模型及圖像特征

1.追及相遇問題中的一個條件和兩個關系

(1)一個條件：即兩者速度相等，往往是物體能追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨

界條件，也是分析判斷的切入點。

(2)兩個關系：即時間關系和位移關系，這兩個關系可通過畫過程示意圖得到。

2.追及相遇問題的兩種典型情況

(1)速度小者追速度大者

類型圖像說明

勻加速

①0?時段，后面物體與前面物體間距離不

追勻速

0M*斷增大

V②時，兩物體相距最遠，為照+(而

為、Ax

勻速追

“2為兩物體初始距離)

勻減速

1、

0(0I③力而時，后面物體追及前面物體的過程中，

酊兩物體間距離不斷減小

勻加速追

④能追上且只能相遇一次

勻減速V

Cioi

(2)速度大者追速度小者

類型圖像說明

V

v開始追時，兩物體間距離為施，之后兩物體

勻減速2

間的距離在減小，當兩物體速度相等時，即

追勻速

0/ohI1t-to時刻：

①若&x=x、,則恰能追上，兩物體只能相遇

勻速追

一次，這也是避免相撞的臨界條件

勻加速

二1)/②若Xx〈x。,則不能追上，此時兩物體間距

離最小，為X"—Ax

勻減速追③若XQxs,則相遇兩次，設G時亥UXx\=

勻加速施，兩物體第一次相遇，則G時刻兩物體第

()

ht0t21

二次相遇(友—to=to—ti)

3.追及相遇問題的解題思路及技巧

(1)解題思路

分析物體_「畫運動找兩物體［列位移］

.運動過程［示意圖位移關系

(2)解題技巧

①緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，時間關系式、速度關系式和位移關系式。

②審題應抓住題目中的關鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最

多”“至少”等，往往對應一個臨界狀態，滿足相應的臨界條件。

③若被追的物體做勻減速直線運動，一定要注意追上前該物體是否已經停止運動，另外還

要注意最后對解進行討論分析。

④緊緊抓住速度相等這個臨界點。

⑤遇到此類選擇題時，圖像法往往是最便捷的解法。

二.例題精講：

例1.紅球勻速運動，速度Vi=8m/s；藍球勻減速運動直到靜止不再運動，初速度Vo=12m/s,

加速度a-lm/s2,藍球與紅球在同一位置同時出發，經多長時間與紅球同速?同速前，兩者距離

如何變化？何時相遇？相遇前何時相距最遠？

Jot

第2頁，共16頁

變式1：紅球勻速運動，初速度％=8m/s；藍球勻減速運動直到靜止不再運動，初速度

2

V0=12m/s,加速度a=-lm/s,藍球在紅球后8m,經多長時間與紅球同速?何時相遇？還能再次

相遇嗎？

答案：4s,4s第一次相遇，不能再次相遇。

變式2：紅球勻速運動，速度Vi=8m/s；藍球勻減速運動直到靜止不再運動，初速度

2

V°=12m/s,加速度a=-lm/s,藍球在紅球后10m,經多長時間與紅球同速？能相遇嗎？何時最

近？

答案：4s,不能相遇，4s

變式3：紅球勻速運動，速度匕=8m/s；藍球勻減速運動直到靜止不再運動，初速度

V°=12m/s,加速度a=-lm/s2,藍球在紅球后6m,兩球何時同速？何時相遇？兩球距離是怎樣變

化的？

第3頁，共16頁

變式4：紅球勻速運動，速度VFWS；藍球勻減速運動直到靜止不再運動，初速度

第3頁，共16頁

Vo=12m/s,加速度a=-lm/s2,藍球在紅球后14m,兩球何時同速？何時相遇？

變式5：紅球勻速運動，速度％=4m/s；藍球勻減速運動直到靜止后立即反向加速，初速

度V°=12m/s,加速度大小始終為lm/s2,藍球在紅球后14m,兩球何時同速？何時相遇？

答案：8s,2s和14s

注意事項：

減速運動分為不可返回和可返回減速運動，對于不可返回運動，要先計算減速到0所需的

時間。

例2一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以a=3m/s,的加速度開始行駛，

恰在這一時刻一輛自行車以h=6m/s的速度勻速駛來，從旁邊超過汽車。試求：

(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多

少？

(2)什么時候汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？

第4頁，共16頁

答案：(1)2_s_6_m_(2)4_s_12_m/s

第4頁，共16頁

（1）解法一（物理分析法）：

如圖甲所示，汽車與自行車的速度相等時相距最遠，設此時經過的時間為3汽車和自行

車間的距離為則有v^=aU

所以/尸￡=2s：(r=0)

:.-----?

1:Aa

2-甲

解法二（相對運動法）：

以自行車為參考系，則從開始到相距最遠的這段時間內，汽車相對這個參考系的各個物理

量為

初速度的=/汽初一P百=0-6m/s=-6m/s

末速度匕=/汽求一v0

加速度a'=a~-a自=3m/s2—0=3m/s2

所以汽車和自行車相距最遠時經歷的時間為

V，—Vn

最大相對位移Ax=彳—=-6m

負號表示汽車在后。

注意：利用相對運動的方法解題，要抓住三個關鍵：①選取哪個物體為研究對象；②選取

哪個物體為參考系；③規定哪個方向為正方向。

解法三（極值法）：

設汽車在追上自行車之前經過時間汽車和自行車相距&X,則

3

代入已知數據得Ax=6力一V

由二次函數求極值的條件知：fi=2s時，Ax有最大值6m?

所以經過乙=2s后，汽車和自行車相距最遠，最遠距離為Ax=6m。

解法四（圖像法）：

自行車和汽車的彳力圖像如圖乙所示。由圖可以看出，在相遇前，力時刻汽車和自行車速

度相等，相距最遠，此時的距離為陰影三角形的面積，所以有

乙

昨6X20

△x~~2~~~2-m=bnio

（2）解法一（物理分析法）：

當汽車和自行車位移相等時，汽車追上自行車，設此時經過的時間為3則有「日友

2人2X6

解得tl=-o-s=4s

a3

此時汽車的速度V\'=aG=12m/s,

解法二（圖像法）：

由前面畫出的入￡圖像可以看出，在小時刻之后，當由圖線F、/汽和構成的三角形的

面積與陰影部分的三角形面積相等時，汽車與自行車的位移相等

三.舉一反三，鞏固練習

1.（2018?全國卷n）（多選）甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度一時間

圖像分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在友時刻并排行駛，下列說法正確的是（）

A.兩車在心時刻也并排行駛

B.右時刻甲車在后，乙車在前

C.甲車的加速度大小先增大后減小

D.乙車的加速度大小先減小后增大

2.（2018?全國卷111）（多選）甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動，甲做勻加速直線運

動，乙做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化如圖所示。下列說法正確的是

（）

第6頁，共16頁

A.在心時刻兩車速度相等

B.從0到右時間內，兩車走過的路程相等

C.從心到友時間內，兩車走過的路程相等

D.從九到友時間內的某時刻，兩車速度相等

3.制動防抱死系統(antilockbrakesystem)簡稱ABS,其作用就是在汽車制動時，自動

控制制動器制動力的大小，使車輪不被抱死，處于邊滾邊滑的狀態，以保證車輪與地面的附著

力為最大值。某汽車在啟用ABS剎車系統和不啟用該剎車系統緊急剎車時，其車速隨時間的

變化關系分別如圖中的①、②圖線所示。由圖可知，啟用ABSB()

A.瞬時速度總比不啟用ABS時小

B.加速度總比不啟用ABS時大

C.剎車后的平均速度比不啟用ABS時小

D.剎車后前行的距離比不啟用ABS更短

4.如圖所示，圖甲為質點a和b做直線運動的位移

圖像，圖乙為質點。和d做直線運動的速度一時間圖像，由

圖可知()

A.若心時刻a、6兩質點第一次相遇，則友時刻兩質點

第二次相遇

B.若九時刻c、d兩質點第一次相遇，則友時刻兩質點第二次相遇

C.G到友時間內，6和d兩個質點的運動方向發生了改變

D.右到友時間內，a和4兩個質點的速率先減小后增大

5.a、b兩車在平直公路上沿同一方向行駛，兩車運動的火t圖像如圖所

示，在寸=0時刻，b車在a車前方國處，在0?友時間內，a車的位移為取

若s=2so,則()

A.a、b兩車只會相遇一次，在我時刻相遇

B.a、b兩車只會相遇一次，在1時刻相遇

一次在作時刻相遇，另一次在竽時刻相遇

C.a、b兩車可以相遇兩次,

JO

第7頁，共16頁

D.a、b兩車可以相遇兩次，一次在搟時刻相遇，另一次在竽時刻相遇

6.在一大霧天，一輛小汽車以30m/s的速度行駛在高速公路上，突然發現正前方30m

處有一輛大卡車以10m/s的速度同方向勻速行駛，小汽車緊急剎車，剎車過程中剎車失靈.如

圖a、6分別為小汽車和大卡車的r-t圖象，以下說

法正確的是（）

A.因剎車失靈前小汽車已減速，不會追尾

B.在t=5s時追尾

C.在t=3s時追尾

D.由于初始距離太近，即使剎車不失靈也會追尾

7.如圖所示，月、8兩物體相距s=7m時，力在水平

拉力和摩擦力作用下，正以K,=4m/s的速度向右勻速運動，

而物體8此時正以K?=10m/s向右勻減速運動，加速度a

=-2m/s?,則/追上8所經歷時間是（）

A.7sB.8s

C.9sD.10s

8.（2020?安徽省定遠重點中學高三3月線上模擬）（多選）甲、乙兩輛小汽車（都可視為

質點）分別處于同一條平直公路的兩條平行車道上，開始時（t=0）乙車在前甲車在后，兩車間

距為施，1=0時甲車先啟動，t=3s時乙車再啟動，兩車啟動后都是先做勻加速運動，后做

勻速運動，片［圖像如圖所示。根據圖像，下列說法正確的是（）

A.兩車加速過程，甲的加速度比乙大

B.若劉=80m,則兩車間距最小為30m

第8頁，共16頁

C.若兩車在t=5s時相遇，則在t=9s時再次相遇

D.若兩車在t=4s時相遇，則在t=10s時再次相遇

9.

泥石流

小車

"http://)//////////////////////////////////////

2012年10月4日，云南省彝良縣發生特大泥石流.如右圖所示，一汽車停在小山坡底，

突然司機發現在距坡底240m的山坡處泥石流以8m/s的初速度、0.4m/s?的加速度勻加速傾

泄而下，假設泥石流到達坡底后速率不變，在水平地面上做勻速直線運動.已知司機的反應時

間為1s,汽車啟動后以0.5m/s2的加速度一直做勻加速直線運動.試分析汽車能否安全脫離？

10.一輛卡車以玲=10m/s的初速度沿直線方向做勻減速直線運動，加速度的大小為

a=2m/s2,在其后方一輛小汽車以％=4m/s的速度向相同方向做勻速直線運動，小汽車在

卡車后方相距荀=7m處，從此時開始計時，求：

(1)小汽車追上卡車前，兩車間的最大距離"是多大？

(2)經過多長時間小汽車追上卡車？

第9頁，共16頁

四.舉一反三，鞏固練習參考答案：

1.（2018?全國卷H）（多選）甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度一時間

圖像分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在友時刻并排行駛，下列說法正確的是（）

A.兩車在九時刻也并排行駛

B.打時刻甲車在后，乙車在前

C.甲車的加速度大小先增大后減小

D.乙車的加速度大小先減小后增大

答案BD

解析片t圖像中圖像與力軸所包圍的面積代表運動的位移，兩車在。時刻并排行駛，利

用逆向思維并借助于面積可知在質時刻甲車在后，乙車在前，故A錯誤，B正確；圖像的斜率

表示加速度，所以甲的加速度先減小后增大，乙的加速度也是先減小后增大，故C錯誤，D正

確。

2.（2018?全國卷111）（多選）甲、乙兩車在同一平直公路上同向運動，甲做勻加速直線運

動，乙做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間力的變化如圖所示。下列說法正確的是

()

第10頁，共16頁

A.在九時刻兩車速度相等

B.從0到右時間內，兩車走過的路程相等

C.從心到友時間內，兩車走過的路程相等

D.從^到友時間內的某時刻，兩車速度相等

答案CD

解析根據位移一時間圖像的物理意義可知，在右時刻兩車的位置相同，速度不相等,

乙車的速度大于甲車的速度，A錯誤；從0到山時間內，乙車走過的路程大于甲車，B錯誤;

從右到友時間內，兩車都是從的位置走到用位置，兩車走過的路程相等，C正確；根據位移

一時間圖像的斜率等于速度可知，從我到友時間內的某時刻，有甲圖線的切線與乙圖線平行、

斜率相同，兩車速度相等，D正確。

3.制動防抱死系統（antilockbrakesystem）簡稱ABS,其作用就是在汽車制動時，自動

控制制動器制動力的大小，使車輪不被抱死，處于邊滾邊滑的狀態，以保證車輪與地面的附著

力為最大值。某汽車在啟用ABS剎車系統和不啟用該剎車系統緊急剎車時，其車速隨時間的

變化關系分別如圖中的①、②圖線所示。由圖可知，啟用配$后（）

A,瞬時速度總比不啟用ABS時小

B.加速度總比不啟用ABS時大

C.剎車后的平均速度比不啟用ABS時小

D.剎車后前行的距離比不啟用ABS更短

答案D

解析片［圖像中各點的縱坐標表示對應的速度，由圖可知，啟用ABS后，瞬時速度開始

時比不啟用時要大，故A錯誤；片t圖像的斜率表示加速度，由圖可知，啟用ABS后，開始時

的加速度小于不啟用時的加速度，故B錯誤；由圖可知，啟用ABS后經過的位移明顯小于不

啟用時的位移，但由于時間關系不明顯，故無法比較兩種情況下的平均速度大小，故C錯誤,

D正確。

4.如圖所示，圖甲為質點a和6做直線運動的位移一時間圖像，圖乙為質點c和d做直

線運動的速度一時間圖像，由圖可知（）

A.若心時刻a、6兩質點第一次相遇，則功時刻兩質點

第二次相遇

B.若心時刻c、d兩質點第一次相遇，則友時刻兩質點

第二次相遇

第11頁，共16頁

C.心到段時間內，6和d兩個質點的運動方向發生了改變

D.G到友時間內，a和d兩個質點的速率先減小后增大

答案A

解析在rt圖像中，兩圖線的交點表示兩質點位置相同即相遇，由圖甲可知，若右時

刻a、b兩質點第一次相遇，則友時刻兩質點第二次相遇，故A正確；根據彳t圖像與t軸所

圍成的面積表示位移知，質到友時間內，c的位移大于d的位移，若時刻c、d兩質點第一

次相遇，則段時刻兩質點沒有相遇，故B錯誤；根據圖甲、乙可知，只有質點6運動方向改

變，質點a、c、"的運動方向未發生改變，故C錯誤；根據萬6圖像知，心至IJ友時間內，a

質點的速度不變，由片力圖像知，打到友時間內，d的速率先減小后增大，故D錯誤。

5.a、b兩車在平直公路上沿同一方向行駛，兩車運動的片t圖像如圖所，

示，在2=0時刻，b車在a車前方國處，在0?右時間內，a車的位移為%

若s=2s。,貝U()

A.a、b兩車只會相遇一次，在質時刻相遇

B.a、b兩車只會相遇一次，在1時刻相遇

C.a、b兩車可以相遇兩次，一次在停時刻相遇，另一次在竽時刻相遇

D.a、b兩車可以相遇兩次，一次在件時刻相遇，另一次在竽時刻相遇

答案D

解析由片寸圖像與時間軸圍成的面積表示位移可知，s="詈質=竽，境=9=學。

乙乙乙4

右時刻兩車的位移差為則由題設可知，a、b兩車可以相遇兩次。設第一

次相遇的時刻為to,則上尹=(紜牛，解得to=1,根據對稱性，另一次在竽時刻相遇。

△S\ti/2Z

故A、B、C錯誤，D正確。

6.在一大霧天，一輛小汽車以30m/s的速度行駛在高速公路上，突然發現正前方30m

處有一輛大卡車以10m/s的速度同方向勻速行駛，小

汽車緊急剎車，剎車過程中剎車失靈.如圖db

第12頁，共16頁

012345r/s

分別為小汽車和大卡車的Lt圖象，以下說法正確的是（）

A.因剎車失靈前小汽車已減速，不會追尾

B.在t=5s時追尾

C.在t=3s時追尾

D.由于初始距離太近，即使剎車不失靈也會追尾

解析：根據速度圖象與橫軸所圍面積等于位移可知，兩車速度相等時&=5s）小汽車相

對于大卡車位移為35m,所以會追尾，選項A錯誤；在方=3s時，小汽車相對于大卡車位移

等于30m,發生追尾，選項C正確，B錯誤；若剎車不失靈，在t=2s時兩車速度相等，小

汽車相對于大卡車位移等于20m,小于開始時的30m距離，所以剎車不失靈不會追尾，選項

D錯誤.

答案：C

7.如圖所示，4、6兩物體相距s=7m時，/在水平

拉力和摩擦力作用下，正以以=4m/s的速度向右勻速運動，

而物體8此時正以后=10m/s向右勻減速運動，加速度a

=-2m/s?,則/追上6所經歷時間是（）

A.7sB.8s

C.9sD.10s

解析：由題意知，t=5s時，物體8的速度減為零，位移大小Ai=1ai2=25m,此時A

Li

的位移x<="1=20m,力、夕兩物體相距AS=S+XB—XA=7m+25m—20m=12m,再經過At

=AS/VA=3S,/追上6,所以為追上8所經歷時間是5s+3s=8s,選項B正確.

答案：B

8.（2020?安徽省定遠重點中學高三3月線上模擬）（多選）甲、乙兩輛小汽車（都可視為

質點）分別處于同一條平直公路的兩條平行車道上，開始時（力=0）乙車在前甲車在后，兩車間

距為的，1=0時甲車先啟動，t=3s時乙車再啟動，兩車啟動后都是先做勻加速運動，后做

勻速運動，片［圖像如圖所示。根據圖像，下列說法正確的是（）

第13頁，共16頁

A.兩車加速過程，甲的加速度比乙大

B.若司=80m,則兩車間距最小為30m

C.若兩車在t=5s時相遇，則在t=9s時再次相遇

D.若兩車在t=4s時相遇，則在t=10s時再次相遇

答案BC

解析片t圖像的斜率表示加速度，則從圖像上可以看出，兩車加速過程，乙的加速度比

甲大，故A錯誤；速度相等時兩車間距有最小值，從圖像上可以看出t=7s時，兩車速度相

2+7X201

等，此時甲運動的位移為的=-----o----------m=90m,乙運動的位移為照=5X4x20m=40m,

則此時甲、乙之間的距離為Ax=質+劉一為=30m,故B正確；若兩車在t=5s時相遇，從

圖像上可以看出5?9s內甲、乙運動的位移相等，所以甲、乙在力=9s時會再次相遇，故C

正確；若兩車在t=4s時相遇，從圖像上可以看出4?10s內甲、乙運動的位移不相等，則

在t=10s時兩車不會再次相遇，故D錯誤。

9.