第一部分專題六第二講圓錐曲線的概念與性質、與弦有關的計算問題A組1．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4eq\r(3)，則拋物線方程為(B)A．y2＝6x B．y2＝8xC．y2＝16x D．y2＝eq\f(15,2)x[解析]依題意，設M(x，y)，因為|OF|＝eq\f(p,2)，所以|MF|＝2p，即x＋eq\f(p,2)＝2p，解得x＝eq\f(3p,2)，y＝eq\r(3)p.又△MFO的面積為4eq\r(3)，所以eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，解得p＝4.所以拋物線方程為y2＝8x.2．若雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)和橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)有共同的焦點F1、F2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|＝(D)A．m2－a2 B．eq\r(m)－eq\r(a)C．eq\f(1,2)(m－a) D．m－a[解析]不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P在雙曲線的右支上，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m)，|PF1|－|PF2|＝2eq\r(a)，∴|PF1|＝eq\r(m)＋eq\r(a)，|PF2|＝eq\r(m)－eq\r(a)，故|PF1|·|PF2|＝m－a.3．(文)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線經過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為(D)A．eq\f(\r(7),3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)[解析]由題利用雙曲線的漸近線經過點(3，－4)，得到關于a，b的關系式，然后求出雙曲線的離心率即可．因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線經過點(3，－4)，∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，故選D．(理)已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(D)A．eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[解析]根據圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,2)x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設交點A在第一象限，由y＝eq\f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq\f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq\f(2b,\r(4＋b2))，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝eq\f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故選D．4．(2018·重慶一模)已知圓(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)的一條切線y＝kx與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有兩個交點，則雙曲線C的離心率的取值范圍是(D)A．(1，eq\r(3)) B．(1,2)C．(eq\r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)[解析]由題意，圓心到直線的距離d＝eq\f(|k|,\r(12＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，所以k＝±eq\r(3)，因為圓(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)的一條切線y＝kx與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有兩個交點，所以eq\f(b,a)>eq\r(3)，所以1＋eq\f(b2,a2)>4，所以e>2.5．(2018·濟南一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|QF|＝(B)A．eq\f(7,2) B．3C．eq\f(5,2) D．2[解析]如圖所示，因為eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，過點Q作QM⊥l垂足為M，則MQ∥x軸，所以eq\f(|MQ|,4)＝eq\f(|PQ|,|PF|)＝eq\f(3,4)，所以|MQ|＝3，由拋物線定義知|QF|＝|QM|＝3.6．(2018·泉州一模)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線l，過M(1,0)且斜率為eq\r(3)的直線與l相交于點A，與點C的一個交點為點B，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，則p＝2.[解析]設直線AB：y＝eq\r(3)x－eq\r(3)，代入y2＝2px得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，即M為A，B的中點，所以xB＋(－eq\f(p,2))＝2，即xB＝2＋eq\f(p,2)，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．7．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值為－2.[解析]由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．設P(x，y)(x≥1)，則eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，則f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以當x＝1時，函數f(x)取最小值，即eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取最小值，最小值為－2.8．已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點M與橢圓C的焦點不重合．若M關于橢圓C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在橢圓C上，則|AN|＋|BN|＝12.[解析]取MN的中點G，G在橢圓C上，因為點M關于C的焦點F1，F2的對稱點分別為A，B，故有|GF1|＝eq\f(1,2)|AN|，|GF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.9．(2018·郴州三模)已知拋物線E：y2＝8x，圓M：(x－2)2＋y2＝4，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)點Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求△QAB面積的最小值．[解析](1)設P(x，y)，則點N(2x,2y)在拋物線E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，所以曲線C的方程為y2＝4x.(2)設切線方程為y－y0＝k(x－x0)．令y＝0，可得x＝x0－eq\f(y0,k)，圓心(2,0)到切線的距離d＝eq\f(|2k＋y0－kx0|,\r(12＋k2))＝2，整理可得(xeq\o\al(2,0)－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋yeq\o\al(2,0)－4＝0，設兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝eq\f(2x0y0－4y0,x\o\al(2,0)－4x0)，k1k2＝eq\f(y\o\al(2,0)－4,x\o\al(2,0)－4x0)，所以△QAB面積S＝eq\f(1,2)|(x0－eq\f(y0,k1))－(x0－eq\f(y0,k2))|y0＝2·eq\f(x\o\al(2,0),x0－1)＝2eq\f(x0－12＋2x0－1＋1,x0－1)＝2[(x0－1)＋eq\f(1,x0－1)＋2]．設t＝x0－1∈[4，＋∞)，則f(t)＝2(t＋eq\f(1,t)＋2)在[4，＋∞)上單調遞增，所以f(t)≥eq\f(25,2)，即△QAB面積的最小值為eq\f(25,2).B組1．若a>1，則雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的離心率的取值范圍是(C)A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，2 )C．(1，eq\r(2)) D．(1,2)[解析]由題意得雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(a2＋1),a).∴e2＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).∵a>1，∴0<eq\f(1,a2)<1，∴1<1＋eq\f(1,a2)<2，∴1<e<eq\r(2).故選C．2．已知O為坐標原點，F是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]解法一：設E(0，m)，則直線AE的方程為－eq\f(x,a)＋eq\f(y,m)＝1，由題意可知M(－c，m－eq\f(mc,a))，(0，eq\f(m,2))和B(a,0)三點共線，則eq\f(m－\f(mc,a)－\f(m,2),－c)＝eq\f(\f(m,2),－a)，化簡得a＝3c，則C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).解法二：如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．由PF⊥x軸得P(－c，eq\f(b2,a))．設E(0，m)，又PF∥OE，得eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)，則|MF|＝eq\f(ma－c,a).①又由OE∥MF，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)，則|MF|＝eq\f(ma＋c,2a).②由①②得a－c＝eq\f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).故選A．3．(文)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點到準線的距離為(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]由題意，不妨設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，可取A(eq\f(4,p)，2eq\r(2))，D(－eq\f(p,2)，eq\r(5))，設O為坐標原點，由|OA|＝|OD|，得eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，得p＝4.故選B．(理)已知橢圓C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(A)A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1[解析]由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，則m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝eq\f(m2－1,m2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n2＋1,n2＋2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq\f(1,n4＋2n2)>1，所以e1e2>1.故選A．4．已知M(x0，y0)是曲線C：eq\f(x2,2)－y＝0上的一點，F是曲線C的焦點，過M作x軸的垂線，垂足為點N，若eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))<0，則x0的取值范圍是(A)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(－1,1)[解析]由題意知曲線C為拋物線，其方程為x2＝2y，所以F(0，eq\f(1,2))．根據題意，可知N(x0,0)，x0≠0，eq\o(MF,\s\up6(→))＝(－x0，eq\f(1,2)－y0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－y0)，所以eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝－y0(eq\f(1,2)－y0)<0，即0<y0<eq\f(1,2).因為點M在拋物線上，所以有0<eq\f(x\o\al(2,0),2)<eq\f(1,2).又x0≠0，解得－1<x0<0或0<x0<1.故選A．5．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦點為F，P是橢圓上一點，點A(0,2eq\r(3))，當△APF的周長最大時，△APF的面積等于(B)A．eq\f(11\r(3),4) B．eq\f(21\r(3),4)C．eq\f(11,4) D．eq\f(21,4)[解析]由橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝eq\r(a2－b2)＝2，Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2eq\r(3)，則|AF|＝4.設橢圓的左焦點為F1，則△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(當且僅當A，P，F1三點共線，P在線段AF1的延長線上時取“＝”)．此時直線AF1的方程為eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2\r(3))＝1，與橢圓的方程為5x2＋9y2－45＝0聯立并整，得32y2－20eq\r(3)y－75＝0，解得yP＝－eq\f(5\r(3),8)(正值舍去)，則△APF的周長最大時，S△APF＝eq\f(1,2)|F1F|·|yA－yP|＝eq\f(1,2)×4×|2eq\r(3)＋eq\f(5\r(3),8)|＝eq\f(21\r(3),4).故選B．6．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為eq\r(3).[解析]設雙曲線方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意可知，將x＝c代入，解得：y＝±eq\f(b2,a)，則|AB|＝eq\f(2b2,a)，由|AB|＝2×2a，則b2＝2a2，所以雙曲線離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3).7．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為點C，若S△ABC＝3S△BCF2，則橢圓的離心率為eq\f(\r(5),5).[解析]如圖所示，因為S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2CA(－c，eq\f(b2,a))，直線AF2的方程為：y－0＝eq\f(\f(b2,a)－0,－c－c)(x－c)，化為：y＝eq\f(－b2,2ac)(x－c)，代入橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4所以xC·(－c)＝eq\f(b2c2－4a2c2,4c2＋b2)，解得xC＝eq\f(4a2c－b2c,4c2＋b2).因為eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2C,\s\up6(→))，所以c－(－c)＝2(eq\f(4a2c－b2c,4c2＋b2)－c)，化為：a2＝5c2，解得e＝eq\f(\r(5),5).8．設F1，F2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，AF1⊥AB且AF1＝AB，則橢圓C的離心率為eq\r(6)－eq\r(3).[解析]設|AF1|＝t，則|AB|＝t，|F1B|＝eq\r(2)t，由橢圓定義有：|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以|AF1|＋|AB|＋|F1B|＝4a化簡得(eq\r(2)＋2)t＝4a，t＝(4－2eq\r(2))a，所以|AF2|＝2a－t＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝(2c所以[(4－2eq\r(2))a]2＋[(2eq\r(2)－2)a]2＝(2c)2，所以(eq\f(c,a))2＝9－6eq\r(2)＝(eq\r(6)－eq\r(3))2，所以e＝eq\r(6)－eq\r(3).9．(文)設F1、F2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A、B兩點，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求橢圓E的離心率．[解析](1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1，又∵△ABF2的周長為16，∴由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2∴|AF2|＝2a－|AF1(2)設|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由橢圓定義知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)(2a－k∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，∴a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|∴F2A⊥AB，F2A⊥AF∴△AF1F2從而c＝eq\f(\r(2),2)a，所以橢圓離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(理)設點F1(－c,0)，F2(c,0)