專題10相似三角形中的“8”字型相似模型【模型展示】特點結論AB∥CD?△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).【模型證明】解決方案∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).【題型演練】一、單選題1．如圖，正方形的對角線、相交于點，是的中點，交于點，若，則等于A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】因為四邊形ABCD是正方形，E是BC中點，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根據相似三角形的對應邊成比例可得出．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點，

∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴∴解得DF=8，故選：D．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質及正方形的性質，先根據題意判斷出△CEF∽△ADF，再根據相似三角形的對應邊成比例進行解答是解答此題的關鍵．2．如圖，在△ABC中，BC＝6，，動點P在射線EF上，BP交CE于點D，∠CBP的平分線交CE于點Q，當CQ＝CE時，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G．首先證明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解決問題．【詳解】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G．∵，∴EG∥BC，

∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、角平分線的性質、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質及定理是解題的關鍵．4．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE平分∠DCB交BD于點F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE，下列結論：①∠ACD＝30°；②S平行四邊形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正確的有（）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到S?ABCD=AC?BC，故②正確；根據直角三角形的性質得到AC=BC，根據三角形的中位線的性質得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③錯誤；

由三角形的中位線可得BC∥OE，可判斷△OEF∽△BCF，根據相似三角形的性質得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于點E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等邊三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；∵AC⊥BC，∴S?ABCD=AC?BC，故②正確，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=：6；故③錯誤；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2∴S△OCF：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正確．故選C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線、相似三角形的性質，熟練掌握并靈活運用是解題的關鍵．

5．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據相似三角形的性質和AE＝2ED即可得結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質進行解題．6．如圖，在?ABCD中，E為CD的中點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，則：為（

）

A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根據平行四邊形對邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設，，再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據平行四邊形的性質可得，然后相比計算即可得解．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD∵E為CD的中點，∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽，：：：4，EF:AF=1:2設，則，：：2，：：：2，，，是平行四邊形ABCD的對角線，，，：：：5．故選A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定以及相似

三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應用．7．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據相似三角形的性質得，然后根據三角形面積公式得，，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過點F作FH⊥AD于點H，FG⊥BC于點G，則，

∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，屬于同步基礎題．8．如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例和相似三角形的性質與判定，進行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，

∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定的應用，能根據定理得出比例式是解此題的關鍵．二、填空題9．如圖，G為ABC的重心，AG=12，則AD=__________．【答案】18

【分析】連接CG并延長交AB于點E，連接DE，根據題意，可以得到DE時△ABC的中位線，從而可以得到DE∥AC且DE=AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性質得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到結果．【詳解】解：如圖，連接CG并延長交AB于點E，連接DE，∵點G是△ABC的重心，∴點E和點D分別是AB和BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC且DE=AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∵AG=12，∴DG=6，∴AD=AG+GD=18．故答案為：18．【點睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．10．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．【答案】2

【分析】延長CF、BA交于M，根據已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據平行四邊形的性質得出DC∥AB，DC＝AB，根據全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據全等三角形的性質得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據相似三角形的性質得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，

解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．11．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點G，與BC的延長線交于點F．設λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為________；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為_______．【答案】

【分析】（1）根據AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的長，然后根據正方形的性質，可以得到AE的長，再根據平行線的性質和角平分線的性質，可以得到EF的長，從而可以得到線段CF的長；（2）證明△ADG≌△FGC，得出點G為CD邊的中點，根據三角形相似，可以得到CE和EB的比值，從而可以得到λ的值．【詳解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，點E為BC的中點，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；

故答案為：﹣1；（2）證明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，設CD＝2a，則CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，FC＝2a，∴，∴，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝；故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，熟練運用相關性質進行推理解答．12．如圖，在中，，，點是的中點，連結，過點作，分別交、于點、，與過點且垂直于的直線相交于點，連結．給出以下五個結論：

①；②；③點是的中點；④；⑤．其中正確結論的序號是________．【答案】①②④【分析】根據題意證明，進而可確定①；由，可得由，進而判斷結論②，可得，進而由可得，即可判斷③，根據，以及是的中點即可判斷⑤．【詳解】依題意得，，，，，，又，，故①正確；如圖，標記如下角，，，，

，在與中，（ASA），，又點是的中點，，，，，，，，在與中，（SAS），，，，，即，故②正確；，，是直角三角形，，

，即點不是線段的中點，故③不正確；是等腰直角三角形，，，，，，，，故④正確；，，點是的中點，，，即，故⑤錯誤．綜上所述，①②④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，三角形中線的性質，證明和是解題的關鍵．13．如圖，在正方形中，點為邊上一點，且，點為對角線上一點，且，連接交于點，過點作于點，若，則正方形的邊長為_______cm．

【答案】【分析】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，得到設求出FE，AH，AG，證明得到最后求值即可．【詳解】如圖，過F作于I點，連接FE和FA，，四邊形為正方形，為BC的三等分點，為BC的三等分點，設為等腰直角三角形，

為AE的中點，四邊形ABCD為正方形，故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是CE=2BE，BF=2DF的利用以及這些性質的熟記．三、解答題14．如圖，為平行四邊形的邊延長線上的一點，連接．交于，交于．求證：．

【答案】見解析．【分析】根據AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根據相似三角形對應變成比例即可．【詳解】證明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴∴，即．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練應用相似三角形的性質與判定，找到兩組對應邊的比例相等是解決本題的關鍵．15．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；

（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據平行線的性質得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質即可得到結論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．

【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質．16．如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（不與C，D兩點重合），連接BE，過點C作CH⊥BE于點F，交對角線BD于點G，交AD邊于點H，連接GE．（1）求證：CH＝BE；（2）如圖2，若點E是CD的中點，當BE＝12時，求線段GE的長；（3）設正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，點E將CD分成1∶2兩部分，求的值．【答案】（1）見解析（2）4（3）5或8．【分析】（1）可得∠CHD＝∠BEC，根據AAS可證明△DHC≌△CEB，即可求解；（2）由三角形全等與平行線的性質，可得．則GC＝2GH，可求出GH的長，故可得到GE的長；（3）點E將CD分成1∶2兩部分得到①，②，再分別得到S1和S2的關系進行求解．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC＋∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，

∴∠ECF＋∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS），∴CH＝BE；（2）∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DHBC，∴，∴GC＝2GH，設GH＝x，則，則CG＝2x，∴3x＝12，∴x＝4．即GH＝4∵DH=DE，∠HDG=∠EDG=45°，DG=DG∴△HDG≌△EDG（SAS）∴GE=GH=4；（3）點E將CD分成1∶2兩部分則①，②當時，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DHBC，∴，

∴，，設S△DGH＝a，則S△BCG＝9a，S△DCG＝3a，∴S△BCD＝9a＋3a＝12a，∴S1＝2S△BCD＝24a，∵S△DEG：S△CEG＝2：1，∴S△DEG＝2a，∴S2＝2a＋a＝3a．∴S1：S2＝24a：3a＝8．當時，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DHBC，∴，∴，，設S△DGH＝4a，則S△BCG＝9a，S△DCG＝6a，∴S△BCD＝9a＋6a＝15a，∴S1＝2S△BCD＝30a，∵S△DEG：S△CEG＝1：2，∴S△DEG＝2a，∴S2＝2a＋4a＝6a．∴S1：S2＝30a：6a＝5．故S1：S2＝5或8．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用參數解決問題．17．如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點，連接，若的延長線和的延長線相交于點F．

（1）求證：；（2）連接和相交于點為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）根據E是邊DC的中點，可以得到，再根據四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據，即可得到，則答案可證；（2）先證明，根據相似三角形的性質得出，，進而得出，由得，則答案可解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∵點E為DC的中點，∴，在和中∴，∴，∴；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴，，∴，，∴，

∵的面積為2，∴，即，∵∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．18．綜合與實踐：數學活動課上，老師讓同學們根據下面情境提出問題并解答．問題情境：在中，點P是邊上一點．將沿直線折疊，點D的對應點為E．“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點P與點A重合，過點E作，與交于點F，連接，則四邊形是菱形．(1)數學思考：請你證明“興趣小組”提出的問題；(2)拓展探究：“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當點P為的中點時，延長交于點F，連接．試判斷與的位置關系，并說明理由．請你幫助他們解決此問題．(3)問題解決：“創新小組”在前兩個小組的啟發下，提出的問題是：如圖3，當點E恰好落在邊上時，，，．則的長為___________．（直接寫出結果）【答案】(1)見解析(2)，理由見解析

(3)【分析】（1）先證明，得到兩組對邊分別平行，再用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定，也可以用四條邊相等的四邊形是菱形進行判斷；（2）證明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折疊得到∠DPC=∠EPC，從而證明∠FPC=90°；（3）延長BA、CP相交于點F，得△AFP∽△DCP，再證EF=CE即可求出結果．（1）證法一：由折疊得，，，∵∴∴∴∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是菱形．證法二：證明：由折疊得，，，∵∴∴∴∴∴四邊形是菱形．（2）解：．連接

由折疊可得，，∵四邊形是平行四邊形∴又∵∴∵點P是的中點∴∴

∴∴∴∴（SSS）∴又∵，即∴∴．（3）解：延長BA、CP相交于點F，由題意，△AFP∽△DCP∴即∴

∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F∴∠F=∠ECP∴EF=EC=DC=10∴．故答案為．【點睛】本題考查折疊、平行四邊形、相似、菱形的判定等，屬于綜合性題目，解題關鍵在于靈活運用幾何知識，構造常見的模型．19．如圖，在等邊邊長為6，O是中心；在中，，，．將繞點A按順時針方向旋轉一周．(1)當、分別在、邊上，連結、，求的面積；(2)設所在直線與的邊或交于點F，當O、D、E三點在一條直線上，求的長；(3)連結，取中點M，連結，的取值范圍為_________．【答案】(1)(2)(3)1≤DM≤5【分析】（1）由O是等邊三角形的中心，可知OM=，進而得到，從而EO∥BM，所以可得OD=EN，即可求解；（2）易證△AEF∽△OBF，得到，設AF=x，OF=y，求解即可；（3）取AE的中點N，連接MN，DN，由D、N在⊙A上，可知即MN-DN≤DM≤DN+MN，易知MN是△AEC的中位線，從而求得．（1）

連接AO，并延長交BC于M，連接OB∵O是等邊△ABC的中心∴∠OBM=30°，BM=MC，AM⊥BC∴OM==∴∴EO∥BM延長EO交AC于N，則△AEN為等邊三角形∵EO∥BM∴∴ON=OE，CN=DN=AD=2∴OD=EN=2∴（2）連接OB，OA，如圖，∵O是等邊△ABC的中心

∴∠OBA=30°，OA=OB=2∴∵∠DAE=30°∴AE=4，DE=在△AEF和△OBF中∵∠ABO=∠AED=30°，∠AFE=∠BFO∴△AEF∽△OBF(AA)∴設AF=x，OF=y，則解得，,所以（3）取AE的中點N，連接MN，DN，∵D,N在⊙A的圓上∴當D、M、N三點共線時，DM最大或最小，即MN-DN≤DM≤DN+MN，∴MN-2≤DM≤MN+2當D、M、N三點共線如圖1時，△AND為等邊三角形，∴∠NDA=∠DAC=60°，∴MN∥AC∵M，N為中點∴MN=∴DM≥1

當D、M、N三點共線如圖2時，△AND為等邊三角形，∴∠NDA=∠BAC=∠CAE=60°，∴MN∥AC∵M，N為中點∴MN=∴DM≤5故答案為：1≤DM≤5【點睛】本題主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位線，直角三角形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例的性質與判定，相似三角形的判定與性質及方程思想，綜合運用相關性質和判定是解題關鍵．20．如圖1，ΔABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點E作EG//AC交AB于點G，求證：AB=2AG；

（3）將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”，“點F是DE與AC的交點”改為“點F是ED的延長線與AC的交點”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②．【分析】（1）運用等腰三角形的性質及三角形的外角性質就可解決問題．（2）如圖1，證明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根據等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行線分線段成比例定理得：，由此可得結論；（3）①如圖2，作輔助線，構建三角形全等，證明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再證明△ACB∽△GEB，列比例式可得結論；②如圖3，作輔助線，構建△ABC和△DCE的高線，先得，設AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，根據AH∥PD，得，設PD=3h，AH=4h，根據EG∥AC，同理得，設BE=y，BC=4y，利用三角形面積公式代入可得結論．【詳解】（1）證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）證明：如圖1，

∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如圖2，過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，

在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過A作AH⊥BC于H，過D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，

設PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH===8yh，S△DCE=CE?PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質和判定等知識，第三問有難度，利用參數表示各線段的長是本題的關鍵，綜合性較強．21．如圖，在等腰中，，點、分別在軸、軸上．（1）如圖①，若點的橫坐標為5，求點的坐標；（2）如圖②，若軸恰好平分，交軸于點，過點作軸于點，求的值；（3）如圖③，若點的坐標為，點在軸的正半軸上運動時，分別以、為邊在第一、第二象限中作等腰，等腰，連接交軸于點，當點在軸上移動時，的長度是否發生改變？若不變求的值；若變化，求的取值范圍．【答案】（1）（0，5）（2）（3）不變，等于2．【分析】（1）作CD⊥BO，易證△ABO≌△BCD，根據全等三角形對應邊相等的性質即可解題；（2）設AB＝BC＝a，根據勾股定理求出AC＝a，根據MA（即x軸）平分∠BAC，得到，求得BM＝（?1）a，MC＝（2?）a，AM＝a，再證明

Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答，（3）作EG⊥y軸，易證△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解題．【詳解】解：（1）如圖1，作CD⊥BO于D，∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，在△ABO和△BCD中，，∴△ABO≌△BCD（AAS），∴CD＝BO＝5，∴B點坐標（0，5）；（2）設AB＝BC＝a，則AC＝a，∵MA（即x軸）平分∠BAC，∴，即MC＝BM，∵BC＝BM＋MC＝a，∴BM＋BM＝a，解得BM＝（?1）a，MC＝（2?）a則AM＝a，

∵∠ABM＝∠CDM＝90°且∠AMB＝∠CMD∴Rt△ABM∽Rt△CDM，∴，即CD＝，∴；（3）的長度不變，理由如下：如圖3，作EG⊥y軸于G，∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，∴∠BAO＝∠EBG，在△BAO和△EBG中，，∴△BAO≌△EBG（AAS），∴BG＝AO，EG＝OB，∵OB＝BF，∴BF＝EG，在△EGP和△FBP中，，∴△EGP≌△FBP（AAS），∴PB＝PG，

∴PB＝BG＝AO＝2．【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握三角形全等的證明是解本題的關鍵．22．如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一點（不與C，D兩點重合），連接BE，過點C作CH⊥BE于點F，交對角線BD于點G，交AD邊于點H，連接GE．（1）求證：DH＝CE；（2）如圖2，若點E是CD的中點，當BE＝8時，求線段GH的長；（3）設正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當時，值為．（直接寫答案）【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）由題意可得，根據可證明，即可求解；（2）由以及，可得，，即，則，即可求解；（3）設，則，，求出和，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形為正方形∴，，∴∵∴∴∴

在和中∴∴（2）∵∴，∵點E是CD的中點∴又∵∴又∵∴∴∴∴即（3）當，則，∵，∴由正方形的性質可得平分，∴到、距離相等，∴由（2）得∴∴，

設，則，∴∴∵∴∴∴【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會利用參數解決問題．23．（1）問題背景：如圖1，正方形ABCD中，F在直線CD上，E在直線BC上．若∠EAF＝45°，求證：BE＋FD＝EF；（2）遷移應用：如圖2，將正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A點的對應點E在BC上，且AD的對應邊EM交CD于F點．若BE＝3，EC＝2，求EF的長；（3）聯系拓展：如圖3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，則∠QAD＝_______°．【答案】（1）見解析；（2）；（3）34°【分析】（1）將ABE繞點A順時針旋轉90°，使AB與AD重合，得到了旋轉后的ADG，由此可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，進而證明EAF≌GAF，由此即可證得結論；（2）根據翻折可設AG＝GE＝x，則BG＝5－x，利用勾股定理可得，由此解得，，在利用相似三角形的判定與性質即可求得答案；（3）連接AF，設∠FQA＝∠FEA＝m，根據等腰三角形的性質可得∠AFE＝，再通過相似三角形的判定與性質可得∠