湖南省湖南師大附中2024屆高二數學第二學期期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某醫院擬派2名內科醫生、3名外科醫生和3名護士共8人組成兩個醫療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡診，其中每個分隊都必須有內科醫生、外科醫生和護士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種2．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國研學.有人詢問了四名員工，甲說：“好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去.”丙說：“是丁去了.”丁說：“丙說的不對.”若四名員工中只有一個人說的對，則出國研學的員工是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．下列隨機試驗的結果，不能用離散型隨機變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數之和B．某籃球運動員6次罰球中投進的球數C．電視機的使用壽命D．從含有3件次品的50件產品中，任取2件，其中抽到次品的件數4．已知D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，則xy的取值范圍是A． B． C． D．5．函數f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調函數,則實數m的取值范圍是（）A． B．C． D．6．某研究機構在對具有線性相關的兩個變量和進行統計分析時，得到如表數據．由表中數據求得關于的回歸方程為，則在這些樣本點中任取一點，該點落在回歸直線下方的概率為（）468101212356A． B． C． D．7．在中，角的對邊分別是，若，則的值為（）A．1 B． C． D．8．證明等式時，某學生的證明過程如下（1）當n=1時，，等式成立；（2）假設時，等式成立，即，則當時，，所以當時，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過程全都正確 B．當n=1時驗證不正確C．歸納假設不正確 D．從到的推理不正確9．設，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件10．已知a>0，b>－1，且a＋b＝1，則的最小值為()A． B． C． D．11．若函數，則（）A． B． C． D．12．給出以下命題，其中真命題的個數是若“或”是假命題，則“且”是真命題命題“若，則或”為真命題已知空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面；直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有3條；A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將集合的元素分成互不相交的三個子集：，其中,，，且，，則滿足條件的集合有__________個．14．在的二項展開式中，常數項的值為__________15．5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為______.16．乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記為等差數列的前項和，已知，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．18．（12分）求證：19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l過點P(2,6)，且傾斜角為34π，在極坐標系（與平面直角坐標系xOy取相同的長度，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為（1）求直線l的參數方程與曲線C的直角坐標方程；（2）設曲線C與直線l交于點A,B，求|PA|+|PB|．20．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的最小值及相應的值.21．（12分）極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線的參數方程為（t為參數），曲線C的極坐標方程為．（1）求C的直角坐標方程；（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|AB|．22．（10分）已知，定義.（1）求的值；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據條件2名內科醫生，每個村一名，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，根據排列組合進行計算即可．【題目詳解】2名內科醫生，每個村一名，有2種方法，3名外科醫生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫生和1名護士，若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【題目點撥】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于常考題型.2、A【解題分析】

逐一假設成立，分析，可推出。【題目詳解】若乙去，則甲、乙、丁都說的對，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對，丁說的對，符合題意.故選A.【題目點撥】本題考查合情推理，屬于基礎題。3、C【解題分析】分析：直接利用離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.詳解：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續型隨機變量兩種，隨機變量的函數仍為隨機變量，有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為“離散型隨機變量”，題目中都屬于離散型隨機變量，而電視機的使用壽命屬于連續型隨機變量，故選C.點睛：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續型隨機變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續型），隨機變量的函數仍為隨機變量，本題考的離散型隨機變量.4、D【解題分析】

利用已知條件推出x+y＝1，然后利用x，y的范圍，利用基本不等式求解xy的最值．【題目詳解】解：D，E是邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若，可得，x，，則，當且僅當時取等號，并且，函數的開口向下，對稱軸為：，當或時，取最小值，xy的最小值為：．則xy的取值范圍是：故選D．【題目點撥】本題考查函數的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．5、C【解題分析】

求出導函數，轉化為有兩個不同的實數根即可求解.【題目詳解】因為f(x)=x3-x2+mx+1，所以，又因為函數f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的單調函數,所以有兩個不同的實數解，可得，即實數m的取值范圍是，故選：C.【題目點撥】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查了轉化思想的應用，屬于基礎題.轉化是數學解題的靈魂，合理的轉化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將單調性問題轉化為方程問題是解題的關鍵6、A【解題分析】分析：求出樣本點的中心，求出的值，得到回歸方程得到5個點中落在回歸直線下方的有（，共2個，求出概率即可．詳解：故，解得：，

則

故5個點中落在回歸直線下方的有，共2個，

故所求概率是，

故選A．點睛：本題考查了回歸方程問題，考查概率的計算以及樣本點的中心，是一道基礎題．7、C【解題分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依據余弦定理列出關于角的關系式，化簡即得．【題目詳解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故選C.【題目點撥】本題主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等變換．8、A【解題分析】分析：由題意結合數學歸納法的證明方法考查所給的證明過程是否存在錯誤即可.詳解：考查所給的證明過程：當時驗證是正確的，歸納假設是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過程中不存在任何的問題.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查數學歸納法的概念及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.9、C【解題分析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．10、A【解題分析】分析：由，且，變形可得利用導數求其最值；詳解：，且a＋b＝1，∴．

令，解得，此時函數單調遞增；令，解得此時函數單調遞減．

∴當且僅當時，函數取得極小值即最小值，點睛：本題考查利用導數研究函數的最值，屬中檔題.11、A【解題分析】

首先計算，然后再計算的值.【題目詳解】,.故選A.【題目點撥】本題考查了分段函數求值，屬于計算題型.12、C【解題分析】(1)若“或”是假命題，則是假命題p是真命題，是假命題是真命題，故且真命題,選項正確.(2)命題“若，則或”的逆否命題是若a=2,且b=3,則a+b=5.這個命題是真命題，故原命題也是真命題.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四點共面，故（3）正確，（4）由雙曲線方程得a=2，c=3，即直線l：y=k（x﹣3）過雙曲線的右焦點，∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2a=4，a+c=2+3=5，∴當直線與雙曲線左右兩支各有一個交點時，當k=0時2a=4，則滿足|AB|=5的直線有2條，當直線與實軸垂直時，當x=c=3時，得，即=，即則y=±，此時通徑長為5，若|AB|=5，則此時直線AB的斜率不存在，故不滿足條件．綜上可知有2條直線滿足|AB|=5，故（4）錯誤，故答案為C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

分析：由可得，令，則，，，然后列舉出的值，從而可得結果.詳解：，所以，令，根據合理安排性，集合的最大一個元素，必定為：，則，又，，①當時，同理可得.②當時，同理可得或，綜上，一共有種，故答案為.點睛：本題考查主要考查集合與元素的關系，意在考查抽象思維能力，轉化與劃歸思想，分類討論思想應用，屬于難題.解得本題的關鍵是首項確定，從而得到，由此打開突破點.14、15【解題分析】

寫出二項展開式通項，通過得到，從而求得常數項.【題目詳解】二項展開式通項為：當時，常數項為：本題正確結果：【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題.15、240.【解題分析】

先把5本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的三個元素分給四個同學，相當于在四個位置全排列，根據分步乘法計數原理即可得出結果.【題目詳解】從5本書中取出兩本看做一個元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個元素分給四個同學共有種不同的分法，根據分步乘法計數原理，共有種不同的分法.故答案為：240【題目點撥】本題主要考查了排列組合的綜合應用，分步乘法計數原理，屬于中檔題.16、【解題分析】分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進而求得的最大值.詳解：采用三局兩勝制，

則甲在下列兩種情況下獲勝：（甲凈勝二局），（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）．因為與互斥，所以甲勝概率為則設即答案為.，注意到，則函數在和單調遞減，在上單調遞增，故函數在處取得極大值，也是最大值，最大值為即答案為.點睛：本題考查概率的求法和應用以及利用導數求函數最值的方法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2），最小值為?1．【解題分析】

（Ⅰ）根據等差數列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通項公式；（Ⅱ）根據等差數列的求和公式得Sn=n2-8n，根據二次函數的性質，可得Sn的最小值.【題目詳解】（I）設的公差為d，由題意得．由得d=2．所以的通項公式為．（II）由（I）得．所以當n=4時，取得最小值，最小值為?1．【題目點撥】本題考查了等差數列的通項公式，考查了等差數列的前n項的和公式，考查了等差數列前n項和的最值問題；求等差數列前n項和的最值有兩種方法：①函數法，②鄰項變號法.18、證明見解析．【解題分析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡后再一次平方可尋找到沒有根號，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因為都是正數，所以為了證明只需證明展開得即因為成立，所以成立即證明了【題目點撥】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.19、（1）x=2-22ty=6+2【解題分析】試題分析：（1）將代入直線的標準參數方程x=x0+tcosθy=y0+tsinθ，便可求得參數方程，利用二倍角公式對試題解析：（1）因為直線l過點P(2,6)，且傾斜角為3π4所以直線l的參數方程為x=2-22t由ρ=20sin(π所以曲線C的直角坐標方程為x2（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得(-3-22t)Δ=82