高中數(shù)學(xué)課件-2.3變量之間的相關(guān)關(guān)系變量與相關(guān)關(guān)系基本概念線性相關(guān)關(guān)系非線性相關(guān)關(guān)系變量間因果關(guān)系與預(yù)測模型建立變量間相互影響程度評估方法總結(jié)回顧與拓展延伸contents目錄01變量與相關(guān)關(guān)系基本概念變量是指在某個(gè)過程中可以取不同數(shù)值的量，通常用字母表示。變量定義根據(jù)變量取值的性質(zhì)，可分為隨機(jī)變量和非隨機(jī)變量；根據(jù)變量之間的關(guān)系，可分為自變量和因變量。變量分類變量定義及分類相關(guān)關(guān)系是指兩個(gè)或多個(gè)變量之間存在的關(guān)聯(lián)性，當(dāng)一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量也會隨之發(fā)生變化。相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系，只表示變量之間存在某種聯(lián)系；相關(guān)關(guān)系可以是正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，表示變量之間變化的方向是否一致。相關(guān)關(guān)系定義及特點(diǎn)相關(guān)關(guān)系特點(diǎn)相關(guān)關(guān)系定義散點(diǎn)圖定義01散點(diǎn)圖是一種用點(diǎn)的密度和變化趨勢表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的方法。散點(diǎn)圖繪制步驟02收集數(shù)據(jù)；以自變量為橫坐標(biāo)，因變量為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描點(diǎn)；觀察點(diǎn)的分布情況和變化趨勢，判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)關(guān)系的類型。散點(diǎn)圖解讀03若點(diǎn)呈現(xiàn)出某種趨勢，如線性、指數(shù)等，則說明兩個(gè)變量之間存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系；若點(diǎn)分布較為散亂，則說明兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系較弱或不存在。散點(diǎn)圖表示方法02線性相關(guān)關(guān)系

正線性相關(guān)關(guān)系定義當(dāng)兩個(gè)變量同向變化時(shí)，即一個(gè)變量增加時(shí)另一個(gè)也增加，或一個(gè)變量減少時(shí)另一個(gè)也減少，稱為正線性相關(guān)關(guān)系。圖形特征在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)呈現(xiàn)出從左下角到右上角的上升趨勢。實(shí)例身高與體重、年齡與收入（在一定年齡段內(nèi)）等。當(dāng)兩個(gè)變量反向變化時(shí)，即一個(gè)變量增加時(shí)另一個(gè)減少，或一個(gè)變量減少時(shí)另一個(gè)增加，稱為負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。定義在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)呈現(xiàn)出從左上角到右下角的下降趨勢。圖形特征汽車速度與剎車距離、學(xué)習(xí)時(shí)間與疲勞程度等。實(shí)例負(fù)線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)系數(shù)（r）用于量化兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度和方向。取值范圍為-1到1之間，其中1表示完全正相關(guān)，-1表示完全負(fù)相關(guān)，0表示無相關(guān)關(guān)系。計(jì)算方法通過公式計(jì)算，涉及到兩個(gè)變量的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差。性質(zhì)線性相關(guān)系數(shù)具有對稱性、無量綱性、取值范圍有限性等特點(diǎn)。同時(shí)，線性相關(guān)系數(shù)只是描述線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向，并不能說明兩個(gè)變量之間一定存在因果關(guān)系。線性相關(guān)系數(shù)計(jì)算與性質(zhì)03非線性相關(guān)關(guān)系03二次函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系的判斷通過散點(diǎn)圖觀察，若散點(diǎn)分布呈現(xiàn)拋物線形狀，則可能存在二次函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系。01二次函數(shù)的基本形式$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$aneq0$。02二次函數(shù)圖像特征圖像為一條拋物線，開口方向由$a$的正負(fù)決定，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$。二次函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系指數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系$y=atimesb^x$，其中$a$、$b$為常數(shù)，且$b>0$，$bneq1$。指數(shù)函數(shù)圖像特征當(dāng)$b>1$時(shí)，圖像為增函數(shù)，隨著$x$的增大，$y$值迅速增大；當(dāng)$0<b<1$時(shí)，圖像為減函數(shù)，隨著$x$的增大，$y$值迅速減小。指數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系的判斷通過散點(diǎn)圖觀察，若散點(diǎn)分布呈現(xiàn)指數(shù)爆炸或指數(shù)衰減趨勢，則可能存在指數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系。指數(shù)函數(shù)的基本形式對數(shù)函數(shù)的基本形式$y=log_bx$，其中$b$為常數(shù)，且$b>0$，$bneq1$。對數(shù)函數(shù)圖像特征當(dāng)$b>1$時(shí)，圖像為增函數(shù)，隨著$x$的增大，$y$值逐漸增大但增速減緩；當(dāng)$0<b<1$時(shí)，圖像為減函數(shù)，隨著$x$的增大，$y$值逐漸減小但減速減緩。對數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系的判斷通過散點(diǎn)圖觀察，若散點(diǎn)分布呈現(xiàn)對數(shù)增長或?qū)?shù)減少趨勢，則可能存在對數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系。同時(shí)，對數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。對數(shù)函數(shù)型非線性相關(guān)關(guān)系04變量間因果關(guān)系與預(yù)測模型建立因果關(guān)系是指一個(gè)事件（即“因”）和第二個(gè)事件（即“果”）之間的作用關(guān)系，其中后一事件被認(rèn)為是前一事件的結(jié)果。因果關(guān)系定義原因必定在前，結(jié)果只能在后，二者時(shí)間順序不能顛倒。時(shí)間順序原因和結(jié)果之間存在較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)，當(dāng)原因存在時(shí)，結(jié)果也大概率出現(xiàn)。關(guān)聯(lián)強(qiáng)度因果關(guān)系不是偶然的，而是具有穩(wěn)定性和可重復(fù)性。非偶然性因果關(guān)系定義及判斷方法確定自變量和因變量自變量是導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的因素，因變量是結(jié)果本身。收集數(shù)據(jù)收集自變量和因變量的歷史數(shù)據(jù)。預(yù)測模型建立步驟和注意事項(xiàng)根據(jù)數(shù)據(jù)的特征和問題的性質(zhì)，選擇合適的預(yù)測模型，如線性回歸、邏輯回歸等。選擇合適的模型訓(xùn)練模型驗(yàn)證模型利用歷史數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行訓(xùn)練，得到模型的參數(shù)。利用驗(yàn)證數(shù)據(jù)集對模型進(jìn)行驗(yàn)證，評估模型的預(yù)測性能。030201預(yù)測模型建立步驟和注意事項(xiàng)確保收集到的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確、完整，避免數(shù)據(jù)缺失和異常值對模型的影響。數(shù)據(jù)質(zhì)量選擇合適的模型進(jìn)行預(yù)測，避免模型過于復(fù)雜或過于簡單。模型選擇注意避免模型過擬合或欠擬合現(xiàn)象，確保模型的泛化能力。過擬合與欠擬合預(yù)測模型建立步驟和注意事項(xiàng)問題描述模型選擇訓(xùn)練過程預(yù)測結(jié)果實(shí)例分析：利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測假設(shè)我們有一組關(guān)于廣告投入和銷售量的歷史數(shù)據(jù)，我們希望通過這些數(shù)據(jù)預(yù)測未來的銷售量。利用歷史數(shù)據(jù)對線性回歸模型進(jìn)行訓(xùn)練，得到回歸方程的系數(shù)和截距。根據(jù)數(shù)據(jù)的特征和問題的性質(zhì)，我們選擇線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測。將未來的廣告投入代入回歸方程，即可得到預(yù)測的銷售量。05變量間相互影響程度評估方法協(xié)方差計(jì)算對于兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，其協(xié)方差cov(X,Y)定義為E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分別為X和Y的期望值。協(xié)方差定義描述兩個(gè)變量變化趨勢的統(tǒng)計(jì)量，正值表示同向變化，負(fù)值表示反向變化，零表示無關(guān)。協(xié)方差矩陣對于多維隨機(jī)變量，協(xié)方差矩陣可以描述各維度之間的相關(guān)關(guān)系，矩陣元素為各維度兩兩之間的協(xié)方差。協(xié)方差和協(xié)方差矩陣概念介紹相關(guān)系數(shù)定義衡量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，取值范圍為[-1,1]，絕對值越大表示相關(guān)性越強(qiáng)。相關(guān)系數(shù)計(jì)算對于兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，其相關(guān)系數(shù)r定義為cov(X,Y)/(σXσY)，其中σX和σY分別為X和Y的標(biāo)準(zhǔn)差。相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法和性質(zhì)討論相關(guān)系數(shù)性質(zhì)|r|=1表示完全線性相關(guān)；r=0表示無線性相關(guān)關(guān)系；相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法和性質(zhì)討論|r|越接近1表示線性相關(guān)程度越強(qiáng)；r>0表示正相關(guān)，r<0表示負(fù)相關(guān)。相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法和性質(zhì)討論實(shí)例分析：評估兩組數(shù)據(jù)間相互影響程度計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)利用公式計(jì)算兩組數(shù)據(jù)之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。數(shù)據(jù)準(zhǔn)備收集兩組數(shù)據(jù)，如身高與體重、廣告投入與銷售額等。結(jié)果解讀根據(jù)計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)判斷兩組數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度。例如，若相關(guān)系數(shù)接近1，則表明兩組數(shù)據(jù)之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系；若相關(guān)系數(shù)接近-1，則表明存在較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)關(guān)系；若相關(guān)系數(shù)接近0，則表明兩組數(shù)據(jù)之間無明顯的線性相關(guān)關(guān)系。06總結(jié)回顧與拓展延伸散點(diǎn)圖：通過繪制散點(diǎn)圖可以直觀地觀察兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，以及相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)度和方向。相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是量化兩個(gè)變量之間相關(guān)關(guān)系強(qiáng)度和方向的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，取值范圍在-1到1之間。回歸直線：在散點(diǎn)圖的基礎(chǔ)上，可以通過最小二乘法擬合一條回歸直線，用于描述兩個(gè)變量之間的平均變化關(guān)系。變量之間的相關(guān)關(guān)系不唯一確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系：即使兩個(gè)變量之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系，也不能確定它們之間唯一的函數(shù)關(guān)系。關(guān)鍵知識點(diǎn)總結(jié)回顧拓展延伸：多元線性回歸模型簡介多元線性回歸模型當(dāng)研究一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可以采用多元線性回歸模型進(jìn)行分析。回歸方程多元線性