數學提高題專題復習平行四邊形練習題含答案

一、選擇題

1.如圖，E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，且AB=CD.結論：①EG_LFH；

②四邊形EFGH是矩形；③HF平分NEHG；?EG=-BC；⑤四邊形EFGH的周長等于

2

2AB.其中正確的個數是（）

2.在菱形ABCD中，NADC=60°,點E為AB邊的中點，點P與點A關于OE對稱,

連接￡>P、BP、CP,下列結論：①DP=CD；@AP2+BP2=CD2；

③“CP=75。；@ZCPA=\50°,其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

3.如圖，△ABC中，ZBAC=60°,NB=45。，AB=2,點D是BC上的一個動點，點D關于

AB,AC的對稱點分別是點E,F,四邊形A￡GF是平行四邊形，則四邊形AEGF面積的最小

值是（）

A.1B.—C.72D.73

2

4.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E為CD上一動點，連接AE交BD于F,過F作

FH_LAE于F,過H作HG_LBD于G.則下列結論：①AF=FH；②NHAE=45°；③BD=

2FG；④ACEH的周長為8.其中正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，在菱形A8CD中，AB=5cm,ZADC=120°,點E、F同時由A、C兩點出發，分別

沿AB.CB方向向點8勻速移動（到點8為止），點E的速度為lcm/s,點F的速度為

2cm/s,經過t秒4DEF為等邊三角形，則t的值為（）

6.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B.C.E三點在同一直線上，點。在CG

上.BC=1,CE=3,連接是AR的中點，連接CH,那么C”的長是（）

D.4a

7.如圖，正方形ABCD的邊長為1,順次連接正方形ABC。四邊的中點得到第一個正方

形A⑸GR，又順次連接正方形44GA四邊中點得到第二個正方形

，以此類推，則第六個正方形。的面積是（）

A2B2C2D2,……466c66

D\C^/C<

D

8.如圖，在平行四邊形ABCD中，NC=120°,4）=4,AB=2,點E是折線

BC-CD-ZM上的一個動點（不與A、8重合）.則八48七的面積的最大值是（）

D

B，-------------------EC

A.B.1C.3亞D.2G

9.如圖，分別以HfAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形

ABDE，連結CE、BG、GE.給出下列結論：

①CE=BG；

②EC工BG

③尸G?+B尸=2Bb+B°2

④8。2+6爐=2AC2+2A4其中正確的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④

10.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BC=EC,CF_LBE交AB

于點F,P是EB延長線上一點，下列結論：①BE平分/CBF；②CF平分/DCB；③BC=

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.如圖，正方形A8C￡＞的邊長為4,點E為CO邊上的一個動點，以CE為邊向外作正

方形ECFG,連結8G,點〃為BG中點，連結E“，則E”的最小值為

12.如圖，某景區湖中有一段“九曲橋"連接湖岸A,B兩點，"九曲橋"的每一段與AC平行

或BD平行，若AB=100m,/A=/B=60。，則此“九曲橋"的總長度為.

D

Z6Q。60%

A100加5

13.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構成的四邊形4BCD中,

他=3,AC=2,則3。的長為.

14.如圖，正方形ABCD中，ND4c的平分線交DC于點E,若P,Q分別是AD和AE上

的動點，則DQ+PQ能取得最小值4時，此正方形的邊長為.

15.在ABCO中，AD=5,/班。的平分線交CD于點E,/ABC的平分線交CD于點

F,若線段EF=2,則AB的長為.

16.如圖，在矩形ABCD中，A5=16,8C=18,點E在邊AB上，點F是邊BC上不

與點B、C重合的一個動點，把△￡?尸沿EF折疊，點B落在點8,處.若AE=3,當

CDB'是以DB'為腰的等腰三角形時，線段DB'的長為.

17.如圖，在矩形紙片A8CD中，A8=6,BC=10,點E在CD上，將△8CE沿8E折疊，點

C恰落在邊上的點F處，點G在AF上，將AASG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的

3

點H處,有下列結論：①NEBG=45°；②SAABG=5SAFGH;?ADEF^AABG；

④AG+DF=FG.其中正確的是.（把所有正確結論的序號都選上）

B

18.如圖，四邊形ABCP是邊長為4的正方形，點E在邊CP上，PE=1；作EF〃BC,分別

交AC、AB于點G、F,M、N分別是AG、BE的中點，則MN的長是

19.如圖，長方形ABCD中AB=2,8c=4,正方形AEFG的邊長為1.正方形AEFG繞點A

旋轉的過程中，線段CF的長的最小值為.

20.李剛和常明兩人在數學活動課上進行折紙創編活動.李剛拿起一張準備好的長方形紙片

對常明說:“我現在折疊紙片（圖①），使點D落在AB邊的點F處，得折痕AE,再折疊，

使點C落在AE邊的點G處，此時折痕恰好經過點B,如果AD=",那么AB長是多少？"常

明說；"簡單，我會.AB應該是

常明回答完，又對李剛說："你看我的創編（圖②），與你一樣折疊，可是第二次折疊時，

折痕不經過點B,而是經過了AB邊上的M點，如果AD=a,測得EC=3BM,那么AB長是

多少？”李剛思考了一會，有點為難，聰明的你，你能幫忙解答嗎？AB=.

三、解答題

21.如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD，對角線AC,BD交于點、0，

AC平分?。，過點C作CELAB交A6的延長線于點E，連接OE.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AE=5,0E=3,求線段的長.

22.如圖，在平行四邊形A8CO中，44。的平分線交8。于點E，交。。的延長線于

F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形EC尸G.

(1)求證：四邊形ECFG是菱形；

(2)連結30、CG,若NA3C=120°,則AB0G是等邊三角形嗎？為什么？

(3)若NABC=90。，AB=10,AD=24，M是EF的中點，求。M的長.

23.如圖，點A、F、C、。在同一直線上，點8和點E分別在直線A。的兩側，且AB=DE,

ZA=ZD,AF二DC.

(1)求證：四邊形8CEF是平行四邊形：

(2)若NDEF=90°,DE=8,EF=6,當AF為時，四邊形8CEF是菱形.

24.如圖，在矩形ABCD中，N8AD的平分線交BC于點E,AE=AD,作DF_LAE于點F.

(1)求證：AB—AF；

(2)連BF并延長交DE于G.

①EG=DG；

②若EG=1,求矩形4BCD的面積.

25.類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準等邊四邊

形”.

(1)已知：如圖1,在“準等邊四邊形”A8CD中，BC^AB,BDJ.CD,AB=3,8。=4,求8c

的長；

(2)在探究性質時，小明發現一個結論：對角線互相垂直的“準等邊四邊形”是菱形.請

你判斷此結論是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例；

(3)如圖2,在△ABC中，AB=AC=y/2<N847=90。.在AB的垂直平分線上是否存在點

P,使得以A,B,C,P為頂點的四邊形為“準等邊四邊形”.若存在，請求出該“準等邊

四邊形”的面積；若不存在，請說明理由.

26.感知：如圖①，在正方形ABC。中，E是A3一點，F是AD延長線上一點，且

DF=BE，求證：CE=CF；

拓展：在圖①中，若G在AD，且NGC￡=45°,則GE=BE+G￡>成立嗎？為什么？

運用：如圖②在四邊形ABC。中，AD//BC(BOAD),NA=NB=90。，

AB=BC=\6,E是AB上一點，且N￡>CE=45°,BE=,求。E的長.

圖①圖②

27.如圖，點A的坐標為(一6,6),軸，垂足為3,AC_Ly軸，垂足為C,點

2E分別是射線3。、上的動點，且點。不與點3、。重合，ZDAE=45°.

(ffii)02)

（1）如圖1,當點。在線段8。上時，求ADOE的周長；

（2）如圖2,當點。在線段8。的延長線上時，設AADE的面積為耳，ADOE的面積為

S1,請猜想5與，之間的等量關系，并證明你的猜想.

28.如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E在邊AD所在的直線上，連接CE,以

CE為邊，作正方形CEFG（點C、E、F、G按逆時針排列），連接BF.

（1）如圖1,當點E與點D重合時，BF的長為；

（2）如圖2,當點E在線段AD上時，若AE=1,求BF的長；（提示：過點F作BC的垂

線，交BC的延長線于點M,交AD的延長線于點N.）

（3）當點E在直線AD上時，若AE=4,請直接寫出BF的長.

29.問題背景

若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關于這條底邊互為頂

針點；若再滿足兩個頂角的和是180。，則稱這兩個頂點關于這條底邊互為勾股頂針點.

如圖1,四邊形A8CO中，8C是一條對角線，A/B=AC，DB=DC，則點A與點。

關于8c互為頂針點；若再滿足NA+NO=180。，則點A與點。關于BC互為勾股頂針

點.

圖4

備用圖”

初步思考

⑴如圖2,在ABC中，AB=AC,ZABC=30°,。、E為ABC外兩點，

EB=EC，ZEBC=45。,△OBC為等邊三角形.

①點A與點關于8c互為頂針點；

②點。與點關于互為勾股頂針點，并說明理由.

實踐操作

(2)在長方形ABC。中，AB=8,AO=10.

①如圖3,點E在AB邊上，點尸在AO邊上，請用圓規和無刻度的直尺作出點E、F.

使得點E與點C關于互為勾股頂針點.(不寫作法，保留作圖痕跡)

思維探究

②如圖4,點E是直線A8上的動點，點P是平面內一點，點E與點C關于BP互為勾股

頂針點，直線CP與直線AO交于點尸.在點E運動過程中，線段BE與線段AE的長度

是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由.

30.如圖，在平行四邊形ABCD中，N84￡＞的平分線交于點E,交。。的延長線于

F,以EC、C戶為鄰邊作平行四邊形ECEG。

(1)證明平行四邊形ECFG是菱形；

(2)若NABC=120°，連結3G、CG、DG,①求證：DG8BGE；②求NBDG

的度數；

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.C

解析：C

【解析】

【分析】

根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱

形，然后根據菱形的對角線互相垂直平分，并且平分每一組對角的性質對各小題進行判斷

即可得答案.

【詳解】

：E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點，

1111

；.EF=—CD,FG=-AB,GH=-CD,HE=-AB,

2222

VAB=CD,

?\EF=FG=GH=HE,

二四邊形EFGH是菱形，故②錯誤，

.\EG±FH,HF平分NEHG；故①③正確，

二四邊形EFGH的周長=EF=FG=GH=HE=2AB,故⑤正確，

沒有條件可證明EG=』BC,故④錯誤，

2

,正確的結論有：①③⑤，共3個，

故選C.

【點睛】

本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質，根據三角形的中位線定理與

AB=CD判定四邊形EFGH是菱形并熟練掌握菱形的性質是解答本題的關鍵.

2.C

解析：C

【分析】

如圖，設DE交AP于0,根據菱形的性質、翻折不變性-判斷即可解決問題；

【詳解】

解：如圖，設DE交AP于O.

???四邊形ABCD是菱形

/.DA=DC=AB

???A.P關于DE對稱，

ADE1AP,OA=OP

ADA=DP

???DP=CD,故①正確

VAE=EB,AO=OP

AOE//PB,

???PB_LPA

.\ZAPB=90°

PA1+PB2=AB2=CD2,故②正確

若NDCP=75°，則NCDP=30°

VLADC=60°

；.DP平分NADC,顯然不符合題意，故③錯誤：

VZADC=60°,DA=DP=DC

/DAP=/DPA,NDCP=NDPC,NCPA=(360°-60°)=150°,故④正確.

故選：C

【點睛】

本題考查菱形的性質、軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，

屬于中考常考題型.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

由對稱的性質和菱形的定義證出四邊形AEGF是菱形，得出NEAF=2NBAC=120。，當

ADJ_BC最小時，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，求出AD=0,

即可得出四邊形AEGF的面積的最小值.

【詳解】

由對稱的性質得：AE=AD=AF,

?.?四邊形AEGF是平行四邊形，

四邊形AEGF是菱形，

AZEAF=2ZBAC=120",

當ADJ_BC最小時，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面積最小，

；/ABC=45°,AB=2,

.,.AD=V2，

四邊形AEGF的面積的最小值=gx(及JxQ.

故選：D

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、對稱的性質；熟練掌握平行四邊形的

性質，證明四邊形是菱形是解決問題的關鍵.

4.D

解析：D

【分析】

①作輔助線，延長HF交AD于點L,連接CF,通過證明4ADF絲ZXCDF,可得：AF=CF,故

需證明FC=FH,可證：AF=FH；

②由FH±AE,AF=FH,可得：ZHAE=45°；

③作輔助線，連接AC交BD于點。，證BD=2FG,只需證OA=GF即可，根據

△AOF^AFGH,可證。A=GF,故可證BD=2FG；

④作輔助線，延長AD至點M,使AD=DM,過點C作a〃HL,則IL=HC,可證AL=HE,再

根據ZiMEC也△MIC,可證：CE=IM,故ACEH的周長為邊AM的長.

【詳解】

??,BD為正方形ABCD的對角線，

AZADB=ZCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

AAADF^ACDF.

AFC=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

AZLHC+ZDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

AZFHC=ZFCH,

AFH=FC.

AFH=AF.

②?.?FH_LAE,FH=AF,

.?.ZHAE=45°.

③連接AC交BD于點O,可知：BD=2OA,

?.,NAFO+NGFH=NGHF+NGFH,

/.ZAFO=ZGHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

AAAGF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=2OA,

ABD=2FG.

④連接EM,延長AD至點M,使AD=DM,過點C作CI〃HL,貝lj：LI=HC,

VHL1AE,CI〃HL,

AAElCI,

AZDIC+ZEAD=90",

：/EAD+/AED=90°,

.??ZDIC=ZAED,

VED1AM,AD=DM,

EA=EM,

AZAED=ZMED,

AZDIC=ZDEM,

AZCIM=ZCEM,

VCM=MC,ZECM=ZCMI=45°,

.?.△MEC絲△CIM,可得:CE=IM,

同理，可得:AL=HE,

，HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

...△CEH的周長為8,為定值.

故①②③④結論都正確.

故選D.

【點睛】

解答本題要充分利用正方形的特殊性質，在解題過程中要多次利用三角形全等.

5.D

解析：D

【分析】

由題意知道AE=t,CF=2t,連接BD,證明△DEBgADFC,得到EB=FC=2t,進而

AB=AE+EB=3t=5,進而求出t的值.

【詳解】

解：連接DB,如下圖所示，

:四邊形ABCD為菱形，且NADC=120。，

/CDB=60°

.'△CDB為等邊三角形，；.DB=DC

又「△DEF為等邊三角形，.,.ZEDF=60°,DE=DF

.,.ZCDB=ZEDF

ZCDB-ZBDF=ZEDF-ZBDF

，NCDF=/BDE

在4EDB和4FDC中：

DE=DF

<^EDB=Z.FDC,.,.△EDB^AFDC(SAS)

DB=DC

：.FC=BE=2t

；.AB=AE+EB=t+2t=3t=5

5

，t=-.

3

故答案為：D.

【點睛】

本題考查了三角形全等、菱形的性質等相關知識，關鍵是能想到連接BD后證明三角形全

等，本題是動點問題，將線段長用t的代數式表示，化動為靜.

6.A

解析：A

【分析】

如下圖，根據點H是AF的中點和HM〃FE,可得HP是4ANF的中位線，四邊形MPNE是

矩形，再根據中位線的性質和矩形的性質，可推導求得HM、CM的長，在Rt^HCM中求CH

即可

【詳解】

如下圖，過點H作BE的垂線，交BE于點M,延長AD交FE于點N,交HM于點P

,四邊形ABCD、CEFG是正方形，AADlEF,ZE=90°

VHM1BE

/.四邊形PMEN是矩形

VBC=1,CE=3

；.NE=1,.,.FN=2.PM=1

VHM±BE,FE_LBE,點H是AF的中點

；.HM是AANF的中位線

.".HP=-EF=1,AP=PN=2

2

.?.在RtZXCHM中，CH=75

故選：A

【點睛】

本題考查正方形的性質和三角形中位線定理，解題關鍵是將梯形ABEF分割成矩形和三角

形的形式，然后才可利用三角形中位線定理.

7.A

解析：A

【分析】

計算前三個正方形的面積從而得出一般規律求解.

【詳解】

順次連接正方形A3CD四邊的中點得到第一個正方形

則正方形AUGA的面積為1x1=1

正方形A/ZGA的面積為

1

正方形AAGA的面積為8-

正方形A,B“C”D”的面積為(；)"=+

根據規律可得，第六個正方形4B6c的面積為(-)6=^=—

2264

【點睛】

本題考查了特殊正方形中的面積計算，解題的關鍵在于找出規律，根據規律求解.

8.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當點E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當E在CD

上時，4ABE的面積不變；③當E在AD上時，E與D重合時，^ABE的面積最大，根據三

角形的面積公式可得結論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當點E在BC上時，E與C重合時，4ABE的面積最大，如圖1,

過A作AF_LBC于F,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,

AZC+ZB=180°,

VZC=120°,

AZB=60°,

Rtz^ABF中，ZBAF=30°,

.?.BF=；AB=1,AF=5

此時^ABE的最大面積為：；X4X6=2JL

②當E在CD上時，如圖2,此時，Z\ABE的面積=LS,ABCD=LX4X6=2JL

22

③當E在AD上時，E與D重合時，^ABE的面積最大，此時，4ABE的面積=26，

綜上，4ABE的面積的最大值是2百；

故選：D.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質以及勾股定理等

知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，并運用分類討論的思想解決問題.

9.C

解析：c

【分析】

利用SAS證明△AGBg^ACE,即可判斷①；證明/BNM=/MAE=90。，即可判斷②；假設

③成立，利用勾股定理對等式變形證得AC=8C,而AC與8。不一定相等，即可判斷

③；利用勾股定理證得BC2+EG2=BE2+CG2.從而證得結論④成立.

【詳解】

V四邊形ACFG和四邊形ABOE都是正方形，

；.AC=AG,AB=AE,

VZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

SAAGB和AACE中，

AG=AC

?/JNGAB=NCAE,

AB=AE

.,.△AGB^AACE(SAS),

，GB=CE,故①正確；

G

VAAGB^AACE,

.".ZGBA=ZCEA,

又：NBMN=/EMA,

/.ZBNM=ZMAE=90°,

：.EC±BG,故②正確；

設正方形ACFG和正方形ABDE的邊長分別為。和b,

VAC8為直角三角形，且AB為斜邊，

???AB2-AC2=b2-a2=BC2>

假設FG2+BF2=2BD2+BC2成立，

則有/+（“+3。）2=2〃+8。2,

整理得：2aBC=2（b2-a2y即。BC=BC?，

a=BC,即AC—BC>

與BC不一定相等，

假設不成立，故③不正確；

連接CG,BE,設BG、CE相交于N,

G

ECLBG,

???BC2+EG2=BN2+NC2+EN2+NG2=BN2+EN2+NC2+NG2=BE2+CG2，

?.?四邊形ACHG和四邊形ABOE都是正方形，

二BE2=2AB2，CG2=2AC2.

BC2+EG2=2AB2+2AC2，故④正確；

綜上，①②④正確，

故選：C.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直的定

義、勾股定理的應用，靈活運用勾股定理是解題的關鍵.

10.D

解析：D

【分析】

分別利用平行線的性質結合線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質分別判斷得出答

案.

【詳解】

BC=EC,

.\ZCEB=ZCBE,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

，DC〃AB,

NCEB=NEBF,

?\NCBE=NEBF,

...①BE平分NCBF,正確；

：BC=EC,CF1BE,

NECF=NBCF,

...②CF平分NDCB,正確；

：DC〃AB,

.\ZDCF=ZCFB,

：NECF=NBCF,

NCFB=NBCF,

，BF=BC,

...③正確；

：FB=BC,CF±BE,

，B點一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC,

APF=PC,故④正確.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質以及線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質等知

識，正確應用等腰三角形的性質是解題關鍵.

二、填空題

11.V2

【分析】

過B點作HE的平行線交AC于。點，延長EG交AB于I點，得到B0=2HE,其中0點在線

段AC上運動，再由點到直線的距離垂線段最短求出B0的長即可求解.

【詳解】

解：過B點作HE的平行線交AC于。點，延長EG交AB于I點，如下圖所示：

VH是BG的中點，且BO與HE平行，

AHE為△BOG的中位線,且BO=2HE,

故要使得HE最短，只需要BO最短即可，

當E點位于C點時，則。點與C點重合，

當E點位于D點時，則。點與A點重合，

故E點在CD上運動時，。點在AC上運動，

由點到直線的距離垂線段最短可知，當BO_LAC時，此時B0最短，

?.?四邊形ABCD是正方形，

??.△BOC為等腰直角三角形，且BC=4,、

80=半=，=2近，

V2V2

HE=-BO=yf2,

2

故答案為：yf2■

【點睛】

本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，點到直線的距離垂線段最短等知識

點，本題的關鍵是要學會將要求的HE線段長轉移到線段B0上.

12.200m

【分析】

如圖，延長AC、BD交于點E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M,則四邊形EDHF,

四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，AABC是等邊三角形，由此即可解決問題.

【詳解】

如圖，延長AC、BD交于點E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

：/A=/B=60°

ZE=ISO一ZA—ZB=60

??.△ABC是等邊三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

九曲橋"的總長度是AE+EB=2AB=200m

故答案為：200m.

【點睛】

本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內角和的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行

四邊形、等邊三角形、三角形內角和的性質，從而完成求解.

13.472

【分析】

首先由對邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4ADF空△ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點為。，過A點分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

1.,ABHCD,ADIIBC,

...四邊形ABCD為平行四邊形,

ZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

/.AF=AE,

ZADF=NABE

,.?<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

：.△ADFM△ABE,

AD=AB,

四邊形ABCD為菱形,

???AC與BD相互垂直平分，

???BD二2y/AB2-AO2=472

故本題答案為：4后

【點睛】

本題考察了菱形的相關性質，綜合運用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構造一定

要從相關條件以及可運用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

14.472

【分析】

作P點關于線段AE的對稱點P',根據軸對稱將DQ+PQ轉換成DP'，然后當

OPLAC的時候OP是最小的，得到。P'長，最后求出正方形邊長DC.

【詳解】

?；AE是ZDAC的角平分線，

???P點關于線段AE的對稱點一定在線段AC上，記為P

由軸對稱可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如圖，當。P_LAC的時候。P'是最小的，也就是。Q+PQ取最小值4,

???。尸=4，

由正方形的性質產'是AC的中點，且r)p'=p'c,

在mDCP中，DCZDP'PC?7『+不=?=4曰

故答案是：40.

【點睛】

本題考查軸對稱的最短路徑問題，解題的關鍵是能夠分析出力Q+PQ取最小值的狀態,

并將它轉換成QP去求解.

15.8或12

【分析】

根據平行四邊形的性質得到BC=AD=5,ZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,根據角平分線的性質

得到DE=AD=5,CF=BC=5,即可求出答案.

【詳解】

在ABCD中，AB〃CD,BC=AD=5,

AZBAE=ZDEA,ZABF=ZBFC,

,//胡。的平分線交CD于點E,

.\ZBAE=ZDAE,

AZDAE=ZDEA,

；.DE=AD=5,

同理:CF=BC=5,

；.AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12,

故答案為：8或12.

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質，角平分線的性質，等腰三角形的等角對等邊的判定，解題中

注意分類思想的運用，避免漏解.

16.16或10

【分析】

等腰三角形一般分情況討論：(1)當DB，=DC=16；(2)當BD=B，C時，作輔助線，構建平

行四邊形AGHD和直角三角形EGB',計算EG和B'G的長，根據勾股定理可得B'D的長；

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形,

DC=AB=16,AD=BC=18.

分兩種情況討論：

(1)如圖2,當DB'=DC=16時,即△CDB'是以DB為腰的等腰三角形

B

圖2

(2)如圖3,當B'D=B'C時，過點B作GHIIAD,分別交AB與CD于點G、H.

圖3

四邊形ABCD是矩形，

ABIICD,ZA=90"

又GHIIAD,

四邊形AGHD是平行四邊形，又NA=90。，

四邊形AGHD是矩形，

AG=DH,ZGHD=90\即B'H_LCD,

又B'D=B'C,

DH=HC=-C￡>=8,AG=DH=8,

3

???AE=3,

/.BE=EB'=AB-AE=16-3=13,

EG=AG-AE=8-3=5,

在RtZkEGB'中，由勾股定理得：

GBZ=7132-52=12-

B'H=GHXGB'=18-12=6,

在RtAB'HD中，由勾股定理得：Q'D=762+82=10

綜上，DB'的長為16或10.

故答案為：16或10

【點睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質，勾股定理，等腰三角形一般需要分類討論.

17.①②④.

【分析】

利用折疊性質得NCBE=NFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,則可得到

/EBG=；NABC,于是可對①進行判斷；在Rt^ABF中利用勾股定理計算出AF=8,則

DF=AD-AF=2,設AG=x,則GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到x?+42=(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可對②④進行判斷；接著證明△ABFS/\DFE,利用

DFAF4AB6ABDF

相似比得到蕓=嚓=；,而——=?=2,所以——豐——，所以4DEF與4ABG不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可對③進行判斷.

【詳解】

解：?.?△BCE沿8E折疊，點C恰落在邊AD上的點尸處；點G在AF上，

將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，

:./CBE=NFBE,/A8G=NFBG,8F=8C=10,BH=BA=6,AG=GH,

，NEBG=NEBF+NFBG=gNCBF+；NABF=；/ABC=45°,所以①正確;

在RtAABF中，AF=yjBF2-AB-=7102-62=8，

Z.DF=AD-AF=W-8=2,

設AG=x,貝I」GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=W-6=4,

在RtAGFH中，

'：GH2+HF2^GF2,

：.x2+42=(8-x)2,解得x=3,

：.GF=5,

.：AG+DF=FG=5,所以④正確；

「△BCE沿8E折疊，點C恰落在邊AD上的點F處，

AZBf￡=ZC=90°,

：.ZEFD+ZAFB=90°,

而NAFB+NABF=90°,

NABF=NEFD,

：./XABF^/XDFE,

,AB_AF

"DF-DE)

?DE_AF_8_4

"DF-AB-6-1)

=AB6

而——=一=2,

AG3

ABDE

------w-------,

AGDF

.'△DEF與AABG不相似；所以③錯誤.

11

「SAABG=-X6X3=9,SAGHF=—X3X4=6,

22

3_

??SAABG——SAFGH>所以②正確.

故答案是：①②④.

GD

【點睛】

本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有

的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質

時，主要利用相似比計算線段的長.也考查了折疊和矩形的性質.

18.5

【分析】

先判斷四邊形BCEF的形狀，再連接RW、FC,利用正方形的性質得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性質得出MN=1EC即可.

2

【詳解】

四邊形ABCP是邊長為4的正方形，EF//BC,

二四邊形3CEE是矩形，

?；PE=1，

/.CE=3,

連接fM、FC,如圖所示：

?.?四邊形ABCP是正方形，

AZBAC=45，AEG是等腰直角三角形，

是AG的中點，即有AM=MG,

AFM1AG,是直角三角形，

又TN是FC中點，MN=-FC,

2

FC=^BF2+BC2=5

:.MN=25,

故答案為：2.5.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性質，解題的關鍵在

于合理作出輔助線，通過直角三角形的性質轉化求解.

19.2^/5-V2

【分析】

連接A凡CF,AC,利用勾股定理求出AC、AF,再根據三角形的三邊關系得到當點A,

F,C在同一直線上時，CF的長最小，最小值為2石-V2.

【詳解】

解：如圖，連接AF,CF,AC,

:長方形A8CD中AB=2,BC=4,正方形AEFG的邊長為1,

：.AC=2y/5,AF=6，

"：AF+CF>AC,

：.CF>AC-AF,

.??當點A,F,C在同一直線上時，CF的長最小，最小值為26-0,

故答案為：26-V2.

G

【點睛】

此題考查矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角形的三邊關系.

20.伍豆U

2

【分析】

（1）根據折疊的性質可得出，四邊形AFED為正方形，CE=GE=BF,

/AEB+/GBE=/ABE+/EBC,即ZAEB=/ABE，得出AB=AE,繼而可得

解；

（2）結合（1）可知，AE=AM=41a-因為EC=3BM,所以有BM=，EW,求出

2

BM,繼而可得解.

【詳解】

解：（1）由折疊的性質可得，

CE=GE=BF,NAEB+/GBE=/ABE+/EBC,即/AFR=/AAF,,

/.AB=AE,

AE=也月、=\[2ci

???AB=缶?

（2）結合（1）可知，AE=AM="z，

FM=V2tz—a>

VEC=3BM,

BM=-FM

2

/.BM=

2

.AD仄^/la—a3>/2—1

??AB=72aH------------=----------a-

22

故答案為：!——―-a-

2

【點睛】

本題是一道關于折疊的綜合題目，主要考查折疊的性質，弄清題意，結合圖形找出線段間

的數量關系是解題的關鍵.

三、解答題

21.(1)見解析；(2)VTT

【分析】

(1)根據題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD可得平行四邊形ABCD是菱

形；

(2)根據菱形的性質得出0A的長，根據直角三角形斜邊中線定理得出OE=gAC,在

2

RfAACE應用勾股定理即可解答.

【詳解】

(1)證明：；CD,

ZOAB=ZDCA,

?；AC為NDW的平分線，

ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

CD=AD=AB,

?；AB//CD,

四邊形ABC。是平行四邊形，

,/AD^AB，

???ABC。是菱形；

(2)

?..四邊形ABC。是菱形

，AO=CO

CELAB

：.ZAEC=90°

AC=2OE=6

22

在MAACE中，CE=S!AC-AE=Vii

故答案為（2）Jfl.

【點睛】

本題主要考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，角平分線的定義，勾股定

理，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

22.（1）詳見解析；（2）是，詳見解析；（3）1372

【分析】

（1）平行四邊形的性質可得AD〃BC,AB〃CD,再根據平行線的性質證明NCEF=NCFE,

根據等角對等邊可得CE=CF,再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱

形，即可解決問題；

（2）先判斷出NBEGEZO啾NDCG,再判斷出AB=BE,進而得出BE=CD,即可判斷出

△BEG^ADCG（SAS）,再判斷出NCGE=60。，進而得出aBDG是等邊三角形，即可得出結

論；

（3）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明ABME四△DMC可得DM=BM,

ZDMC=ZBME,再根據NBMD=/BME+NEMD=/DMC+/EMD=90。可得到△BDM是等腰直

角三角形，由等腰直角三角形的性質即可得到結論.

【詳解】

（1）證明：

VAF平分/BAD,

；./BAF=/DAF,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AB/7CD,

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZCFE,

.\ZCEF=ZCFE,

；.CE=CF,

又四邊形ECFG是平行四邊形，

.??四邊形ECFG為菱形；

（2）二?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃DC,AB=DC,AD〃BC,

?.*ZABC=120\

AZBCD=6O°,ZBCF=120°

由（1）知，四邊形CEGF是菱形，

1

；.CE=GE,/BCG=-/BCF=60°,

2

，CG=GE=CE,NDCG=12O°,

VEG/7DF,

AZBEG=12O°=ZDCG,

VAE是/BAD的平分線，

ZDAE=ZBAE,

；AD〃BC,

/.ZDAE=ZAEB,

.\ZBAE=ZAEB,

；.AB=BE,

；.BE=CD,

.".△BEG^ADCG(SAS),

；.BG=DG,NBGE=NDGC,

NBGD=NCGE,

VCG=GE=CE,

...△CEG是等邊三角形，

.\ZCGE=60\

/BGD=60°,

VBG=DG,

/.△BDG是等邊三角形；

(3)如圖2中，連接BM,MC,

VZABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形,

...四邊形ABCD是矩形，

又由(1)可知四邊形ECFG為菱形，

ZECF=90",

四邊形ECFG為正方形.

VZBAF=ZDAF,

；.BE=AB=DC,

VM為EF中點，

/.ZCEM=ZECM=45",

AZBEM=ZDCM=135",

在ABME和ADMC中，

BE=CD

?：lNBEM=ADCM,

EM=CM

.?.△BME絲△DMC(SAS),

；.MB=MD,

ZDMC=ZBME.

AZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,

.?.△BMD是等腰直角三角形.

VAB=10,AD=24,

?*-BD=y/AB2+AD2=V102+242=26，

/.DM=—=.

2

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定

與性質，菱形的判定與性質，正方形的判定與性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識

點，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法.

14

23.