計算一公式類計算一平方和公式一4星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

平方和公式B1.熟悉平方和公式少考

2.運用公式進行復雜的計算。

知識提要

平方和公式

?平方和公式好+22+32+.??+/=迎空生里2

6

精選例題

平方和公式

1.計算：12+32+52+-+192=.

【答案】1330

原式=12+32+52+-+192

=(I2+22+32+--?+192)-(22+42+…+182)

【分析】=19x20x39+6-4x(/+2?+…+92)

=2470—9x10x19x4+6

=2470-285x4

=1330.

2.計算：12+22+42+52+72+82+102+II2+132+142+162=.

【答案】1001

原式=(I2+22+…+162)-(32+62+92+122+152)

【分析］=(/+22+…+162)-32x(I2+22+32+42+52)

=1496-495

=1001.

3.12+32+52+-+192=.

【答案】2185

I2+32+52+-+192

=(I2+22+32+-+192)-(22+42+…+182)

.、一=1x19x20x39-4x(I2+22+-+92)

【分析】6

=2470--X9x10x19

6

=2470-285

=2185.

4.計算：1x4+3x7+5x10+…+99x151=.

【答案】256225

【分析】觀察可知式子中每一項乘積的被乘數(shù)與乘數(shù)依次成等差數(shù)列，被乘數(shù)依次為1,3,5,

…，99,乘數(shù)依次為4,7,10,…，151,根據(jù)等差數(shù)列的相關知識，被乘數(shù)可以表示為2n-

1,乘數(shù)可以表示為3n+l,所以通項公式為(2n-1)x(3兀+1)=6兀2一n—1.所以，

原式=(6xI2-1-1)+(6x22-2-1)+-+(6x502-50-1)

=6X(12+22+…+502)-(1+2+-+50)-50

1

=50x51x101--X50x51-50

=256225.

另解：如果不進行通項歸納，由于式子中每一項的被乘數(shù)與乘數(shù)的差是不相等，可以先將這個

差變?yōu)橄嗟仍龠M行計算.

1

原式=-x(3x8+9x14+15x20+-+297x302)

6

1

=6X

[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)+…+297x(297+5)]

1

=6X

(32+3X5+92+9X5+152+15x5+…+2972+297X5)

1

=-x

6

[(32+92+152+…+2972)+5x(3+9+15+…+297)]

1

=6X

[9x(I2+32+52+…+992)+5x3x(14-3+54--+99)]

35

=2X(仔+32+52+…+992)+5x(1+3+5+…+99).

而仔+32+52+…+992和1+3+5+…+99都是我們非常熟悉的.

12+32+52+--+992

=(I2+22+32+…+1002)-(22+42+624-…+1002)

11

=-x100x101X201-4x-x50x51x101

66

=葭100x101x(201-102)

6

1

=-X99x100x101

6

=166650,

1+3+5+???+99=502=2500,

所以

_35

原式=-x166650+-x2500=256225.

小結(jié)：從上面的計算過程中可以看出，

1

12+32+52+-+992=-X99X100x101,

6

而

1

1x2+2x3+-+99x100=-x99x100x101,

所以有

(I2+32+52+?-?+992)x2=lx2+2x3+…+99X100.

5.計算：11x29+12x28+…+19x21=.

【答案】3315

【分析】

原式=(202-92)+(202-82)+-??+(202-I2)

=202x9-(I2+22+…+92)

1

=3600--X9x10x19

6

=3315.

6.12+32+52+72+-372=.

【答案】9139

【分析】因為

,,,,,,2n(2n+l)(4n+1)

12+22+32+42+…+(2n-I)2+(2n)2=---------------

6

224-42+…+(2也)2=4x(I24-224-…+n2)

nx(n+1)x(2n+1)

=4x-----------------.

所以

22n(2n4-l)(4n+1)

9912+32+…+9(2no-l)92+2?+42+…+(2n)2=---------------

6

l2+32+52+…+(2n-I)2=|n(4n2-1).

當n=19時，

1

原式=-X19X(4X192-1)

=9139.

7-24*(*+裊+…+焉)一(3+小+…+]Z+22；..+IOZ)=.

【答案】g

【分析】雖然很容易看出：=|y=y……可是再仔細一看，并沒有什么效果，因為這不象分

數(shù)裂項那樣能消去很多項.我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式I?+

22+324---1-n2=1xnx(n4-l)x(2n+1),

于是我們又有西號

■+n2-nx(n+l)x(2n+l)-

減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個"

呢？

1\/I11\

石石+石石+…+赤㈤■■密+聲萬+…+聲聲

/111\/I11\

12x34x520x21/\1x2x32x3x510x11x21/

/I11\/I11

K(--------1----------F???H------------)-24X1--------------1---------------!-■??+-----------------

\2x34x520x21/\2x4x34x6x520x22x21

=24x

1L(\—2x-3---2-x-45—x3;)+f\4—x-5---4-x-6—x5)/+…+f\—20x--21---2-0-x-2-2-x-2-1

/111\

=24x\2x4+4x6*…*20x22/

111\

--------1--------+…H-------------)

1x22x310x11/

60

&計3“+叫-2%

【答案】2485

原式=(I2+22+--?+202)-(I2+22+-+102)

【分析】=41x21x20+6—21x10x11+6

=2485.

9.對自然數(shù)a和ri,規(guī)定a%i=a"+anT,例如3P2=32+3=12,那么:

(1)172+272+372+-+9972=；

(2)201+202+273+…+2099=.

【答案】(1)333300：(2)3x2"-3

【分析】(1)

原式=12+1+22+2+32+3+…+992+99

=(I2+22+32+…+992)+(1+2+3+-+99)

=99x100x199+6+4950

=328350+4950

=333300;

(2)

原式=21+2°+22+21+23+22+-+2"+298

=(20+21+22+■■■+298)+(21+22+23+…+2")

=(20+21+22+-298)X3

=(2"-1)x3

=3x2"-3.

10.計算：Ix3+2x4+3x5+…9X11=.

【答案】375

【分析】

原式=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+-+(10-1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)+…+(102-1)

=(22+32+-+102)-9

=(I2+22+32+-+102)-10

10X11X21

=375.

11.計算：36+49+64+81+…+400=.

【答案】2815

原式=62+72+82+--+202

=I2+22+32+…+2。2-(I2+22+32+42+52)

【分析】=ix20x21x41-ix5x6xll

66

=2870-55

=2815.

12.規(guī)定a△b=ax(a+2)-(a+1)-b,計算：(241)+???+(11△10)=.

【答案】505

【分析】這個題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和.但是我們注

意到要求的10項值有一個共同的特點就是在要我們求得這個式子中b=a-l,所以，我們不

妨把b=a-1代入原定義.

aAb=ax(a+2)—(a+1)—6

就變成了

a△b=ax(a+2)—(a+1)—(a-1)=a2.

所以2A1=22,3A2=32,3△2=ll2,那么

原式=22+32+42+-+ll2

11x12x23

=61

=505.

13.1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=.

【答案】330

【分析】此題項數(shù)較少，可以直接將每一項乘積都計算出來再計算它們的和，但是對于項數(shù)較

多的情況顯然不能這樣進行計算.對于項數(shù)較多的情況，可以進行如下變形：

,、n(n4-l)(n4-2)—(n-l)n(n+1)1、,、1,、,

n(n+1)=---------------------------------------------=-n(n+l)(n4-2)--(n—l)n(n+1)

所以原式‘’’

1/11

=-xlx2x3+-x2x3x4--xlx2x3+???4-x9x10x11--x8x9x10

3\33

1

=-x9x10x11=330

另解：由于九(幾+1)=幾2+幾，所以

原式

=(I2+1)+(22+2)+-??+(92+9)=(I24-22+…+92)+(1+2+???+9)

11

=-x9x10x19+-x9x10=330

62

采用此種方法也可以得到

1

lx2+2x3+??,+nx(n+l)=-n(n+l)(n+2)

14.1x1+2x3+3x5+4x7+…+99x197=.

【答案】651750

22

【分析】I4-2+…+九2=ln(n+l)(2n+1).

6

1

1X2+2X3+3X4H---1-n(n+1)=-n(n+l)(n+2)

原式=I2+22+32+-+992+1x2+2x3+3x4+-+98x99

11

=-x99x100x199+-x98x99x100

63

=328350+323400

=651750

15.計算：1x22+2x32+3x42+…+18x192+19x202=.

【答案】41230

【分析】分拆(2-1)x22=23-22,(3-1)X32=33-32,再用公式，

原式=(23-22)+(33-32)+??■+(203-202)

=(1+23+33+…+203)-(1+22+32+-+202)

=2。2x2/+4-20x21x41+6

=41230.

16.正整數(shù)4分解質(zhì)因數(shù)可以寫成4=X5L其中a1,y是自然數(shù).如果4的二分之一是

完全平方數(shù)，A的三分之一是完全立方數(shù)，4的五分之一是某個自然數(shù)的五次方，那么a+0+

y的最小值是.

【答案】31

【分析】4的二分之一是完全平方數(shù)，a-1,0,y是2的倍數(shù)；4的三分之一是完全立方數(shù)，

a,0-l,y是3的倍數(shù)：4的五分之一是某個自然數(shù)的五次方，a,0,y-1是5的倍數(shù)：要a+0+

y的值最小，分別求滿足條件的a,值：3x5—1是2的倍數(shù)，a的最小值為15,2x3-1是5

的倍數(shù)，y的最小值為6,2x5—1是3的倍數(shù)，0的最小值為10,所以a+/?+y的最小值是：

15+6+10=31.

17.看規(guī)律13=12,13+23=32,I3+23+33=62-,試求63+73?+…+143.

【答案】10800

原式=(I3+23+??■+143)-(I3+23-+???+53)

=(1+2+3+-+14)2一(1+2+3+4+5尸

［分析］=1052-152

=(105-15)(105+15)

=90x120

=10800.

計算以下式子的值：

111111

24*(*+而+-+而而)一年+