小學奧數問題匯總

1.和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的

公式適用范圍已知兩個數的和，差，倍數關系

（和-差）+2較小數

=較大數

和一（倍數+1）=數差一（倍數T）=

和-較小數=較大數

公式小數x倍數=大數小數x倍數=

②（和+差）=較大數

和-小數=大數小數+差=

較大數-差=較小數

和-較大數=較小數

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數

2.年齡問題的三個基本特征:

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年的；

3.歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣來表示。

關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量；

4.植樹問題

者不封閉的曲線上植在者不封閉的曲線上在直線或者不封閉的曲線

基本類型線上植樹

樹，兩端都植樹植樹，兩端都不植樹上植樹，只有一端植樹

=段1棵數=段數-1棵數=段數

基本公式

棵距X段數=總長棵距X段數=總長距數=總長

關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系

5.雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為問題，就是把假設錯的那部分置

基本思路：

①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原

④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數=（兔X總頭數-總腳數）+（兔腳數-

②把所有兔子假設成雞：兔數=（總腳數一數X總頭兔腳數一雞腳數）

關鍵問題：找出單位量的差。

6.盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按，又產生一種結果，由于

分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系象分組的組數或對象的總量.

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由結果的變化，根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根

據題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數，另一次不足；

基本公式：總份數=（余數+不足數）:兩次每份數的差

②當兩次都有余數；

公式：總份數=（較大余數一較小余數）+兩次每份數的差

③當兩次都不足；

基本公式：總份數=（較大不足一小不足數）+兩次每份數的差

基本特點：對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數。

7.牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這

種差異的原因，即可確定草的生長速

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間x長時-較短時間x短時間牛頭數）十（長時間-短時間）；

總草量=較長時間X長時間牛頭數-較長時間X生長量；

8.周期循環與數表規律

周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規律循環出現。

周期：我們把連續兩次出現所經過的時間

關鍵問題：確

閏年：一年有366

①年份能被4整除；②如果年份能被100整必須能被400整除；

年：一年有365天。

①年份不能被整除；②如果年份能被100400整除；

9.平均數

基本公式：①平均數=總數量+總份數

總數量=平均數X

總份數=總數量-平均數

②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和一總份數

基本算法：

①求出總數數，利用基本公式①進行計算

②基準數法：根據給出的數之間個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為

標準，求所有給出的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最后求這個差的平均數和基準數的和,

就是所具體關系見基本公式②

10.抽屜原理

抽屜原則一：如果n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：

①+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就

是說必有一個抽屜中至少放2個物體。

抽屜n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

]+1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當n能被整除時。

理解知識點：[X]表示不超過的最大整數。

例[4.351]=4；[0,321]=0；99]=2；

題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。

H.定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新規則，把已知的數代入，轉化為加戒乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行

運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，算順序。

2：每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

12.數列求和

等差數列：在一列數中,任意相鄰兩個數的差是一定的，這就叫做等差數列。

基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用ai表示；

項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表

公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

通項：表示數列中每一個數一般用a示；

數列的和：這一數列全部數字的和，一般用a表示.

基本思路：個量：aim,d,n,Sm,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公，如果

己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=ai+（n-i）d;

通項=首項+（項數-1）,公差；

數列和公式：Sn,=（31+an）xn+2；

（首項+末項）x2;

項數公式：（ana”d+1;

項數=（末項-首項）-公差+1；

公差公式：d=（a.,-ai）+（n-1）;

公差=（末項-首項）一（1）；

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13.二進制及其應用

十進制：用0~9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字的含義，十位上的表示，百位上的2表示200。

2

所以234=200+30+4=2x10+3x10+4o

0X10"'+A”“X10+AX10"*+%X10"?+A,iX

人揖>&.2Ali.3......4A3A2Al

n5n70

10-+Arfxl0_+……+A:ixlO^x'+A.lO

注意：N°1；'=N（其中N是任意自然數）

二進制：用0~1兩個數字表示，逢2進1;不的數字表示不同的含義。

AaAB,IAa,JA>3AB,4Alt,JA>4AB,T&A3A內0=八乂才9/匹+1.源司+巾科人力牙-'

2

+……+A：,X2+AX2'+IX2"

注意：An不是0就是1。

成二進制：

①根據二進制滿2進12連續去除這個數，直到商為0,然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法為0照二

進制展開式特點即可寫出。

14.加法乘法原理和幾何計數

加法原理：如果完成一件任類方法，在第一類方法中有mi種法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有

m0種不同方法，那么完成這件任務共有：m,m2.......+m。種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n步驟進行，做第1步有m,種方法，不管第1步用哪一種方法，第2

步總有m?種方法……不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有m“種方法,那么完成這件任務共有：

mixrrh.......xm0種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數線段規律：總數=1++-+(點數一1);

數角規律=1+2+3++(射線數一1)；

③數長方形規律：個數=長的線段數x寬的線段數：

④數長方形規律：個數=lxi+2x2+3x3+…+行數x列數

15.質數與合數

質數：一個數了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。

合數：一個數除了I和它本身之外，還有別的約數，這個。

質因數：如果某個質數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。

分解質因數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數的結果

是唯一的。

分解質因數的標準表示形式：N="】,其中a2,a3……a”都是合數N的質因數，且

a］〈a2〈a3<..〈an°

求約數個數的公式：n+l)x(r2+l)x(r3+l)x……x(r?+l)

互質數：如果兩個數的最大公約數是1,這兩個數叫做互質數。

16.約數與倍數

約數和倍數：若整a能夠被b整除，a叫做b的倍數，就叫做a的約數。

公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

約數的性質：

1、幾個數都除以它所得的幾個商是互質數。

2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

4、幾個數都叫所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公明

例如：12的約數有、、3、4、6、12；

18的約數有：1、236、9、1；

那么2和18的公約數有：1、2、3、6；

那么12和18最大61218=6

求最大公約數基本方法：

1分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數，然后相乘

、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大

數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公

12的倍數有：、24、6、8……;

18的倍數有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數有:36、72、108……;

那么12和18最小的36,記作[1,]=36；

最小公倍數的性質：

1、兩個數的任意公們最小公倍數的倍數。

2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最小公倍數基本方法:、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

17.數的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一a,除以一b,得到一個整數商c,而且沒有余數，那么叫做a能被bb能整除a,記作la。

2符號：整除符號"I",不能整除符號“”；因為符號所以的符號；

二、整除判斷方法：

1.能被、5整除：末位上的數字能被2、整除。

2.能被、25整除：末兩位的數的數能被4、25整除。

3.能被8125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被、整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5.7除：

①沫三位上數字所組成的數與末三位所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被整除。

6.能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以組成的數之差能被1整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11

7.能被13整除：

①床組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.果a、b能被整除，那么（a）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以cb整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的整除。

18.余數及其應用

基本概念：對任意自然數a、b、q、r,如果使得a+b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做

a除以b的不完全商。

余數的性質：

①余數小于除數。

a、b除以c的余c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

④a與b的積除以c的余數等于ac的余數與b除以c的余數的積除以的余數。

19.余數、同余與周期

一、同余的定義：

?若兩個整數a、除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、用如果-ba、b對于模m同余，記作a三m)a同余于b模in。

二、同余的性質：

①自身性：a三am)

②對稱性:若ab(modin),則三a(modm)；

③傳遞性：若ab(modm)be(modm),則ac(modm)；

：若ammodm),c=d(modm),貝IJa+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm)

⑤相乘性：若a三b(nxxlm),c三d(modm),則axmbxd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(mom),an=n(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整數則ac三bxc(modmxc)；

三、關于乘方的預備知識：

①若A=axb,則(M)b

②若B=c+d則MRRTxM'J

四、被3、、11除后的余數特征：

①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和，則M三n(mod或(mod3)；

②一M,表示M的各個奇數位上數字的和，表示M的各個偶數數位上數字的和，M三或M三11-(X-Y)(mod

ID；

五、費爾馬小定理”是殿(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則/三l(modp)。

20.分數與百分數的應用

基本概念與性

分數：把單位’T平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份

分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。

分數單位：把單位‘T'平均分成幾份，表示這樣一份的數。

百分數：表示個數是另一個數百分之幾的數。

常用方法：

:從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接

轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系；

把不同的標準(在分數中一般指的是一成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出

相應的結果，然后再進行調。

5量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量。有以

下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都

發生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單率關系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照進行處理。

濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。

21.分數大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關

③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子差一定時，分子或分母越大的分數值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數的大小。

（具體運用見同倍率變化規律）

化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。

⑦倍數比較法：用個數除以另一個數，結果得數和1

用一個分數減去另一個分數得出的數和0比較

⑨倒數較大小,然后確定原數的大小。

1Q基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。

22.分數拆分

一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：

1]1

①丹="5+D+#+l；

d1

②“="(〃+</)+力+4￡1為自然數)；

23.完全平方數

完全平方數特征：

1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余。或余1成立。

3.除以4余0或余1。

4.約數個數為奇數；反之成立。

5.奇數的平方的偶數；反之不成立。

6,奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。

7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

平方差公式：X2-Y=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y2=X2-2XY+Y2

24.比和比例

比：兩個數相除又叫兩個比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比

比的性質：比的或除以相同的數（零除外），比值不變。

ac

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或d

比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積（交叉相乘）ad=bc。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，BAB的商不變時）,則A與B比。

反比例：若A小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則與B成反比。

比例尺際距離的比叫做比例尺。

分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25.綜合行程

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者.

基本公式：路程=速度X時間；路程一時間=速度；路程—速度=時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差一速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=+水速）X順水時間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時間

=船速+水速

逆水速度=-水速

靜水速度=（順水速度+度）+2

水速=（順水速度-逆水速度）+2

流水問題：關鍵速度，參照以上公式。

題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度速度差）中任意兩個量,

求第三個量。

26.工程問題

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時

②工=工作總量:工作時間

③工作時間=工作總量一工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關系，可以簡單地表

示出工作效率及工作時間.

題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

經驗簡評：合久必分，分久必合。

27.邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能情況中按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情

況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那么

a一定是奇數。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法

就是把題設的條件全部表示在，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏

輯規律進行判斷。

③條件分析一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有”等肯

定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如AB兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒

有

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要根據計算的結果為推理提供一個新的判

斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特征和在的規律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出系式,

從而得到問題的解決。

28.幾何面積

基本思路：

在積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分重疊等,

使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規

常用方法：

1.線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。

4.利用特殊規律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）

「2梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29.立體圖形

名稱圖特征表面積體積

長

8個頂6對的面相等；條棱；相對的棱V=abh

方S=2(ab+ah+bh

相等；=Sh

體

正

8個頂點；6個面；所有面相等；12

方S=a2V=a3

條棱；所有棱相等；

體

圓

上下兩底是平行且相等的圓；側面展S二S倒+2S底

柱=Sh

開后是長方形；S*Ch

體

圓

下底是圓；只有一1：母線，頂點到底S=Stt+S底I

圓周上任意一點的距離；s費=4V=3Sh

體

球圓心到圓周上任意一點的距離是球的4

S=4%Y

體?半徑。3^r3

30.時鐘問題一快慢表問題

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時

5、合理利用行程問題中的比例關系；

31.時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關鍵問題：①確定分針與

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60一周；而時針只走5分格，故

分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數方法：

360360￡

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360。，分針每分鐘轉60度，即6。，時針每分鐘轉12x45度。

32.濃度與配比

經驗總結：在配比的過程中存比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。

溶質：溶解在的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。

溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量=溶質重量+溶劑重量；

溶質重量=溶液重量X濃度；

濃度=溶液100舟=溶劑?港殖X100%

理論部分小練習：液、溶劑三者的其它公式。

經驗總結：在配比的過程中存在這，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變