專題01第一章空間向量與立體幾何典型例題講解（一）目錄TOC\o"13"\h\u一、基本概念回歸 1二、重點例題（高頻考點） 2高頻考點一：空間向量的基底 2高頻考點二：用基底表示向量 3高頻考點三：空間向量平行與垂直 4高頻考點四：空間向量模的計算 5高頻考點五：空間向量夾角的計算 6高頻考點六：空間向量的投影（投影向量） 7高頻考點七：距離問題 8角度1：利用空間向量求點線距 8角度2：利用空間向量求點面距 9角度3：等體積法求點面距 12一、基本概念回歸知識回顧1：空間向量的數乘運算1.1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．1.2：數乘向量與向量的關系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的知識回顧2：共線向量與共面向量2.1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．2.2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數，使．2.3拓展：對于直線外任意點，空間中三點共線的充要條件是，其中2.4、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2.5共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使2.6拓展對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識回顧3：空間向量的數量積定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.知識回顧4：兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）知識回顧5：向量長度的坐標計算公式若，則，即知識回顧6：兩個向量夾角的坐標計算公式設，則二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：空間向量的基底1．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高二專題練習）若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間基底的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高二專題練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．4．（多選）（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學校考開學考試）是空間的一個基底，與?構成基底的一個向量可以是（

）A． B． C． D．高頻考點二：用基底表示向量1．（2023春·寧夏銀川·高二寧夏育才中學校考開學考試）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯考階段練習）如圖：在平行六面體中，M為，的交點．若，，，則向量（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）A． B．C． D．4．（2023春·安徽滁州·高二統考期末）在四面體中，是的中點，是的中點．設，，，則（

）A． B． C． D．高頻考點三：空間向量平行與垂直1．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯考階段練習）已知向量，若與平行，則實數k的值為（

）A． B． C． D．22．（2023秋·高二課時練習），若，則m＝．3．（2023秋·河北邯鄲·高二武安市第三中學校考開學考試）已知向量，，且與互相垂直，則的值是.4．（2023秋·高二課時練習）已知空間三點.設，，若向量與互相平行，求k的值．5．（2023秋·全國·高二階段練習）已知點、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求．高頻考點四：空間向量模的計算1．（2023·上海·高二專題練習）設空間向量，，若，則．2．（2023秋·高二單元測試）設空間向量，，若，則．3．（2023·全國·高二專題練習）已知、、為空間中兩兩互相垂直的單位向量，，且，則的最小值為．4．（2023春·湖南永州·高二永州市第一中學校考開學考試）向量，且，則．5．（2023·全國·高二專題練習）在空間直角坐標系中，已知，，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是.6．（2023·全國·高二專題練習）已知空間三點，，，．(1)求以為邊的平行四邊形的面積；(2)若，且，點是的中點，求的值．高頻考點五：空間向量夾角的計算1．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二校考期末）已知，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高二專題練習）已知，，則等于（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高二單元測試）設空間兩個單位向量與向量的夾角都等于，則（

）A． B．C．或 D．或4．（2023秋·寧夏銀川·高二校考階段練習）已知，，，，，求：(1)；(2)與所成角的余弦值．5．（2023秋·高二課時練習），，，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．6．（2023·全國·高二專題練習）已知空間中的三點，，.(1)求的面積；(2)當與的夾角為鈍角時，求k的范圍．高頻考點六：空間向量的投影（投影向量）1．（2023秋·高二課時練習）已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A． B．C． D．2．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·湖北宜昌·高二長陽土家族自治縣第一高級中學校考階段練習）若，，則在上的投影向量的坐標為.高頻考點七：距離問題角度1：利用空間向量求點線距1．（2023秋·高二課時練習）已知三棱錐，，且，則點到直線的距離為（

）A． B．C． D．32．（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）在空間直角坐標系中，直線的方程為，空間一點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．3．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是．（2023·全國·高二課堂例題）已知正方體的棱長為1，求點到直線的距離．角度2：利用空間向量求點面距1．（2023秋·寧夏銀川·高二校考階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．直線到平面的距離為（

）．A． B． C． D．2．（2023秋·全國·高二隨堂練習）在三棱錐中，底面，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·山東濟南·高三統考開學考試）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點．

(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．4．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考開學考試）如圖，在三棱柱中，已知側面，，，，點在棱上.(1)證明：平面；(2)若，試確定的值，使得到平面的距離為.5．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F為線段的中點．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．6．（2023·全國·高二專題練習）如圖所示，在四棱錐中，側面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動點.(1)當是棱的中點時，求證：平面；(2)若，，求點到平面距離的范圍.7．（2023·全國·高二專題練習）已知四棱錐，底面是菱形，，平面，，點滿足.(1)求二面角的平面角的余弦值；(2)若棱上一點到平面的距離為，試確定點的位置.角度3：等體積法求點面距1．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）如圖，四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E為PD中點.(1)證明：；(2)若F為棱PB上的點，求點F到平面ACE的距離.2．（2023秋·湖南長沙·高二校考開學考試）如圖，在四棱錐中，平面分別為的中點．(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．