《高等數學》上冊課件全集第1章極限與連續CATALOGUE目錄極限的定義與性質極限的運算連續函數無窮小量與階的比較閉區間上連續函數的性質01極限的定義與性質當自變量趨近某一值時，函數值趨近于某一確定的數，這個確定的數就是函數的極限。通過觀察函數的變化趨勢，可以初步判斷函數的極限值。極限的描述性定義描述性定義的應用極限的描述性定義極限的嚴格定義（數列極限和函數極限）數列極限的嚴格定義對于任意給定的正數$varepsilon$，存在一個正整數$N$，當$n>N$時，有$|a_n-L|<varepsilon$。函數極限的嚴格定義對于任意給定的正數$varepsilon$，存在一個正數$delta$，當$0<|x-a|<delta$時，有$|f(x)-L|<varepsilon$。唯一性一個函數的極限是唯一的。有界性一個有極限的函數必定是有界的。局部保號性如果函數在某點的極限大于0，則函數在該點的附近一定大于0；反之亦然。局部有界性如果函數在某點的極限存在，則函數在該點的附近一定有界。極限的性質02極限的運算若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。加法法則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。減法法則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)[f(x)×g(x)]=A×B。乘法法則若lim(x→a)f(x)=A和lim(x→a)g(x)=B（B≠0），則lim(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B。除法法則極限的四則運算法則復合函數極限的定義設函數y=f[g(x)]由函數y=f(u)和函數u=g(x)復合而成，如果lim(x→a)g(x)=b存在，且lim(u→b)f(u)=L，則lim(x→a)f[g(x)]=L。復合函數極限的運算法則與極限的四則運算法則類似，適用于復合函數的極限運算。復合函數的極限如果函數f在某點的某個去心鄰域內有定義，且在某點的左右極限都存在且相等，則函數在該點存在極限。函數極限存在定理用于判斷函數在某點的極限是否存在，以及求解函數的極限值。函數極限存在定理的應用函數極限存在性定理03連續函數連續函數的定義如果函數在某一點的極限值等于函數值，則稱函數在該點連續。即，如果對于任意給定的正數ε，存在一個正數δ，使得當|x-x?|<δ時，|f(x)-f(x?)|<ε，則稱函數f在點x?處連續。連續函數的定義連續函數具有一些重要的性質，如局部有界性、局部保號性、介值定理等。這些性質在研究函數的極限、導數和積分等數學概念時非常重要。連續函數的性質VS初等函數是由冪函數、指數函數、三角函數和反三角函數經過有限次的四則運算得到的函數。初等函數在其定義域內是連續的，這是因為它們的定義域是閉區間，且在其定義域內沒有間斷點。初等函數的性質初等函數具有一些重要的性質，如可導性、可積性、有界性等。這些性質在解決數學問題時非常有用，如求解微分方程、積分方程等。初等函數的連續性初等函數的連續性04無窮小量與階的比較無窮小量在自變量趨于某點或無窮時，函數值趨于零的變量。無窮小量的性質無窮小量具有可加性、可減性、可乘性和可除性。無窮小量的定義與性質兩個無窮小量在一定條件下可以相互替換，它們的比值為1。等價無窮小量高階無窮小量低階無窮小量一個無窮小量是另一個無窮小量的高階，表示前者趨于零的速度更快。一個無窮小量是另一個無窮小量的低階，表示前者趨于零的速度更慢。030201無窮小量與階的比較03利用無窮小量的性質求解極限問題。01利用等價無窮小量簡化極限計算。02利用高階或低階無窮小量判斷極限的存在性。無窮小量在極限計算中的應用05閉區間上連續函數的性質總結詞01閉區間上連續函數在其區間內一定存在最大值和最小值。詳細描述02根據閉區間上連續函數的性質，如果一個函數在閉區間[a,b]上連續，那么這個函數一定在[a,b]區間內取得最大值和最小值。證明方法03利用實數的完備性，即實數軸上的任何區間都包含一個最大值和一個最小值，結合閉區間上連續函數的性質，可以證明閉區間上連續函數一定存在最大值和最小值。最大值最小值定理中值定理如果一個函數在閉區間[a,b]上連續，那么在這個區間內至少存在一個點，使得函數在該點的值為區間內兩個端點值的平均值。詳細描述中值定理也稱為拉格朗日中值定理，它說明如果一個函數在閉區間[a,b]上連續，那么存在一個點c∈(a,b)，使得f(c)=f(a)+f'(c)(b?a)，其中f'(c)是函數在點c處的導數。證明方法利用閉區間上連續函數的性質和羅爾定理，可以證明中值定理的正確性。總結詞總結詞零點定理說明如果函數在區間的兩端取值異號，則該區間內一定存在至少一個零點；介值定理說明如果在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)滿足f(a)<0和f(b)>0，則存在至少一個c∈(a,b)，使得f(c)=0。詳細描述零點定理和介值定理是實數完備性的重要推論，它們說明