考點12等比數列等比數列定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(不為零)，那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．二．等比數列的有關公式1.通項公式：：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.2.前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))三．等比中項1.等比中項：如果a、G、b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?G2＝ab．“a，G，b成等比數列”是“G是a與b的等比中項”的充分不必要條件．2.若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,r)；四．等比數列的前n項和1.數列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數列；2.數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數列(此時{an}的公比q≠－1)．五．等比數列的判定方法1.定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數且n≥2)，則{an}是等比數列．2.中項公式法：若數列{an}中an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數列{an}是等比數列．3.通項公式法：若數列的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數，n∈N*)，則{an}是等比數列．4.前n項和公式法：若數列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數列．注意：(1)前兩種方法是判定等比數列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．(2)若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續三項不成等比數列即可．六.等比數列的單調性當q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時，{an}是遞增數列；當q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時，{an}是遞減數列；當q＝1時，{an}是常數列．考點一等比數列基本量的計算【例】（2023·云南）在等比數列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)，，求；(6)，，求；(7)，，求；(8)，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或(8)【解析】（1）等比數列中，，，則.（2）等比數列中，，，，由，可得.（3）等比數列中，，，由，可得.（4）等比數列中，，，由，可得.（5），，故（6），又，故，故，（7）由，可得，即，解得或.（8），故，即【變式】（2023·廣東各地節選）已知數列為等比數列，前n項和為(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．(5)，，求；(6)，，求q；(7)，，求．(8)，，求n；(9)，求及.【答案】(1)(2)(3)(4)378(5)(6)或(7)(8)6(9)，【解析】（1）由，，得（2）由，，得（3）由，，得（4）由，，得（5）等比數列中，，，，解得．（6）在等比數列中，，，顯然公比，，整理得，解得或．（7）因為，，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，則.（8）顯然，由，即，解得，又，即，所以.（9）由知，由題意得

，兩式相除得，得，，所以，.考點二等比中項【例21】（2023·寧夏銀川）已知數列為等比數列，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由題設，則，所以.故選：B【例22】（2023·北京）正項等比數列中，是方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵是方程的兩根，∴，∵數列為正項等比數列，∴，∴，故選：A．【變式】1．（2023·江蘇蘇州）已知等比數列中，，，則（

）A．4或 B． C．4 D．8【答案】C【解析】設公比為，則，因為，，所以，所以.故選：C.2．（2023·云南大理）已知各項均為正數的等比數列，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由等比數列，，，有，又因為各項均為正數，所以.故選：C．3．（2023·上海閔行）已知等比數列，是方程的兩個實數根，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，且數列為等比數列，設其公比為，則，，.故選：B.4．（2023·四川甘孜·統考一模）在等比數列中，是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是等比數列，且，是方程的兩根，所以：，且，.根據等比數列的性質，得：，且，所以∴.故選：A5．（2023河南）在由正數組成的等比數列中，若，的為A． B． C． D．【答案】A【解析】在等比數列{an}中，由，得則故選A.考點三等比數列前n項和的性質【例31】（2023·遼寧）等比數列的前項和為，若，則（

）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】A【解析】設等比數列的公比為q，當時，，不合題意；當時，等比數列前項和公式，依題意.故選：A【例32】（2023·廣東）等比數列的前m項和為4，前項和為12，則它的前項和是（

）A．28 B．48C．36 D．52【答案】A【解析】設等比數列的前項和為，則依題意有，則，且，根據等比數列前項和的性質有，成等比數列，所以，即，解得.故選：A.【例33】（2023·全國·模擬預測）設等比數列的前項和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因為，所以，，所以，所以.又，得，所以.故選：A.方法二因為，，所以，所以，所以.故選：A.【變式】1．（2023·四川宜賓）已知等比數列的前n項和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，所以等比數列的前n項和為，所以，解得.故選：D.2．（2023·河南省直轄縣級單位）等比數列的前項和為，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比數列性質可知，成等比數列，因為，所以，所以成等比數列，所以，所以，所以.故選：C.3．（2023·寧夏銀川）設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S3=8，S6=7，則S9等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】已知：，，成等比數列，且：，，∴，∴.故選：C4．（2023·全國·模擬預測）設等比數列的前項和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，因為，，所以，，得，所以，所以，所以．故選：．5．（2023上·河北石家莊·高三統考期中）已知數列是等比數列，為其前項和，若，，則（

）A．27 B．39 C．81 D．120【答案】D【解析】由題知，，，因為數列成等比數列，所以，所以.故選：D.考點四等比數列奇數項或偶數項之和【例41】（2023河北）已知一個等比數列的項數是是偶數，其奇數項之和1011，偶數項之和為2022，則這個數列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【解析】設該等比數列為,其項數為項，公比為,由題意易知，設奇數項之和為,偶數項之和為，易知奇數項組成的數列是首項為，公比為的等比數列，偶數項組成的數列是首項為，公比為的等比數列，則，，所以,即.所以這個數列的公比為2.故選:D.【例42】（2023·重慶）已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因為等比數列有項，則奇數項有項，偶數項有項，設公比為，得到奇數項為，偶數項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B【變式】1．（2023·安徽池州）已知等比數列的公比，前項和為，則其偶數項為（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【解析】設，則，又因為，所以，所以.故選:D2．（2023江西）已知一個項數為偶數的等比數列，所有項之和為所有偶數項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得所有項之和是所有偶數項之和的倍，所以，，故設等比數列的公比為，設該等比數列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.3．（2023·河南）已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為則，又，則，解得，故數列的所有項之和是.故選：D4．（2023·陜西寶雞）已知等比數列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】設等比數列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.考點五等比數列最值問題【例51】（2023廣西）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（

）A．

B．C．是數列中的最大值

D．數列無最大值【答案】A【解析】根據題意，等比數列中，，則有，有，又由0，即，必有，由此分析選項：對于A，，故，A正確；對于B，等比數列中，，，則，則，即，B錯誤；對于C，，則是數列中的最大項，C錯誤；對于D，由C的結論，D錯誤；故選：A.【變式】1．（2023黑龍江）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】C【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A正確．因為，所以，因此，即B正確．因為，所以單調遞增，即的最大值不為，C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：C2．（2022上·江西贛州·高三校聯考期中）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．是數列中的最大值 D．數列無最大值【答案】B【解析】當時，則，不合乎題意；當時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數列為單調遞減數列，則，結合可得，結合數列的單調性可得故，，∴，故B正確；是數列中的最大值,故CD錯誤故選：B.3．（2023·山東青島）（多選）已知各項均為正數的等比數列的前項積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．對任意的正整數，有 D．使得的最小正整數為4047【答案】BD【解析】依題意，，由于，所以或.若，則，則矛盾，所以，則，所以A選項錯誤.，B選項正確.由于，所以的最小值為，即，所以C選項錯誤.，由于，所以，所以，所以，由于，且，所以當時，，綜上所述，使得的最小正整數為，所以D選項正確.故選：BD考點六等比數列的證明與判斷【例6】（2023河南焦作）已知數列滿足，設.(1)判斷數列是否為等比數列，并說明理由;(2)求的通項公式.【答案】(1)是等比數列，理由見解析(2)【解析】（1）由題知:即:，又，是以1為首項,2為公比的等比數列（2）由（1）知:，.【變式】1．（2023·四川成都·統考二模）已知數列的首項為3，且滿足.(1)求證：是等比數列；(2)求數列的通項公式，并判斷數列是否是等比數列.【答案】(1)證明見解析(2)，數列不是等比數列【解析】（1）由，，得，又，所以是以為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）得，，所以所以數列不是等比數列.2.（2023秋·課時練習）已知數列滿足：，．(1)求證：為等比數列；(2)求的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）已知遞推公式，兩邊同時加上3，得：，因為，所以，又，所以數列是以為首項、以2為公比的等比數列.（2）由（1），則.3．（2023·全國·專題練習）已知數列的首項，.(1)證明：數列為等比數列；(2)求數列的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為，所以，即，且，所以數列是首項為，公比為的等比數列.（2）由（1）可求得，所以，即.考點七等比數列的實際應用【例7】（2023上·河南·高三校聯考階段練習）在《增減算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”.其大意是：有人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人第4天與第5天共走的里程數為（

）A．24 B．36 C．42 D．60【答案】B【解析】設第天走的里程數為，其中，由題意可知，數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，解得，所以此人第4天與第5天共走里程數為.故選：B.【變式】1．（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）某農村合作社引進先進技術提升某農產品的深加工技術，以此達到10年內每年此農產品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2023年到2032年該產品的銷售總額約為（參考數據：）（

）A．3937萬元 B．3837萬元C．3737萬元 D．3637萬元【答案】A【解析】設，，，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以則（萬元）.故選：A2．（2023·上海楊浦）我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”描述的問題是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則（

）天后兩鼠相遇.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設天后能打穿，則，化簡為，令，則，又由函數的單調性可知在內有唯一零點，所以至少需要天.故選：C.3．（2023北京）我國古代的數學名著《九章算術》中記載：“今有蒲生一日，長三尺，蒲生日自半”.其意為：今有蒲草第一日長高3尺，以后蒲草每日長高前一日的半數，則蒲草第5日的高度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由題意，蒲草每日增長的高度成等比數列，等比數列的首項為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數列前5項和，（尺），故選：D.4．（2023·河南洛陽）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層燈數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設頂層的燈數是，則每一層燈數形成以2為公比的等比數列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數是3.故選：A.1．（2023·江蘇南通）正項等比數列中，，，則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】設等比數列的公比為，因為數列為正項等比數列，所以，由題，則，所以，所以.故選：B2．（2023·河北邢臺）在等比數列中，若，則（

）A．6 B．9 C． D．【答案】A【解析】因為，所以（負值舍去），所以.故選：A3．（2023·江蘇常州）已知等比數列滿足，，則（

）A．26 B．78 C．104 D．130【答案】B【解析】設等比數列公比為，根據已知可得，，所以，，解得，所以，.故選：B.4．（2023·安徽合肥）在正項等比數列中，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【解析】因為為等比數列，所以，故，所以，又，所以.故選：C.5．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中學校聯考一模）已知等比數列的前項和為，，，則（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因為數列是等比數列，，所以，即，則.又因為，故有.所以，則，所有，所有，故B項正確.故選：B.6．（2023·黑龍江）在等比數列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】設等比數列的公比為，因為且，可得，可得.故選：B.7．（2023·天津和平）在等比數列中，成等差數列，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】設的公比為，則由題意可知或，顯然時，，無意義舍去；所以.故選：C8．（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數列滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設等比數列的公比為．由，得，解得，得．故選：A9．（2022·云南臨滄）已知正項等比數列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】等比數列中，，，.，，，∵正項等比數列，，則，.，，，，且，，當且僅當，即時等號成立.故選：A.10．（2023·陜西）已知數列是等差數列，數列是等比數列，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】數列是等差數列，，可得，即，數列是等比數列，，可得，可得，則.故選：B.11．（2023·河北邢臺）在正項等比數列中，為其前n項和，若，，則（

）A．786 B．240 C．486 D．726【答案】D【解析】因為為等比數列，所以，，，…仍為等比數列．設，因為，，所以6，，成等比數列．由，解得或（舍去），所以數列，，…的公比為3．因為，，，所以，，故，.故選：D12．（2023上·陜西榆林·高三校考階段練習）已知各項均為實數的等比數列的前項和為，若，，則（

）A．150 B．140 C．130 D．120【答案】A【解析】設等比數列的公比為，在等比數列中，由，可知，所以，，，構成公比為的等比數列.所以，即，解得（負值舍去）.因為，所以，.故選：A13（2023·浙江·統考一模）已知是等比數列的前項和，且，，則（

）A．11 B．13 C．15 D．17【答案】C【解析】因為是等比數列，是等比數列的前項和，所以成等比數列，且，所以，又因為，，所以，即，解得或，因為，所以，故選：C．14（2023甘肅）已知數列的前項和，則數列的前10項中所有奇數項之和與所有偶數項之和的比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】當時，，又，即前10項分別為，所以數列的前10項中，，所以，故選：C．15．（2023·安徽）已知項數為奇數的等比數列的首項為1，奇數項之和為21，偶數項之和為10，則這個等比數列的項數為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【解析】根據題意，數列為等比數列，設，又由數列的奇數項之和為21，偶數項之和為10，則，故；故選：16．（2023·江西）等比數列共有項，其中，偶數項和為84，奇數項和為170，則（

）A．3 B．4 C．7 D．9【答案】A【解析】因為等比數列共有項，所以等比數列中偶數項有項，奇數項有項，由題意得，所以偶數項和為，奇數項和為，相減得故選：A17．（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數列的前n項和為．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設正項等比數列的公比為，∵，∴.∵，∴，∴，∴，解得（負值舍去），∴，∴，∴．故選：A．18．（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設該馬第天行走的里程數為，由題意可知，數列是公比為的等比數列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數為.故選：D.19．（2023·安徽）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個熱氣球，在氣球上寫著“9年耕耘，碩果累累”8個大字，已知熱氣球在第一分鐘內能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經過（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【解析】設表示熱氣球在第n分鐘內上升的高度，由已知．所以前秒熱氣球上升的總高度，因為，所以數列為單調遞增數列，又，，所以該氣球至少要經過4分鐘才能上升到70高度，故選：B．20．（2023下·河南南陽）我國古代的數學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織十尺，問次日織幾問？其意為：一女子每天織布的尺數是前一天的2倍，5天共織布10尺，請問第二天織布的尺數是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得該女子每天織布的尺數成等比數列，設其首項為，公比為，由等比數列前項和公式，得到，解得；所以第二天織布的尺數為．故選：B．21．（2023上·陜西西安·高三西安中學校考階段練習）我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個問題體現了古代對數列問題的研究，現將墻的厚度改為1200尺，則需要幾天時間才能打穿（結果取整數）（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】設大鼠和小鼠每天穿墻尺寸分別構成數列，它們都是等比數列，其中，的公比為，的公比為，設經過天，大鼠和小鼠穿墻尺寸的和為，則，因為與在上均單調遞增，所以在上單調遞增，∵，，∴當時，，當時，，因此需要11天才能打穿，故選：B．27．（2023上·福建莆田）（多選）設等比數列的公比為，前項積為，并目滿足條件，，，則下列結論不正確的是（

）A． B． C．的最大值為 D．【答案】BC【解析】對于A，由，且，則，，若時，由，則，，所以，與已知條件矛盾，所以，故A正確；對于B，結合選項A可得，所以，故B不正確；對于C，結合選項A可得等比數列的公比為，所以數列為單調遞減數列，又結合選項A可得，所以的最大值為，故C不正確；對于D，結合選項A可得，所以，故D正確．故選：BC．28．（2023上·江西·高三鷹潭一中校聯考期中）（多選）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調遞增數列 B．C．為的最大項 D．無最大項【答案】BC【解析】由，因此.又因為則.當時，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調遞減數列，故選項A錯誤.而，故，選項B正確.又因為為單調遞減數列，則，由可知，，，所以當時，，則.當時，，則.因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.故答案為：BC.29（2023·江西上饒）（多選）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．1C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【解析】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A不正確．因為，所以，因此，故B正確．因為，所以單調遞增，即的最大值不為，故C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：BD.30．（2023·廣東珠海·統考模擬預測）設是等比數列，、是方程的兩個根，則.【答案】【解析】因為是等比數列，、是方程的兩個根，由韋達定理可得，由等比中項的性質可得，故.故答案為：.31．（2023·上海）數列是正數等比數列，且，則.【答案】7【解析】∵，且，，得：，又，所以：.故答案為：732．（2023·陜西西安）數列為等比數列，且，則．【答案】【解析】因為數列為等比數列，所以，又，則，所以.故答案為：.33．（2023·陜西·校聯考模擬預測）等比數列滿足：，則的最小值為．【答案】【解析】依題意，等比數列滿足：，所以，且，所以，當且僅當時等號成立，此時.所以的最小值為.故答案為：34．（2023·陜西西安·）在正項等比數列中，為其前項和，若，則.【答案】726【解析】因為為正項等比數列，所以仍為正項等比數列，設，因為，所以成正項等比數列，由，解得或（舍去），所以數列的公比為3，因為，所以，故.故答案為：726.35．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三校考開學考試）2020年12月17日凌晨1時59分，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸，這是我國首次實現了地外天體采樣返回，標志著中國航天向前又邁出了一大步．月球距離地球約38萬千米，有人說：在理想狀態下，若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折次其厚度就可以超過到達月球的距離，那么至少對折的次數是（，）【答案】【解析】設對折次時，紙的厚度為毫米，每次對折厚度變為原來的倍，由題意知是以為首項，公比為的等比數列，所以，令，即，所以，即，解得：，所以至少對折的次數是，故答案為：42.1．（2023·上海）的三內角、、所對的邊長分別為、、，若、、成等比數列，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，成等比數列，所以，又因為，所以由余弦定理得，故D項正確.故選：D.2．（2023·山西陽泉）兩數1?9的等差中項是a，等比中項是b，則曲線的離心率為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由題意，，若，曲線方程為，表示橢圓，離心率為，時，曲線方程為，表示雙曲線，離心率為．故選：A．3（2022·四川綿陽·一模（文））已知正項等比數列的前項和為，若，，成等差數列，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是正項等比數列，所以，，仍然構成等比數列，所以.又，，成等差數列，所以，，所以.又是正項等比數列，所以，，當且僅當時取等號.故選：B.4．（2023·全國·模擬預測）已知正項數列滿足，若存在，使得，則的最小值為（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【解析】因為，所以為等比數列，設的公比為，因為，所以，即，得．所以．因為，所以，當且僅當時等號成立，所以．故選：B.5．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測（文））已知中，，、分別是、的等差中項與等比中項，則的面積等于（

）A． B