平行四邊形判定定理的簡單應用

為了測量一個池塘的寬BC,在池塘一側的平地上選一點A,再分別找出線段AB,AC的中點D,E,若測出DE的長,就能求出池塘的寬BC,你知道為什么嗎?今天這堂課我們就來探究其中的學問.觀察思考

如圖,D,E分別是AB,AC的中點,連接DE,像DE這樣,連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.學習新知∵D,E分別為AB,AC的中點,

∴DE為△ABC的中位線.三角形有幾條中位線?你能畫出來嗎?三角形中有三條中位線∵DE為△ABC的中位線,

∴D,E分別為AB,AC的中點.說出三角形的中位線與中線有何相同點和不同點.相同之處:都是和邊的中點有關的線段.不同之處:三角形中位線的兩個端點都是邊的中

點;三角形中線只有一個端點是邊的中

點,另一端點是三角形的頂點.思考探索:如圖,三角形的中位線DE與BC有什么樣的關系?為什么?猜想：DE∥BC

2DE=BC你能證明以上猜想嗎？思考已知:如圖,點D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點.求證:DE∥BC且DE=BC.

〔解析〕所證明的結論既有位置關系,又有數量關系,聯想已學過的知識,可以把要證明的內容轉化到一個平行四邊形中,利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質來證明結論成立,從而使問題得到解決,這就需要添加適當的輔助線來構造平行四邊形.如圖,延長DE到F,使EF=DE,連接CF,由題意易得△ADE≌△CFE,從而可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DF∥BC,DF=BC,由作圖知2DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.方法二：

如圖,延長DE到F,使EF=DE,連接CF,CD和AF,因為AE=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形.所以AD∥FC,且AD=FC.因為AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DF∥BC,且DF=BC,因為2DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.方法三：

如圖,過E點作AB的平行線交BC于N,交過A點與BC平行的直線于M,由題意及作圖易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因為AM∥BC,AB∥MN,所以四邊形AMNB是平行四邊形,所以AB=MN,AM=BN.又因為2BD=AB,2EN=MN,所以BD=EN,所以四邊形BDEN是平行四邊形,則DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即2DE=BC.方法四：

如圖,過A,B,C三點分別作DE的垂線,分別交直線DE于點P,M,N.因為AP,BM,CN都垂直于DE,所以AP∥BM∥CN.可證明△APE≌△CNE,則AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM，則AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,2DE=MN,所以四邊形BMNC是平行四邊形,所以DE∥BC,2DE=MN=BC.小結

三角形中位線的性質:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.

∵D,E分別是AB,AC的中點,∴DE∥BC,DE=BC.知識拓展(1)三角形的中位線所構成的三角形的周長是

原三角形周長的一半.(2)三角形三條中位線可以把三角形分成三個

平行四邊形,分成的四個三角形全等.(3)三角形三條中位線所構成的三角形的面積

等于原三角形面積的四分之一.

例：

如圖,△ABC的中位線DE=5cm,把△ABC沿DE折疊,使點A落在邊BC上的點F處,若A,F兩點間的距離是8cm,求△ABC的面積.解:連接AF,如圖所示.∵DE是△ABC的中位線,∴BC=2DE=10cm,DE∥BC.由折疊可知AF⊥DE,∴AF⊥BC,∴AF是△ABC的邊BC上的高.∵AF=8cm,∴S△ABC=BC·AF=×10×8=40(cm2).

[歸納拓展]

本題還可以這樣解:△ABC的面積是四邊形ADFE面積的2倍,而四邊形ADFE的對角線互相垂直,因此它的面積等于對角線乘積的一半,所以△ABC的面積等于AF·DE.

例：

如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.求證四邊形EFGH是平行四邊形.

〔解析〕因為已知點E,F,G,H分別是線段的中點,所以可以設法應用三角形中位線性質找到四邊形EFGH的邊之間的關系.由于四邊形的一條對角線可以把四邊形分成兩個三角形,所以考慮添加輔助線,連接AC或BD,構造含有三角形中位線的基本圖形后,此題便可得證.證明:連接AC,如圖所示.在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位線性質).同理可得EF∥AC,EF=AC.

∴HG∥EF,且HG=EF.∴四邊形EFGH是平行四邊形.[歸納總結]順次連接四邊形四條邊的中點,所得的四邊

形是平行四邊形.課堂小結

三角形的中位線的定義:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.兩層含義:如圖,①∵D,E分別為AB,AC的中點,

∴DE為△ABC的中位線;②∵DE為△ABC的中位線,

∴D,E分別為AB,AC的中點.

三角形中位線的性質:

三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.

特點:在一個題設下,有兩個結論.一個表示位置關系,另一個表示數量關系.

結論:有兩個,一個表明中位線與第三邊的位置關系,另一個表明中位線與第三邊的數量關系.

三角形中位線的性質:三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.∵D,E分別是AB,AC的中點,∴DE∥BC,DE=BC.

作用:在已知兩邊中點的條件下,證明線段的平行關系及線段的倍分關系.檢測反饋1.如圖,A,B兩點被池塘隔開,在AB外選一點C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點M,N,如果測得MN=20m,那么A,B兩點間的距離是

m,理由是

.解析:因為M,N分別是AC和BC的中點,所以2MN=AB,所以AB=2MN=40m.理由是:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.40

三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,點D,E,F分別是△ABC三邊的中點,則△DEF的周長是

,面積是

.

解析:△DEF的三條邊分別是Rt△ABC的三條中位線,所以△DEF的三條邊長分別是Rt△ABC的三邊長的一半,所以△DEF的周長是Rt△ABC的周長的一半,△ABC的周長是24,則△DEF的周長是12.三角形的三條中位線在三角形中可以構成三個平行四邊形和四個全等的三角形,所以△DEF的面積是Rt△ABC的面積的四分之一,△ABC的面積=8×6=24,因此△DEF的面積為6.12

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