深圳高級(jí)中學(xué)(集團(tuán))2023屆高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題答案

一、單選題

1.已知集合A={0,1,2},N={x\x^2a,aGA},則集合AN等于()

A.{0}；B.{0,1}；C.{1,2}；D.{0,2}.

【答案】D

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，x=2a=0；當(dāng)。=1時(shí)，x=2a=2；

當(dāng)。=2時(shí)，x=2a=4,故"={0,2,4},故AcN={0,2},故選：D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l—i)z=2,則2=()

A.-\-iB.-1+/C.1-zD.1+Z

【答案】D

【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

22(1+/)2(1+/)

【詳解】由題意可得：2=7—==_L^=i+,?.故選:D.

1-z(l-/)(l+z)2

3.等差數(shù)列{。,,}的首項(xiàng)為1,公差不為0,若出，如，必成等比數(shù)列，則{/}前6項(xiàng)的和

為()

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【分析】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差4(4工0)，由生，生，4成等比數(shù)列求出"，代入56可得

答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{q}的公差d(d/O),

???等差數(shù)列{4}的首項(xiàng)為1,a2M3,4成等比數(shù)列，

(4+24)2=(4+d)(q+5d),且q=i,

解得d=—2,

**?}前6項(xiàng)的和為S6=6alH---J=6x1H---x(—2)=—24.

故選：A.

2

4.在△ABC中，cosC=",AC=4,BC=3,則lanB=()

A.舊B.2&C.475D.8x/5

【答案】C

【分析】先根據(jù)余弦定理求c,再根據(jù)余弦定理求cosB,最后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系

求tanB.

【詳解】設(shè)AB=c,8c=。,。4=力

2

c1=/+〃一2Q/?COSC=9+16—2x3x4x—=9c=3

3

a2+c2-h21.1―I4A/5人￡

cos3=--------------=—/.sin5=Jl-(—)2=------/.tanB=4V5

2ac9V99

故選：C

5.已知一個(gè)直棱柱與一個(gè)斜棱柱的底面多邊形全等，且它們的側(cè)棱長也相等.若直棱

柱的體積和側(cè)面積分別為V；和H，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為匕和S2,則

A.B.

&S?S}S2

C.匕=5D.L與匕的大小關(guān)系無法確定

S,S2S1S2

【答案】A.

【解析】設(shè)棱柱的底面周長為。，底面面積為S,側(cè)棱長為/,斜棱柱的高為人，

VS.1s

則消=—7=—,而匕=S?/7,斜棱柱各側(cè)面的高均不小于力，所以S,>c],

S、c-lc

▼口一匕S-hS~,VV

于是，有—r=_>所以，2-

32chedjS2

6.已知向量a,Z7滿足1。1=5,2|=6,〃.在=一6，則cosv〃,a+b>=()

19

BYc.UD.

3535

【答案】D

【分析】計(jì)算出。|〃+〃|的值,利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出cos<〃,〃+〃〉的

值.

【詳解】忖=5,|b|=6,0.0=-6，.?.〃.(4+/?)=忖+々2=52-6=19.

卜+0=+="2+2a.b+b=j25-2x6+36=7,

a\a^b\1919

因此，cos<a,a+b>=-j—r-；-----r=--.故選：D.

々.a+b5x735

7.6名同學(xué)參加數(shù)學(xué)和物理兩項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽至少有1名同學(xué)參加，每名同學(xué)限報(bào)

其中一項(xiàng)，則兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)相等的概率為()

20nI。C.95

A.B.—D.

3?31168

試卷第2頁，共16頁

【答案】B

【分析】利用古典概型即可求得兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)相等的概率.

【詳解】記"兩項(xiàng)競賽參加人數(shù)相等“為事件4

33

貝|")=苧rC3=吧in

26-231

故選：B

1a9

8.已知“b=2廄,c=-e5,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a,b,c的大

lnV24

小關(guān)系為

A.a<c<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】c.

【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=《，得a=/(ln2),h=1c=/(4-),/(x)=x—-1e]

23x

當(dāng)Ovxvl時(shí)，Z(x)<0,當(dāng)x>l時(shí),Z(x)>0,所以/(九)在(0,1)上單調(diào)遞減，

(1,+8)上單調(diào)遞增.

易知l=lne>ln2>g=ln正，所以/(ln2)</(g),所以

2444

又。=『G=二=/(ln4),因?yàn)镮v7vln"所以f(ln4)>f(彳)，所以〃〉c.

m2In433

所以Z?>a>c.

二、多選題

9.若函數(shù)y=Asin(<yx+/)(A>0,<y>0,|^|<y)的部分圖象如圖，貝U()

B.7(x)的圖象向左平移g個(gè)單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)

C./(x)在上單調(diào)遞減

D.小)的圖象的對稱中心為仁+三,0),keZ

【答案】AC

【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到/(尤)=2sin(2x-^；對于選項(xiàng)A,根據(jù)三角函數(shù)的周

期性即可判斷A正確，對選項(xiàng)B,/(x)向左平移:后得到g(x)=2sin(2x+]j,不是

3

71T7T4兀jr37r

奇函數(shù)，即可判斷B錯(cuò)誤，對選項(xiàng)C,根據(jù)2x-§e-,yc，即可判斷C正

3

確，對選項(xiàng)D,根據(jù)/(x)的圖象的對稱中心為(與+看,0),即可判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】由題圖可知A=2,因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，f(x)=Y，所以sin(p=—#

因?yàn)殛R<]，所以夕=-g,所以〃x)=2sin(0X——7U

3

由題圖可知;7<葛<；7,所以1<T<g,所以

由題圖可知，當(dāng)x=￡時(shí)，>取得最大值，

LLr、t5兀697171-,,_&T1/口24._,_

所以-------——F2E,keZ,解得co——k+2,keZ.

12325

-612,所以0=2,所以“x)=2sin(2x-1)

又。<一

5

7=空=兀，則A正確.

對于A,

2

/(x)的圖象向左平移g個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)=2sin(2x+制的圖象,

對于B,

3

此函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤.

,w.工一5兀5兀LS兀71兀4兀兀3兀

對選項(xiàng)C,,貝iJ2x——G—,——-U

12O人」33232'T

所以/(X)在上單調(diào)遞減，故C正確.

jrkitjr

對選項(xiàng)D,2x—=lai,keZ,得％=—+—,keZ,

326

所以/(X)的圖象的對稱中心為住+川

,keZ,則D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知點(diǎn)小鳥是雙曲線)營=1(“>0,〃>0)的左、右焦點(diǎn)，以線段即為直徑的圓與

雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若歸周二3|尸用,則()

△P4K的面積為|“2

A.周與雙曲線的實(shí)軸長相等B.

C.雙曲線的離心率為典

D.直線由x+也y=0是雙曲線的一條

2

漸近線

【答案】BCD

【分析】結(jié)合雙曲線的定義和條件可得|尸耳|=3。,歸耳=明然后/月產(chǎn)工二90。，然后逐

一判斷即可.

試卷第4頁，共16頁

【詳解】由雙曲線的定義可得|P娟-|尸周=2a,

因?yàn)閨P制=3|尸閭，所以|P制=3a,|尸聞=即故A錯(cuò)誤；

因?yàn)橐跃€段片心為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為產(chǎn)，

IQ

所以鳥=90。，所以△「耳心的面積為］x3axa=?才，故B正確;

由勾股定理得d+(3。f=(2靖，即5a2=2C2,所以e，故C正確

因?yàn)闉?i+4-由川/3b也

所以二=一，m即一=-1=

aaa22aV2

所以雙曲線的漸近線方程為:=0,即'j3x±y/2y=0,即>/3x土-0,,故D

/b2

正確

故選：BCD

11.對于函數(shù)函(力和g(x),設(shè).w{xl/(x)=0},&g(x)=0},若存在士,2，使得

則稱“X)與g(尤)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)/(如=產(chǎn)3+左-4與

g(x)=lnx-/nx互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)機(jī)的值可以是()

ln5rln3-ln2、1

A.—B.—C.—D.-

532e

【答案】BC

【分析】由題意，易得為=3,進(jìn)而得到24%44,結(jié)合含參函數(shù)，轉(zhuǎn)化為含參方程有

解問題，求導(dǎo)，可得答案.

【詳解】由題意，可得〃用)=8-3+此_4=0,g(9)=ln電一也=0,

易知占=3,則|3—&|41,2<x,<4,則機(jī)=如上?在24*244有解，

求導(dǎo)得：加=上?上，令加=0,解得％=e,可得下表：

X2

（2，e）e（e，4）

加+0—

m極大值、

則當(dāng)*e時(shí)，機(jī)取得最大值為:,

cIn2,In4In2

x-2,m=---,x,=4,m=---=---

1-242

則，，，的取值范圍為殍』，也即I呼n4」1

4

故選：BCD.

12.在四棱錐P-/WC。中，底面鉆8為矩形，AB=26,BC=6,PA=PB=瓜,

PC=PD=2.下列說法正確的是

A.設(shè)平面平面尸8=/,則〃/A8

B.平面B4Z)_L平面PBC

C.設(shè)點(diǎn)A/eBC,點(diǎn)、NwPD,則MN的最小值為百

D.在四棱錐P-A8CD的內(nèi)部，存在與各個(gè)側(cè)面和底面均相切的球

【答案】AB.

【解析】該四棱錐如圖.

A：設(shè)平面F4S平面P8=/,因?yàn)锳8〃平面PCD,

所以〃/AB,所以A對；

B：?.?平面PCD_L平面ABCD,，8CJ?平面PCD,/.BCVPC.

又底面A8CD為矩形，所以A￡>〃8C,ADYPC.

因?yàn)镻C=2=PD,CD=2五,GPCD2=PC2+PD2,所以PC_LP￡>.

而4。PD=D,所以PCJ_平面上M>,平面PBC_L平面E4T),所以B對；

C：由B選項(xiàng)可知A7N的最短距離就是PC=2,所以C錯(cuò)；

D：取45、8的中點(diǎn)E,F,則與平面E4B、平面PCD、平面458都相切的球的

半徑即為△PE77的內(nèi)切圓半徑耳=&-1,

同理與平面皿)、平面P8C、平面AB8都相切的球的半徑即為△&：￡)的內(nèi)切圓

半徑4=2-夜，所以所以D錯(cuò).

三、填空題

13.已知數(shù)列｛4｝滿足《=-3,a/向=a?-1,則?|05=.

【答案】7/0.25

4

【分析】算出數(shù)列的前五項(xiàng)，找到數(shù)列的周期為3,則本題即可解決.

【詳解】由%。〃+1=4,T,得〃“+i=l一~

an

,414

因?yàn)閝=-3,所以凡=1，％=—，4=-3,a=-,

3453

所以｛q｝是以3為周期的數(shù)列，則％05=%=；.

故答案為：—

4

14.已知/")是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=—十.若，(ln2)=8,則。=.

【答案】-3

試卷第6頁，共16頁

【分析】當(dāng)x>0時(shí)-x<0,/(x)=-f(-x)=es代入條件即可得解.

【詳解】因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)—x<0,f(x)=-f(-x)=e-<u.

又因?yàn)閘n2e(0,l),/(ln2)=8,

所以《.2=8,兩邊取以e為底的對數(shù)得-3n2=31n2,所以—a=3,即。=一3.

15.有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%,第2臺(tái)加工的次品

率為3%,第3臺(tái)加工的次品率為2%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,

3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%,從混放的零件中任取一個(gè)

零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來的概率為.

【詳解】記事件A：車床加工的零件為次品，記事件8,：第i臺(tái)車床加工的零件，

則P(A|q)=8%,P(A|B2)=3%,P(A|B3)=2%,P(g)=10%,P(B2)=40%,

P(B3)=50%,

任取一個(gè)零件是次品的概率為

P(A)=P(ABt)+)=8%x10%+3%x40%+2%x50%=0.03

如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來的概率為

P（44）=口4|4）「（且）=2%X50%=J_

P（A）-P（4）-0.03-3,

16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)。到拋物線C：產(chǎn)=也的焦點(diǎn)F的距離為1,則。的軌跡方程是

若A(4,0),P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則鬻■的最小值是.

【答案】(x-2)2+y2=i,4

【解析】第二空解答：由題意可知，拋物線J=8x的焦點(diǎn)為F(2,0).

設(shè)點(diǎn)P(x,y),則由拋物線的定義得\PF\=x+2,

|PF|2=(x-4)2+y2=x2-8x+16+8x=x2+16.

要使霜最小，則應(yīng)有|P8|=|尸用+l=x+3,此時(shí)有儒=［等.

人O.mu,)由1、|1尸("3)2+16r2-6r+2525「

令1+3=f,則％=，一3,所以7^7=---；----=---------=，+——6.

I陽itt

因?yàn)槿?gt;°，顯然有f>0,則由基本不等式知”*2、］亙=10,

IPB\tVt

當(dāng)且僅當(dāng)，="，即f=5時(shí)等號(hào)成立.故耨■的最小值為10-6=4.

t\PB\

四、解答題

17.已知數(shù)列｛4｝,｛〃,｝的前〃項(xiàng)和分別為%且S,=；〃2+g〃，當(dāng)”>1

時(shí)，滿足2"%=bn_xan.

⑴求凡;

(2)求

【答案】(1)。“=〃；

(2)7>2一(〃+2)]￡|.

【分析】(1)由條件結(jié)合5“與%的關(guān)系可求為;

(2)由遞推關(guān)系證明為等比數(shù)列，由此可求?“｝的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法

求和.

【詳解】(1)因?yàn)?“=；/+；

■n,

所以E=；+g=l,當(dāng)〃22時(shí)，Si=g(“-l)2+；(〃—l)=#一g"

又4=5，當(dāng)“22時(shí)，a,=Sn-S〃_|,

=k,

所以4=1,當(dāng)〃22時(shí)，an=S

所以4,=〃;

(2)因?yàn)?"%=如4，

所以2。-(〃-1)=%-〃，

所以組=；之，又4=；,

n2n-\2

所數(shù)列｛為3項(xiàng)，

以勺1以為首公比為3的等比數(shù)列，

所以=,

所以7H+2、(｛|+3出)+…+(〃-l)x(￡]+〃x(g),

S，=lx(5+2x&+.?.+("1)x(9+喂「，

試卷第8頁，共16頁

所以/=

1_田+

所以‘7上"__nx(ls'f

2J⑴

2

所以『仁出卜*)

所以I,=2-(〃+2)8

18.如圖，三棱柱ABC-A￡C中，側(cè)面BBCC是矩形，B.C1AC,AC=BC=yf2CCt,

。是A8的中點(diǎn).

（1）證明：

⑵若AS平面叫“'E是AG上的動(dòng)點(diǎn)'平面8。與平面夾角的余弦值為坐‘

求"7黃的值?

【答案】（1）證明見解析

CXEI

⑵cX-3

【分析】（1）先證明線面垂直，根據(jù)線面垂直得出線線垂直；

（2）先設(shè)比值得出向量關(guān)系，根據(jù)空間向量法求已知二面角的值即可求出比值.

【詳解】（1）取8c的中點(diǎn)憶連接。尸，C/,記8CCC/=G,

。是AB的中點(diǎn)，..QF//AC,.B.C1AC,:.HtClDF,

在矩形B8CC中，tanNFCC=/=4，tanNBCg=^=受，

CCI2BC2

/.ZFC,C=ZBCB\,/.ZCFC,+ZBCB}=ZCFC,+ZFC,C=90°,

/.ZCGF=90°,.-.B.CIQF,GFu平面A￡)FG,。/u平面A。尸G

QFcDF=F,B、C1平面A.DFC,,

Q/Du平面A|DFC|,/.BtC±AtD；

(2)因?yàn)樗?_1_平面88](70,BC,CGu平面B4GC,所以AC^BC,AC1CCt,

由矩形BBCC得BCLCG，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA,CB,CG所在的直線分別為x軸，y

軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BC=2,GE=4GA(0V441),則C(0,0,0),51,1,0),B40,2,血),EQ4,0,立),

所以CQ=(l,l,0),CB、=(0,2,V2),B1D=(1,-1,-V2),B,E=(2A,-2,0),

rz\mVCD

設(shè)〃7=a，y”zJ是平面BC。的一個(gè)法向量，則，

m±CB、

西+乂=0,廣fx=1,_

后八令z,二收，則〈?.利=(1,-1,忘).

[2y+j2ZI=0,"|=-1，

r,n-LB、D,

設(shè)〃=(與％，z.)是平面BQE的一個(gè)法向量，則'

n±B、E,

二卜令Zz=0，則％=呂，.毛,0).

:2AX2—2y2—01—A\—Av1—X1—X)

....mn2(1-2)石，1—/人，、

.,■|cos〈〃7,〃〉|=:“；=./,==丁,/I=-sic2=3(舍去)，

\m\\n\V622-4/l+633

19.記:ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知反osA—acosB=。—c.

(1)求A；

(2)若點(diǎn)。在BC邊上，且C￡>=2BD,cosB=—,求tanNBAD.

3

試卷第10頁，共16頁

【答案】(1)A=]

(2)tanNBAO=G-0

【分析】(1)由余弦定理化簡可得出"+°2-"=灰.，可求出cosA的值，再結(jié)合角A的

取值范圍可求得角A的值；

2兀

(2)求出sinB、sinC的值，設(shè)則NC4O=可-0,分別在△A3。和，ACZ)

中，利用正弦定理結(jié)合等式的性質(zhì)可得出sin。、cos。的等式，即可求得tan。的值，即

為所求.

【詳解】(1)解：因?yàn)?cosA-acos8=6-c,

由余弦定理可得兒"+C?=〃_c,

2hclac

化簡可得從+c?-4=be,由余弦定理可得COSA=,

因?yàn)镺vAv兀，所以，A=].

(2)解：因?yàn)閏os8=。，則8為銳角，所以，sin3=Jl-cos?B,

2兀

因?yàn)锳+g+C=7r,所以，C=—B,

sin@c°s嶺。sNinB=反比+L立」+亞,

所以,sinC=sin-B

停33232326

設(shè)ZBAD=〃，貝iJNC4￡)=----0,

3

在△45。和AC￡>中，由正弦定理得-^^=~^^=當(dāng)弊，.f夕)sinC3+指，

smJsinBJ6sinl--￡/I

因?yàn)镃￡>=2BD,上面兩個(gè)等式相除可得指sin仁-q=(3+#卜in。，

得"T'osO一;‘in，|=(3+遍卜in6,即夜cos夕=(2+指卜in6,

J2

所以，tanZBAD=tan0=^=>/3->/2.

2+V6

20.錨定2060碳中和，中國能源演進(jìn)“綠之道”，為響應(yīng)綠色低碳發(fā)展的號(hào)召，某地在

沙漠治理過程中，計(jì)劃在沙漠試點(diǎn)區(qū)域四周種植紅柳和梭梭樹用于防風(fēng)固沙，中間種植

適合當(dāng)?shù)丨h(huán)境的特色經(jīng)濟(jì)作物，通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單株經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率為0.8,

紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率均為P，且已知任取三種幼苗各一株，其中至少有兩

株幼苗成活的概率不超過0.896.

（1）當(dāng)p最大時(shí)，經(jīng)濟(jì)作物幼苗的成活率也將提升至0.88,求此時(shí)三種幼苗均成活的概率

（710.24=3.2）;

（2）正常情況下梭梭樹幼苗栽種5年后，其樹桿地徑服從正態(tài)分布"（250,52）（單位：

mm）.

㈠梭梭樹幼苗栽種5年后，若任意抽取一棵梭梭樹，則樹桿地徑小于235mm的概率約

為多少？（精確到0.001）

㈡為更好地監(jiān)管梭梭樹的生長情況，梭梭樹幼苗栽種5年后，農(nóng)林管理員隨機(jī)抽取了

10棵梭梭樹，測得其樹桿地徑均小于235mm,農(nóng)林管理員根據(jù)抽檢結(jié)果，認(rèn)為該地塊

土質(zhì)對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，計(jì)劃整改地塊并選擇合適的肥料?，試判斷該農(nóng)林管理員

的判斷是否合理？并說明理由.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布則P（--bWZW〃+b）=0.6827,

尸（〃-2crWZS〃+2o■卜0.9545,P（〃-3crWZ"+3o■卜0.9973.

【答案】（1）0.5632

⑵（1）0.001；（2）答案見解析

【分析】（1）先求得紅柳幼苗和梭梭樹幼苗成活的概率的取值范圍，再利用條件概率公

式即可求得三種幼苗均成活的概率；

（2）㈠利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求得樹桿地徑小于235mm的概率；㈡答案不唯一，符

合概率統(tǒng)計(jì)的原理，言之有理即可.

【詳解】（1）由題意得，任取三種幼苗各一株，至少有兩株幼苗成活，

包括恰有兩株幼苗成活，三株幼苗均成活兩種情況，

故概率為［（l-0.8）x/?2+2X0.8Xp（l-p）］+0.8xp1<0.896,

428

即3P2-8p+4.4820,解得”《或。臣（舍去）

又P>0,故p的取值范圍為（0，之,故p的最大值為0.8,

記紅柳和梭梭樹幼苗均成活為事件A,經(jīng)濟(jì)作物幼苗成活為事件B,

試卷第12頁，共16頁

則有尸(A)=0.8x0.8=0.64,P(B|A)=0.88.

故所求概率為P(AB)=尸(A)?P(叫A)=0.64x0.88=0.5632.

(2)㈠設(shè)正常情況下，任意抽取一株梭梭樹，樹桿地徑為Xmm，

由題意可知X-/V(250,52),因?yàn)?35=250-3x5,

所以由正態(tài)分布的對稱性及“30”原則可知：

P(X<235)=1x(l-P(235<X<265))agx0.0027?0.001.

㈡理由①：農(nóng)林管理員的判斷是合理的.

如果該地塊土質(zhì)對梭梭樹的生長沒有影響，由(1)可知，

隨機(jī)抽取10棵梭梭樹，樹桿地徑都小于235mm的概率約為0.00嚴(yán)，

為極小概率事件，幾乎不可能發(fā)生，但這樣的事件竟然發(fā)生了，

所以有理由認(rèn)為該地塊對梭梭樹的生長產(chǎn)生影響，即農(nóng)林管理員的判斷是合理的.

理由②：農(nóng)林管理員的判斷是不合理的.

由于是隨機(jī)抽取了10棵梭梭樹，所以不可控因素比較多，

例如有可能這10顆樹的幼苗栽培深度較淺，也有可能是

自幼苗栽種后的澆水量或澆水頻率不當(dāng)所致.(答案不唯一，言之有理即可)

21.如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)4-1,0)、8(2,0)構(gòu)成且=設(shè)動(dòng)

點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線y=-2x+機(jī)與y軸交于點(diǎn)戶，與軌跡C相交于點(diǎn)。、R,且「。|<歸國，求

掠|P/?|的取值范圍.

(1)3x2-y2-3=0(x>l)；(2)(l,7)IJ(7,7+45/3)

【詳解】(1)設(shè)〃的坐標(biāo)為(x,y),顯然有x>0,且y#(),

當(dāng)NMBA=90時(shí)，點(diǎn)用的坐標(biāo)為⑵±3),

當(dāng)NM8Ar90時(shí)，K豐2,由NMBA=2NM4B,

2|M

..八，…2tanZ.MAB

WtanAMBA=-----；-------,gJ-1±_X：］,化簡可得，3x2-/-3=0,而

l-tan2ZMABx—2I耳)2

x+l

點(diǎn)(2,±3)也在曲線3/-丁—3=0,

2

綜上可知，軌跡C的方程為=

y--2x+m

(2)由,y2,消去y并整理，得x2-4,nx+〃P+3=0(*),

X--=1

I3

由題意，方程(*)有兩根且均在內(nèi).設(shè)f(x)=x2—4mx+m2+3,

-4m1

----->1

2

f(1)=I2—4/W4-W+3>0,解得力>1,且加。2,

A=16m2—4(m2+3)>0

設(shè)。,R的坐標(biāo)分別為(4,%),(4，力),由|「。<|依|及方程(*)有

2

xR=2/n+^3(/n-1),xQ=2m--1),

.|PR|,與「2，〃+"3(^2_1)_2+小3(1_/)

,?|尸。|XQ21n-收n?-1)2_/3(1_X)

Vm2

4

,1<—1+

由/〃>1,且〃wz2,得

2寸。力2”/)

故黑的取值范圍是(1,7)=(7,7+46卜

22.?(1)當(dāng)］￡(0,1)時(shí)、求證：Inxv；+/

49

(2)已知函數(shù)/(%)=必'一如+。2(〃>0)有唯一零點(diǎn)七,求證：〈一^且^^石.

參考答案：

(1)設(shè)g(x)=lnx——-——j-^(0<x<1)

上匚0,

g'(x)=-一4

1分

尤+1)2x(x+l)

試卷第14頁，共16頁

.?.g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增

f_i__1

g⑴=0,得g(x)<0,即lnf(x)<-什]......3分

(2)尸(x)=(x+l)e"-Q

/"（x）=（x+2）e1得尸（x）在（一8,-2）單調(diào)遞減，在（一2,+0。）單調(diào)遞增.

/(%=/'(-2)=1-"0

當(dāng)x<—2時(shí)/'(x)<0,/'(-1)=-?<0,/'(a)=(a+l)e"—a=a(e"—l)+e">0

???玉?￡（一1,4）,/（不）=0,且X￡（-OO,%J,/*（X）＜O,/'（X）單調(diào)遞減,

XG（-2,+00）,/（X）單調(diào)遞增X］為極小值點(diǎn)，/（力"而=/（尤1）

......5分

若/（x）有唯一零點(diǎn)/，則/（力,而=0，即/=藥

」小。）二°,即仇+0人/①/2

,)，將①代入②，得(題+1)7