高考數學(理)一輪復習課件定積分與微積分基本定理(廣東專用)匯報人：AA2024-01-25定積分基本概念與性質微積分基本定理及其應用不定積分基本概念與性質定積分與微積分基本定理的聯系與區別目錄高考中常見的定積分與微積分基本定理題型解析定積分與微積分基本定理的復習策略與建議目錄01定積分基本概念與性質VS設函數$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，將區間$[a,b]$分成$n$個小區間，每個小區間的長度記為$Deltax_i$，在每個小區間上任取一點$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。當$n$無限增大，且$lambda=max{Deltax_1,Deltax_2,ldots,Deltax_n}to0$時，上述和式的極限存在，則稱此極限為函數$f(x)$在區間$[a,b]$上的定積分，記作$int_{a}^{b}f(x)dx$。定積分的幾何意義定積分$int_{a}^{b}f(x)dx$的幾何意義是曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b$及$x$軸所圍成的平面圖形的面積。若$f(x)geq0$，則定積分值等于該平面圖形的面積；若$f(x)leq0$，則定積分值等于該平面圖形面積的負值。定積分的定義定積分的定義及幾何意義保號性若在區間$[a,b]$上，$f(x)geq0$，則$int_{a}^{b}f(x)dxgeq0$；若在區間$[a,b]$上，$f(x)leq0$，則$int_{a}^{b}f(x)dxleq0$。可加性對于區間$[a,b]$和$[b,c]$，有$int_{a}^{c}f(x)dx=int_{a}^{b}f(x)dx+int_{b}^{c}f(x)dx$。線性性質對于常數$k$和$m$，有$int_{a}^{b}[kf(x)+m]dx=kint_{a}^{b}f(x)dx+m(b-a)$。區間可加性若$a<c<b$，則$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^{b}f(x)dx$。定積分的性質設函數$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，且存在單調可導的函數$x=varphi(t)$，使得$varphi(t_1)=a,varphi(t_2)=b$。則有換元公式$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{t_1}^{t_2}f[varphi(t)]varphi'(t)dt$。換元法設函數$u=u(x)$和$v=v(x)$在區間$[a,b]$上具有連續導數，則有分部積分公式$int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$。分部積分法若函數$F(x)$是連續函數$f(x)$在區間$[a,b]$上的一個原函數，則有牛頓-萊布尼茲公式$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。牛頓-萊布尼茲公式定積分的計算法則02微積分基本定理及其應用微積分基本定理的表述表述一如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，且存在原函數F(x)，則∫f(x)dx=F(b)-F(a)。表述二設F(x)是f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則∫f(x)dx=F(x)|ab=F(b)-F(a)。通過變上限積分函數及其導數，引入原函數的概念，得到微積分基本定理的表述一。推導過程一利用牛頓-萊布尼茲公式，將定積分轉化為被積函數的原函數在積分區間上的增量，得到微積分基本定理的表述二。推導過程二微積分基本定理的推導過程應用舉例一求解定積分。通過找到被積函數的原函數，利用微積分基本定理計算定積分的值。應用舉例二證明等式或不等式。通過構造函數并利用微積分基本定理，可以證明某些等式或不等式成立。應用舉例三解決物理問題。在物理中，很多問題可以通過建立數學模型并應用微積分基本定理來解決，如計算物體的位移、速度、加速度等。微積分基本定理的應用舉例03不定積分基本概念與性質不定積分的定義設函數$f(x)$在區間$I$上有定義，如果存在可導函數$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$對任意$xinI$都成立，則稱$F(x)$為$f(x)$在區間$I$上的一個原函數。不定積分的幾何意義不定積分$intf(x)dx$表示的是被積函數$f(x)$與$x$軸所圍成的面積（或體積、長度等）的代數和。當$f(x)>0$時，表示面積在$x$軸上方；當$f(x)<0$時，表示面積在$x$軸下方。不定積分的定義及幾何意義線性性質$int[af(x)+bg(x)]dx=aintf(x)dx+bintg(x)dx$，其中$a,b$為常數。積分區間可加性$int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx$，其中$a<c<b$。積分常數性質$intkdx=kx+C$，其中$k$為常數。積分與微分互逆性質如果函數$F(x)$是函數$f(x)$的一個原函數，則有$intf(x)dx=F(x)+C$，且$[F(x)+C]'=f(x)$。不定積分的性質不定積分的計算法則換元法通過變量代換將復雜的不定積分轉化為簡單的不定積分進行計算。常見的換元法有三角代換、根式代換等。直接積分法對于一些基本的初等函數，可以直接套用基本積分公式進行積分。分部積分法對于形如$intu(x)v'(x)dx$的不定積分，可以通過分部積分公式$intu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-intu'(x)v(x)dx$進行計算。其中，$u(x)$和$v'(x)$分別是被積函數的兩個因子，且要求$v'(x)$容易積分。04定積分與微積分基本定理的聯系與區別定義上的聯系定積分和微積分基本定理都是基于函數在某區間上的性質進行研究，其中定積分是求函數圖像與x軸圍成的面積，而微積分基本定理則建立了函數原函數（不定積分）與定積分之間的聯系。計算上的聯系通過微積分基本定理，我們可以將定積分的計算轉化為求原函數（不定積分）在某點的函數值之差，從而大大簡化了定積分的計算過程。定積分與微積分基本定理的聯系定積分與微積分基本定理的區別定積分研究的是函數在某一區間上與x軸圍成的面積，而微積分基本定理研究的是函數原函數（不定積分）與定積分之間的關系。研究對象不同定積分具有可加性、保號性、絕對值不等式等性質，而微積分基本定理則揭示了原函數（不定積分）與定積分之間的內在聯系，使得我們可以方便地通過求原函數來計算定積分。性質不同定積分與微積分基本定理的綜合應用在實際問題中，往往需要將定積分與微積分基本定理結合起來進行綜合應用，例如求解物體的體積、面積、長度等物理量，或者求解經濟學中的邊際效應等問題。結合實際問題進行綜合應用通過求出被積函數的原函數（不定積分），然后利用微積分基本定理將定積分的計算轉化為求原函數在某點的函數值之差。利用微積分基本定理計算定積分通過定積分的性質如可加性、保號性等，可以分析出函數在某些特定區間的增減性、凹凸性等性質。利用定積分的性質分析函數的性質05高考中常見的定積分與微積分基本定理題型解析定積分的計算考查定積分的計算方法，包括換元法、分部積分法等，以及定積分的簡單應用，如求面積、體積、弧長等。定積分在物理中的應用考查利用定積分解決物理問題的能力，如變力做功、液體靜壓力、引力等。定積分的概念和性質考查定積分的定義、性質及幾何意義，如求曲邊梯形的面積、變力做功等。高考中常見的定積分題型解析01考查對微積分基本定理的理解和掌握，包括定理的表述、意義及證明過程。微積分基本定理的表述和意義02考查利用微積分基本定理求解定積分的能力，包括直接應用和間接應用。微積分基本定理的應用03考查利用微積分基本定理解決實際問題的能力，如經濟學中的邊際分析、物理學中的運動學問題等。微積分基本定理在解決實際問題中的應用高考中常見的微積分基本定理題型解析高考中定積分與微積分基本定理的綜合應用題型解析考查學生的創新意識和探究能力，如設計新的定積分或微積分基本定理的應用場景，或探究定積分和微積分基本定理在實際問題中的更深層次的應用。創新題型和探究性問題考查綜合運用定積分和微積分基本定理解決問題的能力，如求解復雜的面積、體積問題，以及涉及多個變量的實際問題。定積分與微積分基本定理的綜合應用考查利用定積分和微積分基本定理解決實際問題的能力，如經濟學中的成本、收益分析，物理學中的復雜運動學問題等。定積分與微積分基本定理在解決實際問題中的綜合應用06定積分與微積分基本定理的復習策略與建議梳理知識框架，形成知識體系01回顧定積分的定義、性質及幾何意義，理解定積分與不定積分的聯系與區別。02掌握微積分基本定理的內容，理解其物理意義，能夠運用定理進行積分計算。梳理定積分與微積分基本定理的知識框架，形成清晰的知識體系，為后續復習打下基礎。03010203熟練掌握定積分的計算方法和技巧，如換元法、分部積分法等。掌握定積分在幾何、物理等方面的應