2024屆江西省撫州市臨川區一中數學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數學歸納法證明“當為正奇數時，能被整除”，第二步歸納假設應該寫成（）A．假設當時，能被整除B．假設當時，能被整除C．假設當時，能被整除D．假設當時，能被整除2．復數的虛部為（）A． B． C．1 D．23．下列三個數：，，，大小順序正確的是（）A． B． C． D．4．函數的零點所在的一個區間是（）A． B． C． D．5．的展開式中常數項為()A．-240 B．-160 C．240 D．1606．設直線的一個方向向量，平面的一個法向量，則直線與平面的位置關系是（）.A．垂直 B．平行C．直線在平面內 D．直線在平面內或平行7．曲線在點處的切線方程是（）A． B． C． D．8．某同學將收集到的六組數據制作成散點圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計算其相關系數為r1，相關指數為R12.經過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的5組數據計算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a=0.12 D．9．經過伸縮變換后所得圖形的焦距（）A． B． C．4 D．610．“因為偶函數的圖象關于軸對稱，而函數是偶函數，所以的圖象關于軸對稱”.在上述演繹推理中，所以結論錯誤的原因是（）A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．大前提與推理形式都錯誤11．下列函數中既是奇函數又在區間（﹣∞，0）上單調遞增的函數是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝12．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內的一條動直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，且，則實數的取值范圍是__________．14．設等差數列的前項和為，，，則取得最小值的值為________．15．雙曲線上一點到點的距離為9，則點到點的距離______.16．若不等式的解集為，則實數的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4-4：坐標系與參數方程]在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），且與曲線交于，兩點.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點的極坐標為，若，求.18．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）若與相交于兩點，，求；（2）圓的圓心在極軸上，且圓經過極點，若被圓截得的弦長為，求圓的半徑．19．（12分）在銳角中，角的對邊分別為，中線，滿足.（1）求；（2）若，求周長的取值范圍.20．（12分）為推動乒乓球運動的發展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協會”，求事件發生的概率；（2）設為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.21．（12分）如圖，已知三棱柱，底面，，，為的中點.（I）證明：面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）《厲害了，我的國》這部電影記錄：到2017年底，我國高鐵營運里程達2.5萬公里，位居世界第一位，超過第二名至第十名的總和，約占世界高鐵總量的三分之二.如圖是我國2009年至2017年高鐵營運里程（單位：萬公里）的折線圖.根據這9年的高鐵營運里程，甲、乙兩位同學分別選擇了與時間變量的兩個回歸模型①：；②.（1）求，（精確到0.01）；（2）乙求得模型②的回歸方程為，你認為哪個模型的擬合效果更好？并說明理由.附：參考公式：，，.參考數據：1.3976.942850.220.093.72

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】注意n為正奇數，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設．解：根據數學歸納法的證明步驟，注意n為奇數，所以第二步歸納假設應寫成：假設n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎題，不僅注意第二步的假設，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關鍵．2、A【解題分析】

由復數除法化復數為代數形式，根據復數概念可得．【題目詳解】因為，所以復數的虛部為，故選：A.【題目點撥】本題考查復數的除法運算，考查復數的概念．屬于簡單題．3、A【解題分析】

將與化成相同的真數，然后利用換底公式與對數函數的單調性比較的大小，然后再利用中間量比較的大小，從而得出三者的大小．【題目詳解】解：因為，且，所以，因為，所以．故選A．【題目點撥】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、A【解題分析】分析：判斷函數值，利用零點定理推出結果即可．詳解：函數，可得：f（﹣1）=5＞0，f（0）=3＞0，f（1）=＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣，由零點定理可知，函數的零點在（2，3）內．故選A．點睛：本題考查零點存在定理的應用，考查計算能力．零點存在性定理：如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．5、C【解題分析】

求得二項式的通項，令，代入即可求解展開式的常數項，即可求解.【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當時，，即展開式的常數項為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了二項式的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.6、D【解題分析】∵直線的一個方向向量，平面的一個法向量∴∴直線在平面內或平行故選D.7、D【解題分析】

求導得到，故，計算切線得到答案.【題目詳解】，，，所以切線方程為，即.故選：.【題目點撥】本題考查了切線方程，意在考查學生的計算能力.8、B【解題分析】

根據相關性的正負判斷r1和r2的正負，根據兩個模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【題目詳解】由圖可知兩變量呈現正相關，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經過樣本中心點(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經過樣本中心點所以b=0.44，也可直接根據圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D【題目點撥】本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質、相關系數、相關指數的特點，意在考查學生對這些知識點的理解，屬于中等題。9、A【解題分析】

用，表示出，，代入原方程得出變換后的方程，從而得出焦距．【題目詳解】由得，代入得，∴橢圓的焦距為，故選A．【題目點撥】本題主要考查了伸縮變換，橢圓的基本性質，屬于基礎題．10、B【解題分析】分析：因為函數不是偶函數，是一個非奇非偶函數，所以小前提錯誤.詳解：因為,所以，所以函數f(x)不是偶函數，所以小前提錯誤.故答案為：B.點睛：本題主要考查演繹推理中的三段論和函數奇偶性的判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平.11、A【解題分析】

由函數的奇偶性的定義和常見函數的單調性，即可得到符合題意的函數．【題目詳解】對于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定義域為R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數，當x＜0時，由y＝2x，y＝﹣2﹣x遞增，可得在區間（﹣∞，0）上f（x）單調遞增，故A正確；y＝f（x）＝x2+1滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數，故B不滿足條件；y＝f（x）＝（）|x|滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數，故C不滿足題意；y為奇函數，且在區間（﹣∞，0）上f（x）單調遞減，故D不滿足題意．故選：A．【題目點撥】本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，注意運用常見函數的奇偶性和單調性，考查判斷能力，屬于基礎題．12、B【解題分析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當直線與異面垂直時，所成角的正弦值最大.【題目詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B【題目點撥】本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉化思想，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：求出，由，列出不等式組能求出結果．詳解：根據題意可得，，由可得即答案為.點睛：本題考查實數的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．14、2【解題分析】

求出數列的首項和公差，求出的表達式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號成立時的值，于此可得出答案．【題目詳解】設等等差數列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號成立，當且僅當時，等號成立，但，由雙勾函數的單調性可知，當或時，取最小值，當時，；當時，，，因此，當時，取最小值，故答案為．【題目點撥】本題考查等差數列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個條件，在等號不成立時，則應考查雙勾函數的單調性求解，考查分析能力與計算能力，屬于中等題．15、或【解題分析】

先根據雙曲線方程求出焦點坐標，再結合雙曲線的定義可得到，進而可求出的值，得到答案.【題目詳解】雙曲線，，，，和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，，解或，，或，故答案為：或.【題目點撥】本題主要考查的是雙曲線的定義，屬于基礎題.求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據求解，注意對所求結果進行必要的驗證，負數應該舍去，且所求距離應該不小于.16、【解題分析】

因為不等式的解集（舍），,，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解題分析】分析：（1）先求出曲線的直角坐標方程，再利用直角坐標與極坐標的互化即可；（2）利用參數的幾何意義可得.詳解：（1）曲線的直角坐標方程為，即，∵，，∴，即，此即為曲線的極坐標方程.（2）點的直角坐標為，設，兩點對應的參數為，，將直線的參數方程代入，得，則，由參數的幾何意義可知，，，故.點睛：求解與極坐標有關的問題的主要方法(1)直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用；(2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．18、（1）6；（2）13.【解題分析】

（1）將直線參數方程代入圓的直角坐標方程，利用求解得到結果；（2）寫出的普通方程并假設圓的直角坐標方程，利用弦長為建立與的關系，再結合圓心到直線距離公式得到方程，解方程求得，即為圓的半徑.【題目詳解】（1）由，得將代入，得設兩點對應的參數分別為，則故（2）直線的普通方程為設圓的方程為圓心到直線的距離為因為，所以解得：或（舍）則圓的半徑為【題目點撥】本題考查直線參數方程中參數的幾何意義、極坐標與直角坐標的互化、參數方程化普通方程.解決直線參數方程問題中距離之和或積的關鍵，是明確直線參數方程標準形式中的參數的幾何意義，將距離問題轉化為韋達定理的形式.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用，兩邊平方后，代入，利用余弦定理求得的值，進而求得.（2）利用正弦定理進行轉化，結合三角函數值域的求法，求得周長的取值范圍.【題目詳解】（1）由于是三角形的中線，所以，兩邊平方并化簡得，將代入上式得，故，所以.（2）由正弦定理得，而，所以的周長為，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，也即三角形周長的取值范圍是.【題目點撥】本小題主要考查向量運算，考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查輔助角公式，考查三角函數值域的求法，屬于中檔