2023CEE-02

數學

重慶縉云教育聯盟

2023年高考第二次診斷性檢測

數學試卷

考生須知：

1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；

3.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回；

4.全卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.設4、4、A3、L、4是均含有2個元素的集合，且Ac4=0,=0（/=1,2,3,,6）,記

B==4,則8中元素個數的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

2.任給“4-2,0],對應關系/使方程〃2+丫=0的解v與"對應，則v=/（“）是函數的一個充分條件是（）

A.VG[-4,4]B.ve（Y,2]C.ve[-2,2]D.ve[^l,-2]

3.將一個頂角為120。的等腰三角形（含邊界和內部）的底邊三等分，挖無限次操作后

.AAXVA.

去由兩個等分點和上頂點構成的等邊三角形，得到與原三角形相似的兩C3C

個全等三角形，再對余下的所有三角形重復這一操作.如果這個操作過次操作后

程無限繼續下去…，最后挖剩下的就是一條“雪花”狀的Koch曲線，如圖上（/

所示已知最初等腰三角形的面積為1,則經過4次操作之后所得圖形的面積是（）

16r20-8-10

A.—B.—C.—D.—

81812727

4.設機，?e｛-2,-l,0,l,2,3｝,曲線C：，加+〃），2=1,則下列說法正確的為（）

A.曲線C表示雙曲線的概率為2B.曲線C表示橢圓的概率為!

C.曲線C表示圓的概率為'D.曲線C表示兩條直線的概率為1

5.數列優｝滿足耳=八=1,4+2=耳用+"（”€e），現求得｛￡｝的通項公式為

E,=A［二/J+a「干卜A,BGR,若［可表示不超過X的最大整數，則的值為（）

A.43B.44C.45D.46

6.等額分付資本回收是指起初投資P,在利率i,回收周期數〃為定值的情況下，每期期末取出的資金/

為多少時，才能在第〃期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計算公式為：A=「?；；"：?"；?某農業

種植公司投資33萬元購買一大型農機設備，期望投資收益年利率為10%,若每年年底回籠資金8.25萬元,

則該公司將至少在（）年內能全部收回本利和.（lgl『1.04,lg5“0.70,愴3=0.48）

A.4B.5C.6D.7

7.已知向量a,b的夾角為60。，H=2忖=2,若對任意的毛、4e（加,”），且王<占，叫>卜-20,

則”的取值范圍是（）

A.［e:+oo）B.［e,+oo）C./件00）D.g,e）

8.設實數x>l,yeR,e為自然對數的底數，若exlnx+e，<）e”，則（）

A.evInx>eB.e'Inx<eC.ey>exD.ev<ex

二'多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。

9.下列關于復數的四個命題正確的是（）

A.若國=2,則z,z=4

B.若z（2+i，）=3+i,則z的共扼復數的虛部為1

C.若|z+l—i卜1,則的最大值為3

D.若復數Z1,z?滿足|zj=2,憶|=2,z,+z2=l+>/3i,則,_叫=26

10.設Ax）是定義域為R的奇函數，且y=f（2x+27t）的圖象關于直線x=J對稱，若0<XVTT時，

/（x）=（e*-e**）cosx,則（）

A.f（x+n）為偶函數

B.f（x）在\兀上單調遞減

C.f（x）在區間［0,2023兀］上有4046個零點

2023

D.Z/(E)=l-e"

hl

11."端午節''為中國國家法定節假日之一，已被列入

世界非物質文化遺產名錄，吃粽子便是端午節食俗

之一.全國各地的粽子包法各有不同.如圖，粽子

可包成棱長為6cm的正四面體狀的三角粽，也可做

3

成底面半徑為刁cm,高為6cm(不含外殼)的圓柱

狀竹筒粽.現有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為6cm的半球的體積，則()(參考數據：五?！?)

A.這兩碗餡料最多可包三角粽35個B.這兩碗餡料最多可包三角粽36個

C.這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個D.這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個

12.設xeR,當+時，規定(x)=w,如(-4.5)=-4.則()

A.(〃+與<⑷+0(4,

B.=

C.設函數>=3114+〈8§1)的值域為〃，則M的子集個數為32

D.卜一?+卜一；+口+8.；+曰+,+”力(*)(』*)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.用0?9十個數字排成三位數，允許數字重復，把個位、十位、百位的數字之和等于9的三位數稱為“長久

數”，則"長久數”一共有個.

14.橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現了解析幾何的基本思想.而黃

金橢圓是一條優美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢

圓具有以下性質：①以長軸與短軸的四個頂點構成的菱形內切圓經過兩個焦點，②長軸長，短軸長，焦距

依次組成等比數列.根據以上信息，黃金橢圓的離心率為.

15.已知對任意的實數°均有3/(sina)-47(cosa)=sin2acos2a成立，則函數f(x)的解析式為.

x>0

16.將橫坐標與縱坐標均為整數的點稱為格點.已知neN,將約束條件xlyl表示的平面區域內格點

—+—<n

的個數記作s?,若lim當二近=〃，則:=___________.

"tsnb

四'解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.王先生今年初向銀行申請個人住房貸款100萬元購買住房，月利率為0.3%,按復利計算，并從貸款后

的次月初開始還貸，分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內把本金總

額等分，每月償還同等數額的本金和剩余本金在該月所產生的利息；②等額本息：在還款期內，每月償還

同等數額的貸款(包括本金和利息).

(1)若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個還貸月應還15000元，最后一個還貸月應還6500元，

試計算王先生該筆貸款的總利息；

(2)若王先生采取等額本息的還貸方式.銀行規定每月還貸額不得超過家庭月收入的一半，已知王先生家庭月

收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.(不考慮其他因素)參考數據1.003"9句.428，

1.003儂6433,1.003⑵a1.437

18.由機”個小正方形構成長方形網格有機行和〃列.每次將一個小球放到一個小正方形內，放滿為止，記

為一輪.每次放白球的頻率為乙放紅球的概率為q,P+q=L

(1)若帆=2,p=q=g,記丫表示100輪放球試驗中“每一列至少一個紅球”的輪數，統計數據如表:

n12345

y7656423026

求y關于〃的回歸方程lny=M+a,并預測〃=10時，y的值；(精確到1)

1?

(2)若/=2,〃=2,p=3，q=~,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數為隨機變量X,求X的

分布列和數學期望；

(3)求事件“不是每一列都至少一個紅球”發生的概率，并證明：(1-p")"+(1>1.

k

Z七%-反55

附：經驗回歸方程系數：&='---------,a=y-bx,Z〃，4n%=53,k=3.8.

/=1

19.正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復雜的信號，例如

電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號

的疊加.正弦信號的波形可以用數學上的正弦型函數來描述：

V（f）=Hsin（2萬/+e）,其中丫（。表示正弦信號的瞬時大小電

壓修（單位：V）是關于時間，（單位：s）的函數，而A>0表

示正弦信號的幅度，/是正弦信號的頻率，相應的7=（為正

弦信號的周期，/為正弦信號的初相.由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路系統設計中，科學

家和工程師們經常以正弦信號作為信號源（輸入信號）去研究整個電路的工作機理.如圖是一種典型的加

法器電路圖，圖中的三角形圖標是一個運算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為4，凡（單

位：。）.

匕⑺和匕⑺是兩個輸入信號，匕表示的是輸出信號，根據加法器的工作原理，%”）與匕⑺和匕（。的

關系沏%（N+鼾嗎*

例如當N=%=%=%=9，輸入信號X(/)=sin/,匕。)=8Sf時，輸出信號：

I7/、(11)lsinr+1-cosr

%⑷=[1+,J----j-j-----=smI+cost.

⑴若為=&=%=&=1夏，輸入信號M(f)=sinf,匕⑺=cosf,則％(/)的最大值為？

(2)已知&=1C,&=2。，R4=3Q,輸入信號「⑺=sin,匕⑺=cos1+3若匕⑺=Asin0,

(其中A>0),則為=?

⑶已知&=1Q,&=1Q,0</?2</?,<10)且M(r)=sin，，匕(f)=cos2/.若％(r)的最大值為不，則滿