華東師大版第27章圓27.2.3切線

根據圖形，回答以下問題：（1）在圖中，直線l分別與⊙O的是什么關系？（2）在上邊三個圖中，哪個圖中的直線l是圓的切線？

你是怎樣判斷的？ＯABC問題：已知圓O上一點A，怎樣根據圓的切線定義過點A作圓O的切線？觀察：（1）圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數量關系?（2）二者位置有什么關系？為什么？O1知識點切線的判定經過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．OA為⊙O的半徑BC

⊥

OA于ABC為⊙O的切線ABC切線的判定定理應用格式O要點歸納要點精析：切線必須同時具備兩個條件：(1)直線過半徑的外端；(2)直線垂直于半徑．判一判：下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因為沒有垂直.(2),(3)不是，因為沒有經過半徑的外端點A.

在此定理中，“經過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.注意判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;2.數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；3.判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點歸納例1

如圖,∠ABC=45°，直線AB是☉O上的直徑，點A,且AB=AC.求證：AC是☉O的切線.解析：直線AC經過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.證明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.

∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.

∵AB是☉O的直徑，∴AC是☉O的切線.AOCB例2已知：直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OBAC分析：由于AB過⊙O上的點C，所以連接OC，只要證明AB⊥OC即可.

證明：連接OC(如圖).∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半徑,∴AB是⊙O的切線.

例3

如圖,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中點，⊙O

與AB

相切于E.求證：AC

是⊙O的切線．BOCEA分析：根據切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OF是⊙O的半徑就可以了，而OE是⊙O的半徑，因此只需要證明OF=OE.F證明：連接OE，OA,過O作OF⊥AC.∵⊙O與AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，

O是BC的中點．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切線．又OE⊥AB，OF⊥AC.如圖，已知直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB求證：直線AB是⊙O的切線.CBAO如圖，OA＝OB=5，AB＝8,⊙O的直徑為6.求證：直線AB是⊙O的切線.CBAO對比思考？作垂直連接方法歸納

(1)有切點，連半徑，證垂直;

(2)無切點，作垂直，證半徑.證切線時輔助線的添加方法例1例2有切線時常用輔助線添加方法

(1)

見切點，連半徑，得垂直.切線的其他重要結論

(1)經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點;（2）經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.要點歸納

1

導引：如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，以點D為圓心，DB為半徑作⊙D.求證：AC與⊙D相切．2直線AC是否與⊙D有公共點不確定，不能像上例那樣“連半徑，證垂直”，為此，過D點作DF⊥AC于點F，由d＝r?直線與圓相切可知，只需證DF＝DB即可．導引：如圖，過點D作DF⊥AC于點F.∵∠B＝90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF＝DB.∴AC與⊙D相切．證明：思考：如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點A為切點，那么OA與l垂直嗎？AlO∵直線l是⊙O

的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.切線性質

圓的切線垂直于經過切點的半徑．應用格式2知識點切線的性質小亮的理由是:直徑AB與直線CD要么垂直,要么不垂直.（1）假設AB與CD不垂直,過點O作一條直徑垂直于CD,垂足為M,（2）則OM<OA,即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑,因此,CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB與CD垂直.M證法1：反證法.性質定理的證明CDOA證法2：構造法.作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點A,且A點為CD的中點，連接OA,根據垂徑定理，則CD⊥OA,即圓的切線垂直于經過切點的半徑．1.性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．要點精析：(1)性質定理的題設有兩個條件：①圓的切線；②半徑過切點，應用時缺一不可．(2)切線的判定定理與性質定理的區別：切線的判定定理

是在未知相切而要證明相切的情況下使用，切線的性

質定理是在已知相切而要推得其他的結論時使用；它

們是一個互逆的過程，不要混淆．2.切線的性質：溫故：(1)切線和圓只有一個公共點；(2)圓心到切線的距離等于半徑；(3)圓的切線垂直于過切點的半徑．知新：(推論)(4)經過圓心且垂直于切線的直線必過切點(找切點用)；(5)經過切點且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用)．以上(3)(4)(5)可歸納為：已知直線滿足：①過圓心；②過切點；③垂直于切線中的任意兩個，就可得到第三個．拓展：(1)弦切角的定義：頂點在圓上，一邊與圓相交(弦)，另

一邊與圓相切(切線)的角叫做弦切角．(2)弦切角的性質：弦切角的度數等于它所夾弧所對的

圓周角的度數，亦等于它所夾弧的度數的一半，也

等于它所夾弧所對的圓心角度數的一半．如圖所示，AB

為⊙O

的直徑，PD

切⊙O

于點C，交AB

的延長線于點D，且∠D=2∠CAD.（1）求∠D

的度數.（2）若CD=2，求BD的長.例3（1）利用“等半徑”得等腰三角形；（2）利用“切線”垂直于過切點的半徑構成直角三角形，再結合相關性質求解.導引：

1．(3分)下列直線中能判定為圓的切線的是()A．與圓有公共點的直線B．過圓的半徑外端的直線C．垂直于圓的半徑且與圓有公共點的直線D．過半徑的外端且與半徑垂直的直線D2．(4分)如圖，點B在⊙A上，點C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是()A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B－∠C＝∠AC．AB2＋BC2＝AC2D．AC的中點在⊙A上D3．(4分)如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于點E，要使DE是⊙O的切線，還需補充一個條件，則補充的條件不正確的是()A．DE＝DOB．AB＝ACC．CD＝DBD．AC∥ODA【點撥】連結PO，利用切線長定理得到PA＝PB，由∠APB＝60°，得到∠APO＝30°，再利用勾股定理求出AP的長，同理，由切線長定理可知，MA＝MC，NC＝NB，△PMN的周長等于PA＋PB，即2AP.【答案】C6．【中考·云南】如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是(

)A．4B．6.25C．7.5D．9A【點撥】如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴△ABC的內切圓和外接圓是同心圓，圓心為O.設D、E為切點，連結OE、OD、OA，易得點A、O、D共線，則OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A正確．在Rt△AOE中，OA＝2OE，即R＝2r，故B正確．【答案】C8．(4分)(駐馬店二模)以O為中心點的量角器與三角板ABC按如圖所示擺放，直角頂點B在零刻度線所在直線DE上，且量角器與三角板只有一個公共點P，若點P的讀數為35°，則∠CBD的度數是()A．55°B．45°C．35°D．25°C9．(8分)(河南中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于點F，連結BD.(1)求證：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的長．解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，∴BD⊥AC.∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠FCB.∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E.(1)求證：∠A＝∠ADE；證明：如圖，連結OD.∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠A＝∠ADE.(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的長．解：如圖，連結CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線．∴ED＝EC.∴AE＝EC＝DE.∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.11．【中考·資陽】如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度數；解：∵PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°.∵∠APB＝60°，∴△APB是等邊三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠BAC＝90°－∠BAP＝30°.(2)若PA＝1，求點O到弦AB的距離．12．(12分)(河南模擬)如圖，點A是⊙O直徑BD延長線上的一點，AC是⊙O的切線，C為切點，AD＝CD.(1)求證：AC＝BC；(2)若⊙O的半徑為1，求△ABC的面積．解：(1)證明：連結OC，∵AC為切線，C為切點，∴∠ACO＝90°，即∠DCO＋∠2＝90°.又∵BD是直徑，∴∠BCD＝90°，即∠DCO＋∠1＝90°，∴∠1＝∠2.∵AD＝CD，OB＝OC，∴∠A＝∠2，∠B＝∠1，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC13．(1)如圖①，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，切點分別為E、F、G、H，說明AB＋CD與BC＋AD的大小關系；解：由切線長定理，得AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝D