2024屆江西省撫州市臨川第二中學數學高二下期末學業質量監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數a,b滿足a+b<0，則()A．a,b都小于0B．a,b都大于0C．a,b中至少有一個大于0D．a,b中至少有一個小于02．某一批花生種子，如果每1粒發芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是（）A． B． C． D．3．如圖，在三棱錐中，點D是棱的中點，若，，，則等于（）A． B． C． D．4．袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A． B． C． D．5．由①安夢怡是高二（1）班的學生，②安夢怡是獨生子女，③高二（1）班的學生都是獨生子女，寫一個“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②6．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）A．210種 B．420種 C．630種 D．840種7．已知函數fxA．fx的最小正周期為π，最大值為B．fx的最小正周期為π，最大值為C．fx的最小正周期為2πD．fx的最小正周期為2π8．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位9．已知非零向量滿足，若函數在R上存在極值，則和夾角的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知函數是可導函數，且，則()A． B． C． D．11．執行下面的程序框圖，若輸出的結果為，則判斷框中的條件是（）A． B． C． D．12．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內切圓，現在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數的單調遞增區間是，則的值是__________．14．函數的單調減區間是________.15．將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點數之和，則的概率為______.16．若直角坐標平面內兩點滿足點都在函數的圖像上，且點關于原點對稱，則稱是函數一個“姊妹點對”（與可看作同一“姊妹點對”）.已知則的“姊妹點對”有_______個.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.18．（12分）若數列的前項和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.19．（12分）已知函數.（1）若不等式的解集，求實數的值.（2）在（1）的條件下，若存在實數使成立，求實數的取值范圍.20．（12分）山西省2021年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統一高考科目為語文、數學、外語，自主選擇的3門普通高中學業水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數不直接用，而是按照學生分數在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分。根據高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個等級.參照正態分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到八個分數區間，得到考生的等級成績。舉例說明1：甲同學化學學科原始分為65分，化學學科等級的原始分分布區間為，則該同學化學學科的原始成績屬等級，而等級的轉換分區間為那么，甲同學化學學科的轉換分為：設甲同學化學科的轉換等級分為，求得.四舍五入后甲同學化學學科賦分成績為66分。舉例說明2：乙同學化學學科原始分為69分，化學學科等級的原始分分布區間為則該同學化學學科的原始成績屬等級.而等級的轉換分區間為這時不用公式，乙同學化學學科賦分成績直接取下端點70分?，F有復興中學高一年級共3000人，為給高一學生合理選科提供依據，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態分布。且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為，且等級為所在原始分分布區間為（1）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學科賦分成績；（精確到整數）.（2）若以復興中學此次考試頻率為依據，在學校隨機抽取4人，記這4人中物理原始成績在區間的人數，求的數學期望和方差.（精確到小數點后三位數）.附：若隨機變量滿足正態分布，給出以下數據，21．（12分）某超市為了解氣溫對某產品銷售量的影響，隨機記錄了該超市12月份中天的日銷售量(單位：千克)與該地當日最低氣溫(單位:)的數據，如下表所示:求關于的線性回歸方程；（精確到）判斷與之間是正相關還是負相關；若該地12月份某天的最低氣溫為，請用中的回歸方程預測該超市當日的銷售量.參考公式：，參考數據：，22．（10分）己知拋物線的頂點在原點，焦點為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是拋物線上一點，過點的直線交于另一點，滿足與在點處的切線垂直，求面積的最小值，并求此時點的坐標。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】假設a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,則a+b≥0,這與a+b<0相矛盾,因此假設錯誤,即a,b中至少有一個小于0.2、B【解題分析】

解：根據題意，播下4粒種子恰有2粒發芽即4次獨立重復事件恰好發生2次，由n次獨立重復事件恰好發生k次的概率的公式可得，故選B．3、A【解題分析】

利用向量的三角形法則，表示所求向量，化簡求解即可．【題目詳解】解：由題意在三棱錐中，點是棱的中點，若，，，可知：，，，．故選：．【題目點撥】本題考查向量的三角形法則，空間向量與平面向量的轉化，屬于基礎題．4、C【解題分析】

從袋中任取2個球，基本事件總數n．所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數m，利用古典概型公式可得所求．【題目詳解】袋中共有10個除了顏色外完全相同的球，其中有6個白球，4個紅球，從袋中任取2個球，基本事件總數n1．所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球包含的基本事件個數m24，∴所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、D【解題分析】

根據三段論推理的形式“大前提，小前提，結論”，根據大前提、小前提和結論的關系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學生都是獨生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學生；結論：②安夢怡是獨生子女，故選D.【題目點撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】依題意可得，3位實習教師中可能是一男兩女或兩男一女．若是一男兩女，則有種選派方案，若是兩男一女，則有種選派方案．所以總共有種不同選派方案，故選B7、B【解題分析】

首先利用余弦的倍角公式，對函數解析式進行化簡，將解析式化簡為fx=【題目詳解】根據題意有fx所以函數fx的最小正周期為T=且最大值為fxmax=【題目點撥】該題考查的是有關化簡三角函數解析式，并且通過余弦型函數的相關性質得到函數的性質，在解題的過程中，要注意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結果.8、B【解題分析】

=cos2x,=,所以只需將函數的圖象向右平移個單位可得到故選B9、B【解題分析】設和的夾角為∵在上存在極值∴有兩個不同的實根，即∵∴，即∵∴故選B點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數量積公式、利用導數研究函數的極值，屬于難題.平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直則；(4)求向量的模（平方后需求）.10、C【解題分析】分析：由題意結合導數的定義整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：,即：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查函數在某一點處導數的定義及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、C【解題分析】

根據已知的程序語句可得，該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，即可得出答案.【題目詳解】解：當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，不滿足輸出結果為，進行循環后，，；當時，滿足輸出結果為，故進行循環的條件，應為：.故選：C.【題目點撥】本題考查程序框圖的應用，屬于基礎題.12、B【解題分析】分析：設大正方形的邊長為1，其內切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設大正方形的邊長為1，其內切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據題意，準確求解陰影部分的面積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數與方程思想的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可求的單調區間；詳解：若，則，即在上單調遞增，不符題意，舍；

若，令，可得或（舍去）x(0，2?aa2?aa（2?aaf′（x）-0+f（x）減增)，+∞）∴在上是減函數，在上是增函數；根據題意若函數的單調遞增區間是，則即答案為1.點睛：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是關鍵．14、【解題分析】

根據對數型復合函數單調區間的求法，求得的單調減區間.【題目詳解】由得，解得，所以的定義域為，由于的開口向下，對稱軸為；在上遞減.根據復合函數單調性同增異減可知，的單調減區間為.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查對數型復合函數單調區間的求法，屬于基礎題.15、【解題分析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個數，由此能出事件“”的概率．詳解：將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點數之和，則基本數值總數，事件“”包含的基本事件有：共6個，∴事件“”的概率．即答案為.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．16、2.【解題分析】

根據題意可知，只需作出函數y=x2+2x（x<0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數交點個數即可．【題目詳解】根據題意可知，“友好點對”滿足兩點：都在函數圖象上，且關于坐標原點對稱.可作出函數的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數交點個數即可.如圖所示：當時，觀察圖象可得：它們有2個交點.故答案為：2.【題目點撥】本題考查函數的新定義問題，根據已知條件將問題轉化為零點個數問題，利用數形結合畫出圖像即可求解，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）在中由余弦定理得，再由正弦定理能求出；（2），四邊形ABCD的面積，由此能求出結果．【題目詳解】（1）在平面四邊形中，，，，．中，由余弦定理可得：，∵，∴．（2）中，，【題目點撥】本題考查角的正弦值、四邊形面積的求法，考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當是否成立，假設時，猜想成立，即：，證明當也成立，可得證明【題目詳解】解：（1）由題意：，，當時，可得，可得同理當時：，可得當時：，可得（2）猜想.證明如下：①時，符合猜想，所以時，猜想成立.②假設時，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對恒成立.則時，，所以時，猜想成立.綜合①②可知，對恒成立.【題目點撥】本題主要考查數列的遞推式及通項公式的應用，數學歸納法的證明方法的應用，考查學生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）由根據絕對值不等式的解法列不等式組，結合不等式的解集，求得的值.（2）利用絕對值不等式，證得的最小值為4，由此求得的取值范圍.【題目詳解】（1）∵函數，故不等式，即，即，求得.再根據不等式的解集為.可得，∴實數.（2）在（1）的條件下，，∴存在實數使成立，即，由于，∴的最小值為2，∴，故實數的取值范圍是.【題目點撥】本小題主要考查根據絕對值不等式的解集求參數，考查利用絕對值不等式求解存在性問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解題分析】

（1）根據題意列式求解（2）先確定區間，再根據正態分布求特定區間概率，最后根據二項分布求期望與方差.【題目詳解】解（1）小明同學且等級為,設小明轉換后的物理等級分為，求得．小明轉換后的物理成績為82小紅同學且等級為，且等級為所在原始分分布區間為，小紅為本等級最