2，5] B．{2，3，4，5}C．(0，20] D．N＋【答案】B【分析】由題意結合所給函數的列表確定函數的值域即可.【詳解】由題中列表表示的函數可知函數的值域為.故選：B.35．函數與的對應關系如下表133123則的值為（

）A．0 B．3 C．1 D．－1【答案】A【詳解】由列表法表示的函數可知，，則的值為036．如下圖所示是某購物中心食品柜在4月份的營業情況統計圖象，根據圖象回答下列問題：

（1）在這個月中，日最低營業額是在4月日，到達萬元．（2）在這個月中，日最高營業額是在4月日，到達萬元．（3）這個月從日到日營業額情況較好，呈逐步上升趨勢．【答案】92216921【分析】根據4月份的營業情況統計圖象結合對應關系即可求解.【詳解】（1）由4月份的營業情況統計圖象得：當日期在9日時，日營業額最小，此時為2萬元；（2）由4月份的營業情況統計圖象得：當日期在21日時，日營業額最大，此時為6萬元；（3）由4月份的營業情況統計圖象得：從9日到21日營業額情況較好，呈逐步上升趨勢.故答案為：9；2；21；6；9；2137．下圖是某校高一(1)班三名同學在高一學年度六次數學測試的成績及班級平均分表．

(1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關系；(2)根據表示出來的函數關系對這三位同學的學習情況進行分析．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）以測試序號為橫坐標，成績為縱坐標描點即可的函數圖象；（2）根據各人成績與平均成績比較分析即可.【詳解】（1）不宜用解析法表示，用圖象法表示為宜．在同一個坐標系內畫出這四個函數的圖象如下：

（2）王偉同學的數學成績始終高于班級平均水平，學習情況比較穩定而且成績優秀．張城同學的數學成績不穩定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大．趙磊同學的數學成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數學成績在穩步提高．38．下圖所示為某市一天24小時內的氣溫變化圖，根據圖象回答下列問題.

(1)全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少？(2)大約在什么時刻，氣溫為？(3)大約在什么時刻內，氣溫在以上？(4)變量Q是關于變量t的函數嗎？【答案】(1)最高氣溫大約是，最低氣溫大約是(2)在0時、8時和22時(3)在8時到22時之間(4)Q是t的函數【分析】（1）（2）（3）認真觀察函數的圖像，根據時間與溫度的關系解答，（4）根據函數的定義可判斷.【詳解】（1）觀察圖像可知：全天最高氣溫大約是，在14時達到.全天最低氣溫大約是.（2）觀察圖像可知：大約在0時、8時和22時，氣溫為.（3）觀察圖像可知：在8時到22時之間，氣溫在以上.（4）根據函數定義，由圖像可知對于時間t的每個取值，都有唯一的氣溫Q與之對應，所以氣溫Q是時間t的函數.重難點7函數解析式的求法39．已知二次函數滿足，且的最大值是8，則此二次函數的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據條件設二次函數為，代入條件求解即可.【詳解】根據題意，由得:圖象的對稱軸為直線，設二次函數為，因的最大值是8，所以，當時，，即二次函數，由得:，解得：，則二次函數，故選：A.40．若二次函數滿足，且，則的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，，根據得到，再根據得到，，從而得到函數的解析式.【詳解】設，，∵，則，又∵，令，則，∴，即，，令，則，，即，，∴，，.故選：D.41．（多選）設函數為一次函數，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設，代入，通過對比系數列方程組，求得，進而求得.【詳解】設，由于，所以，所以，解得或，所以或.故選：AD42．（1）已知為二次函數，且，則．（2）已知，則．【答案】【分析】（1）設，由已知等式可構造方程組求得的值，進而得到；（2）采用換元法，設，可求得，進而得到.【詳解】（1）設，，，解得：，；（2）令，則，，，.故答案為：；.43．求下列函數的解析式(1)；(2)是一次函數，且滿足【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用換元法可得答案；（2）設代入，根據多項式相等可得答案.【詳解】（1）令，則，所以，可得；（2）設，所以，可得，解得或，所以或.44．已知，求函數的解析式．【答案】【分析】通過構造方程組的方法來求得的解析式.【詳解】①，以替換，得②，得：，所以.重難點8分段函數求值或值域45．著名的狄利克雷函數，則A．0 B．1C． D．【答案】B【分析】根據狄利克雷函數的定義求解.【詳解】；故選：B.46．已知函數，則.【答案】【分析】由自變量的值大于0還是小于0選取不同的表達式計算.【詳解】.故答案為：．47．已知函數，設，，則與的大小關系是．【答案】/【分析】根據分段函數解析求出與的值，即可判斷.【詳解】因為，所以，，所以.故答案為：48．(1)已知函數，則函數的定義域為，值域為．(2)若定義運算，則函數的值域是．【答案】【分析】（1）由分段函數解析式可知定義域為，由二次函數性質計算可得值域為；（2）根據函數定義寫出解析式，畫出函數圖象即可求得值域.【詳解】（1）由已知得，的定義域為，又當時，；當時，；故函數的值域為.（2）根據題意可知，當時，即時，；當時，；即可得，畫函數的圖象如圖所示：

得其值域是.故答案為：，，49．已知函數，關于函數有以下四個結論：①的定義域為；②的值域為；③若，則的值是；④的解集為.其中所有正確結論的序號是.【答案】②③【分析】根據函數解析式畫出函數圖象，即可判斷①②，再結合函數解析式分類討論分別計算③④；【詳解】解：因為，函數圖象如下所示：顯然函數的定義域為，故①錯誤；又，所以函數的值域為，故②正確；當時，解得或（舍去），當時，解得（舍去），即若，則，故③正確；當時，解得，當時，解得，綜上的解集為，故④錯誤；故答案為：②③50．已知函數.若，求實數等于；函數在區間上值域.【答案】或【分析】根據分段函數解析式分類討論分別求出的值，畫出在區間的圖象，即可得到函數在區間上的值域.【詳解】因為且，當時，，解得或（舍）；當時，，解得，由上知：或.函數在區間圖象如下圖所示：

，，，由圖象可知函數在區間的值域為.故答案為：或，；重難點9已知分段函數的值求參數或自變量51．已知函數，若，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】先令，解得，再令，求出.【詳解】當時，，解得，負值舍去，當時，，解得，不合要求，舍去，令，當時，，解得，負值舍去，當時，，解得，不合要求，舍去，綜上：.故選：A52．已知函數若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】先求出在各段上的值域，根據求得的值，進一步求得.【詳解】當時，的值域為，當時，的值域為；當時，的值域為.要使，則，所以，解得.故選：D.53．(多選)設函數，若，則（

）A． B．3C． D．1【答案】CD【分析】根據分段函數解析式，對進行分類討論計算即可求得結果.【詳解】因為，又所以；(1)當時，，解得.(2)當時，，所以；綜上可知或.故選：CD54．設，若，則x的值為．【答案】【分析】根據分段函數的定義域，分求解.【詳解】若，則無解；若，則，所以x＝.若，則無解．綜上：.故答案為：55．已知函數(1)若，求實數的值；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由分段函數，分別和解即可.（2）由分段函數，分別和解即可.【詳解】（1）當時，，解得或（舍去）；當時，，解得.所以的值為或（2）當時，，不符合題意，，且，解得.所以的取值集合是.56．已知函數，若，求的值．【答案】或【分析】根據分段函數的解析式，結合分段條件，分類討論，即可求解.【詳解】當時，令，可得，符合題意；當時，令，可得，符合題意；當時，令，可得，不符合題意；綜上可知，或.故答案為：或.重難點10分段函數不等式57．設，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分別在和的情況下解一元二次不等式即可.【詳解】當時，由得：，解得：或，；當時，由得：，解得：，；不等式的解集是.故選：A.58．設函數,若，則的取值范圍是.【答案】【分析】分段討論求出和的解析式，代入可求出結果.【詳解】（i）當，即時，，，由得，即，因為，所以恒成立，所以；（ii）當，即時，，，由得，即，即恒成立，所以；（iii）當，即時，，，由得，即，所以，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：59．已知，滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據自變量的范圍，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.【詳解】若，則，故，由可得，當，則，故，由可得，當時，則不符合要求，綜上可知：的取值范圍為故答案為：60．已知函數則使成立的的值組成的集合為.【答案】【分析】分段函數分段解一元二次不等式即可得解集.【詳解】由題意可得或由解得；由解得.綜上所述，使成立的的值組成的集合為.故答案為：.61．已知函數，則不等式的解集是．【答案】【分析】分和，利用分段函數求解.【詳解】當時，由－x，解得x，當時，由2x－1，解得x，綜上不等式的解為x或x.所以.故答案為：62．已知函數f（x）＝若f（a）＝4，則實數a的值是；若，則實數a的取值范圍是．【答案】－2或5【分析】由分段函數函數值求解參數及分類討論解不等式即可；【詳解】若f（a）＝4，則或解得或.若，則或解得或，∴a的取值范圍是．故答案為：－2或5；重難點11根據分段函數的值域求參數63．已知函數的最小值是－1，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據端點處的函數值，然后討論以及，即可得出實數a的取值范圍.【詳解】由已知可得顯然在上單調遞減，在上