§L1.1集合的含義及其表示

［自學(xué)目標(biāo)］

1.認(rèn)識(shí)并理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法；

2.了解屬于關(guān)系和集合相等的意義，初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義；

3.初步掌握集合的兩種表示方法一列舉法和描述法,并能正確地表示一些簡(jiǎn)單的集合.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.集合和元素

(1)如果。是集合A的元素,就說a屬于集合A,記作awA;

(2)如果a不是集合A的元素,就說a不屬于集合A,記作a^A.

2.集合中元素的特性:確定性;無(wú)序性;互異性.

3.集合的表示方法:列舉法;描述法;Venn圖.

4.集合的分類:有限集;無(wú)限集;空集.

5.常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N,正整數(shù)集記作N*或N+，整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記

作。，實(shí)數(shù)集記作R.

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.下列的研究對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合?如果能,采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?

(1)小于5的自然數(shù)；

(2)某班所有高個(gè)子的同學(xué)；

(3)不等式2x+l>7的整數(shù)解；

(4)所有大于。的負(fù)數(shù)；

(5)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，第一、三象限的平分線上的所有點(diǎn).

分析：判斷某些對(duì)象能否構(gòu)成集合,主要是根據(jù)集合的含義,檢查是否滿足集合元素的確定性.

例2.已知集合M={a,b,c}中的三個(gè)元素可構(gòu)成某一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng),那么此三角形

一定是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

例3.設(shè)aeN,/?eN,a+b=2,A=+(y-iz)2=5￡?},若(3,2)€A,求出”的

值.

分析：某元素屬于集合A,必具有集合A中元素的性質(zhì)p,反過來,只要元素具有集合A中元素

的性質(zhì)p,就一定屬于集合A.

例4.已知M={2,。/},可={24,2,〃},且用=N,求實(shí)數(shù)a力的值.

［課內(nèi)練習(xí)］

1.下列說法正確的是（）

（A）所有著名的作家可以形成一個(gè)集合

⑻0與{0}的意義相同

(C)是有限集

（D）方程/+2苫+1=0的解集只有一個(gè)元素

2.下列四個(gè)集合中，是空集的是()

A.[x\x+3=3]B.{(x,y)ly2=-x2,x,ye/?)

C.{x\x2<0}D.{xLd-x+l=0}

fy=2

3.方程組i/—y=()的解構(gòu)成的集合是()

A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}.

4.已知A={—2,—1,01}，B={yIy=\x\xeA},貝ijB=

5.若4={—2,2,3,4},6={xlx=/,feA},用列舉法表示B=.

［歸納反思］

1.本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是集合的含義及其表示方法，難點(diǎn)是元素與集合間的關(guān)系以及集合元素

的三個(gè)重要特性的正確使用；

2.根據(jù)元素的特征進(jìn)行分析，運(yùn)用集合中元素的三個(gè)特性解決問題，叫做元素分析法。這是

解決有關(guān)集合問題的一種重要方法；

3.確定的對(duì)象才能構(gòu)成集合.可依據(jù)對(duì)象的特點(diǎn)或個(gè)數(shù)的多少來表示集合,如個(gè)數(shù)較少的有限

集合可采用列舉法,而其它的一般采用描述法.

4.要特別注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)的規(guī)范使用.

［鞏固提高］

1.己知下列條件：①小于60的全體有理數(shù)；②某校高一年級(jí)的所有學(xué)生；③與2相差很小

2

的數(shù)；④方程廠=4的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列關(guān)系中表述正確的是-----------------------------------------（）

A.B.0?（0,0）}c.Oe0D.OeN

3.下列表述中正確的是----------------------------------------------（）

A.網(wǎng)=0B.乩2}={2，1}c.{0}=0口.O^N

4.已知集合人】"-'261-1，/一1},若一3是集合A的一個(gè)元素，則。的取值是（）

A.0B.-1C.1D.2

x=3+2y

《

5.方程組&x+y=4的解的集合是----------------------------------------（）

A{（1.-1）}B{（T」）}C{（xMl（LT）}D{Tl}

,2x+4>0

*

6.用列舉法表示不等式組U+xN2x-1的整數(shù)解集合為：

1fI25八］f|219八］

一G\x|x-cix—二°,----x-a=0；

7.設(shè)212J，則集合〔2」中所有元素的和為：

8、用列舉法表示下列集合:

⑴{(x,)，)|x+y=3,xeN,yeN}

⑵{y|x+y=3,xeN,yeN}

9.已知/={1,2,/-5x+9},廬{3,f+ax+a},如果走{1,2,3},2eB,求實(shí)數(shù)a的

值.

A=[n\neZ,\n\<3]集48={y|y=/一1,彳wA

10.設(shè)集合

C=|(x,y)|y=x2-l,xe/i集合，試用列舉法分別寫出集合A、B、C.

1.1.2子集、全集、補(bǔ)集

［自學(xué)目標(biāo)］

1.了解集合之間包含關(guān)系的意義.

2.理解子集、真子集的概念.

3.了解全集的意義,理解補(bǔ)集的概念.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.子集的概念：如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素（若aeA,則ae6）,那

么稱集合A為集合B的子集（subset）,記作A=B或5=（一

A16還可以用Venn圖表示.\B

我們規(guī)定：01A.即空集是任何集合的子集.'-----"

根據(jù)子集的定義,容易得到：

⑴任何一個(gè)集合是它本身的子集,即A=A.

⑵子集具有傳遞性,即若AqB且BqC,則AgC.

2.真子集：如果A=8且A#3,這時(shí)集合A稱為集合B的真子集（propersubset）.

記作：A述B

⑴規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集.

⑵如果A緊B,B緊。，那么/與C

3.兩個(gè)集合相等：如果Aq8與6工4同時(shí)成立,那么A,8中的元素是一樣的,即A=8.

4.全集：如果集合S包含有我們所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看作一個(gè)全集（Universal

set）,全集通常記作U.

5.補(bǔ)集：設(shè)A［S,由s中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集

（complementaryset）,記作：dsA（讀作A在S中的補(bǔ)集），即

aA={x|xwS,且％任A}.

補(bǔ)集的Venn圖表示：

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.判斷以下關(guān)系是否正確：

⑴㈤口㈤；⑵{L2,3}={3,2』；⑶01{0}；

⑷。e{。}；⑸0c網(wǎng)：(6)0="

例2.設(shè)4=卜|一1<x<3,x€Z},寫出A的所有子集.

例3.已知集合A/=[a,a+d,a+2d],N=,其中awO且M=N，求q和d的

值（用。表示）.

例4設(shè)全集U={2,3,“2+2。_3},A={|2a-1|,2},C*={5},求實(shí)數(shù)a的值.

例5.已知A={x|x<3},8={x|x<a}.

⑴若BqA,求a的取值范圍；

⑵若A=8,求。的取值范圍；

⑶若早CM，求a的取值范圍.

［課內(nèi)練習(xí)］

1.下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為()

①0G{0},②①是{0},③{0,1}={(0,1)},@{(a,b)}={",a)}

A)1(皮2(。3(D)4

2.集合{2,4,6,8}的真子集的個(gè)數(shù)是()

(A)16(B)15(C)14(D)13

3.集合A={正方形},8={矩形},C={平行四邊形},。={梯形}，則下面包含關(guān)系中

不正確的是()

(A)A<^B(B)BcC(C)CcD(D)AQC

4.若集合，貝心=.

5.已知M={x|-2WxW5},N={x|a+lWxW2a-l}.

(I)若MqN,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(II)若M2N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［歸納反思］

1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合之間包含關(guān)系及補(bǔ)集的概念,重點(diǎn)理解子集、真子集,補(bǔ)集的概念,

注意空集與全集的相關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)軸表示數(shù)集.

2.深刻理解用集合語(yǔ)言敘述的數(shù)學(xué)命題，并能準(zhǔn)確地把它翻譯成相關(guān)的代數(shù)語(yǔ)言或幾何語(yǔ)

言，抓住集合語(yǔ)言向文字語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化是打開解題大門的鑰匙，解決集合問題時(shí)要

注意充分運(yùn)用數(shù)軸和韋恩圖，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的思想方法的巨大威力。

［鞏固提高］

1.四個(gè)關(guān)系式：①0u{0}；②Oe{0}；③0e{0}；?0={0},其中表述正確的是［］

A.①，②B.①，③C.①，@D.②，④

2.若U={x|x是三角形}P={x|x是直角三角形},則

CuP=-----------------------〔〕

A.{x|x是直角三角形}B.{x|x是銳角三角形}

C.(x|x是鈍角三角形}D.{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}

3.下列四個(gè)命題：①0={0}；②空集沒有子集；③任何一個(gè)集合必有兩個(gè)子集；④空集是

任何一個(gè)集合的子集.其中正確的有

---------------------------------------------------[]

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

4.滿足關(guān)系緊2K4{1,2,3,4,5)的集合A的個(gè)數(shù)是

--------------------------[]

A.5B.6C.7D.8

5.若x,yeR,A={(x,y)|y=x},8=上=1},則A,6的關(guān)系是--[]

A.ABB.4WBC.A=BD.A^B

6.設(shè)A={x|x<5,xeN},B={x|1<x<6,xeN},則08=

7.U={xI——8x+15=0,xeR},則U的所有子集是

8.已知集合4="|4<》<5},8={xlx22},且滿足A^B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

9.已知集合P={xIx2+x-6=0,xeR},S={xIax+1=0,xe/?},

若S=P,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

10.已知M={xIx>0,xeR},N={x|x>a,xeR}

(1)若MqN,求a得取值范圍；

(2)若M3N,求a得取值范圍；

(3)若尊C\N,求a得取值范圍.

交集、并集

［自學(xué)目標(biāo)］

1.理解交集、并集的概念和意義

2.掌握了解區(qū)間的概念和表示方法

3.掌握有關(guān)集合的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.交集定義:AClB={x|xGA且xGB}

運(yùn)算性質(zhì)：⑴AABaA,AABcB

(2)AHA=A,AH@

(3)AAB=BOA

(4)AcB<=>AAB=A

2.并集定義：AUB={x|xGA或xGB}

運(yùn)算性質(zhì)：⑴Ac(AUB),Bq(AUB)(2)AUA=A,AU<|>=A

(3)AUB=BUA(4)A=BoAUB=B

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

1.設(shè)A={x|x>—2},B={x|x<3},求ACB和AUB

2.已知全集U={x|x取不大于30的質(zhì)數(shù)},A、B是U的兩個(gè)子集，且ACQB=

{5,13,23},GAnB={ll,19,29},CuACGB={3,7},求A,B.

3.設(shè)集合A={|a+l|,3,5},集合B={2a+1,a、2a,a、2a—l}當(dāng)AAB={2,3}時(shí),

求AUB

［課內(nèi)練習(xí)］

1.設(shè)A=(—l,3］,B=［2,4),求AAB

2.設(shè)A=(0,l］,B={0},求AUB

3.在平面內(nèi)，設(shè)A、B、0為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，則下列集合表示什么圖形

(1){P|PA=PB}(2){PPO=1}

4.設(shè)A={(x,y)|y=—4x+b},B={(x,y)Iy=5x—3},求ACB

5.設(shè)A={x|x=2k+1,kGZ},B={x|x=2k—1,kGZ},C={x|x=2k,kGZ},

求APB,AUC,AUB

［歸納反思］

1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，可以借助數(shù)軸，還可以借助文氏圖，它們都是數(shù)形結(jié)合思想的體

現(xiàn)

2.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想法，明確分類討論思想，掌握分類討論思想方法。

［鞏固提高］

1.設(shè)全集U={a,b,c,d,e},N={b,d,e}集合M={a,c,d},則Cu(MUN)

等于___________________________________

2.設(shè)A={x|x<2},B={x|x>l),求ACB和AUB

3.已知集合A=1,4),B=(-s,a),若A笑，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

4.求滿足{1,3}UA={L3,5}的集合A

5.設(shè)A={x|x'一x—2=0},B=(-2,2],求ACB

6、設(shè)A={(x,y)|4x+my=6},B={(x,y)y=nx—3}KAAB={(1,2)},

則m=n=

7、已知A={2,-1,x2—x+1},B={2y,—4,x+4},C={一1,7}且ACB=C,求x,y的值

8、設(shè)集合A={x12x、3px+2=。,B={x2x'+x+q=0},其中p,q,xGR,且AflB={—}時(shí),求p

2

的值和AUB

9、某車間有120人，其中乘電車上班的84人，乘汽車上班的32人，兩車都乘的18人，求:

⑴只乘電車的人數(shù)⑵不乘電車的人數(shù)⑶乘車的人數(shù)⑷只乘一種車的人數(shù)

10、設(shè)集合A={x，+2(a+1)x+a—1=0},B={xIx2+4x=0}

⑴若ACB=A,求a的值

⑵若AUB=A,求a的值

集合復(fù)習(xí)課

［自學(xué)目標(biāo)］

1.加深對(duì)集合關(guān)系運(yùn)算的認(rèn)識(shí)

2.對(duì)含字母的集合問題有一個(gè)初步的了解

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.數(shù)軸在解集合題中應(yīng)用

2.若集合中含有參數(shù)，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

1.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為1卜也可表示為{。2,。+40},求后期+/004

2.已知集合A={xlx<—1或x>2},集合B={xl4x+p<0},當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)p的取

值范圍

3.已知全集U={L3,X3+3X2+2X］,A={1,|2X—1|),若CuA={0},則這樣的實(shí)數(shù)x是否

存在，若存在，求出x的值，若不存在，說明理由

［課內(nèi)練習(xí)］

1.已知A={x|x<3},B={x|x<a}

(1)若B=A,求a的取值范圍

(2)若AqB,求a的取值范圍

(3)若CM區(qū)必，求a的取值范圍

2.若P={y|y=x2,xCR},Q={y|y=x2+l,xGR),貝l」PAQ=

3.若P={y|y=x2,xGR},Q={(x,y)|y=x2,xGR},則PAQ=

4.滿足{a,b}呈Ac{a,b,c,d,e}的集合A的個(gè)數(shù)是

［歸納反思］

1.由條件給出的集合要明白它所表示的含義，即元素是什么？

2.含參數(shù)問題需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)要求既不重復(fù)也不遺漏。

［鞏固提高］

1.已知集合M={x|x3—2x?—x+2=0},則下列各數(shù)中不屬于M的一個(gè)是()

A.—1B.1C.2I).—2

2.設(shè)集合A={x|—Kx<2},B={x|x<a},若ACBrd),則a的取值范圍是()

A.a<2B.a>—2C.a>—1I).—lWaW2

3.集合A、B各有12個(gè)元素，ACB中有4個(gè)元素，則AUB中元素個(gè)數(shù)為

1k1

4.數(shù)集M={x|x=Z:+上,AeN},N={xx=±—±,kwN},則它們之間的關(guān)系是

424

5.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x.y)|x—y=4},那么集合MCIN=

6.設(shè)集合A=以反2—px+15=0},B={x|x—5x+q=0},若AUB={2,3,5},則A=

B=________________

7.已知全集U=R,A={x|xW3},B={x|0WxW5},求(GA)AB

8.已知集合人=小日’-3x+2=0},B={xix"-mx+(m—1)=0},且B&A,求實(shí)數(shù)m的值

9.已知A={x|x?+x—6=0},B={x|mx+l=0},且AUB=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍

10.已知集合集{x|—2VxV—1或x>0},集合B={xlaWxWb},滿足ADB={x10VxW2},

AUB={x|x>—2},求a、b的值

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象（1）

［自學(xué)目標(biāo)］

1.體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)的概念；

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素有定義域、值域與對(duì)應(yīng)法則；

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.函數(shù)的定義：y=/(x)，xeA.

2.函數(shù)概念的三要素：定義域、值域與對(duì)應(yīng)法則.

3.函數(shù)的相等.

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例L判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：

2八

(1)X—>一

X

(2)xy,這里V=x,xEN,y￡R.

補(bǔ)充：(1)A=R,B={xERIx>0},/:x—>y=|x|；

(2)A=3=NJ:x—>y=,一3|；

(3)A={xG/?|x>0},B=R,f:xy=±\/~x；

(4)A={%|0x6},B={x|0x3},/:A,->y

分析：判斷是否為函數(shù)應(yīng)從定義入手，其關(guān)鍵是是否為單值對(duì)應(yīng)，單值對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵是元

素對(duì)應(yīng)的存在性和唯一性。

ABCD

例3.在下列各組函數(shù)中，/(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是------------------［

］

A./(x)=l,g(x)=x°B.丁=%與丁=7^

C.丁二/與^=(工+1)2D./(x)=IxI,g(x)=JP"

3x-6(x20)

例4已知函數(shù)f(x)求J⑴及/U1⑴]

x+5(x<0),

［課內(nèi)練習(xí)］

1.下列圖象中表示函數(shù)y=f(x)關(guān)系的有-------------------------------()

A.⑴⑵⑷B.⑴⑵C.⑵⑶⑷D.⑴⑷

2.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是----------------------------------()

A.y=14x2-12x+9和y=|3-2x|B.y=x?和y=

C.y=x^\y=D.y=x和y=(V7)

3.下列四個(gè)命題

(1)f(X)=Jx-2+—X有意義；

(2)/(x)表示的是含有x的代數(shù)式

(3)函數(shù)y=2x(xeN)的圖象是一直線；

(4)函數(shù)y=<'一的圖象是拋物線，其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

一工,尢<0

A.1B.2C.3D.0

廠—l(x>1)5/3

4.已知f(x)=4/,貝Uf(土)=___________________；

l-x2(x<l)3一

5.已知/1滿足/(a&h/XaHF(分，且f(2)=p,/(3)=4那么/(72)=

［歸納反思］

1.本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)的定義與函數(shù)記號(hào)/(X)的意義，難點(diǎn)是函數(shù)概念的理解和正確

應(yīng)用；

2.判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)，是函數(shù)概念的一個(gè)重要應(yīng)用，要能緊扣函數(shù)定義的三要

素進(jìn)行分析，從而正確地作出判斷.

[鞏固提高]

1.下列各圖中，可表示函數(shù)y=/(x)的圖象的只可能是--------------------[]

ABCD

2.下列各項(xiàng)中表不同一函數(shù)的是-[]

2/

A.y=(x—l)o與y=]B.y，y=—

2x

C.y=wR與y=x-l,尤￡ND.f(x)=2x-1與g(t)=2t-1

3.若/(x)=/+。(。為常數(shù))，/(正)=3,則a=一-----------[]

A.-1B.1C.2D.—2

4.設(shè)/(x)=^X+—],x^±l,則/(—x)等于一-------------[]

x-1

A.B.f(x)C.D./(x)

/(X)fM

5.已知/(x)=/+l,貝iJ/(2)=___________,/(x+l)=_

6.已知/(x)=x—l,工€2且8€[-1,4],則/(x)的定義域是_____________,

值域是_________________

7.已知/(x)=J,則〃")=__________________

l-x2(|x<1)3

8.^f(x)=x3+l,求/{/"(0)]}的值

19

9.已知函數(shù)/(x)=—x+3,求使/(x)e(3,4)的x的取值范圍

28

10.若/?(x)=2，+l,g(x)=x—l,求〃g(x)],g[f(x)]

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(2)

［自學(xué)目標(biāo)］

掌握求函數(shù)定義域的方法以及步驟；

［知識(shí)要點(diǎn)］

1、函數(shù)定義域的求法：

(1)由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域；

(2)由實(shí)際問題確定的函數(shù)的定義域；

(3)不給出函數(shù)的解析式，而由/(x)的定義域確定函數(shù)/［g(x)］的定義域。

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.求下列函數(shù)的定義域：

(1)/(x)=Jl+x-X(2)/(x)=-(3)f(x)=----—(4)/(x)=j5-xT-----

fli+12-x

x

分析：如果/(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R：如果/(x)是分式，那么函數(shù)的定

義域是使分母工0的實(shí)數(shù)的集合；如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的表

達(dá)式20的實(shí)數(shù)的集合。★注意定義域的表示可以是集合或區(qū)間。

例2.周長(zhǎng)為/的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖)，若矩形底邊長(zhǎng)為2x,

求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域

B

2x

例3.若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?/p>

(1)求函數(shù)/(x+1)的定義域；

(2)求函數(shù)y=/(x+』)+/(x—L)的定義域。

44

[課內(nèi)練習(xí)]

1.函數(shù)〃x)=耳的定義域是------------------------------------()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.[0,+oo)D.R

2.函數(shù)f(x)的定義域是則y=f(3-x)的定義域是-----------------()

2

A[0,1]B[2,g]C[0,D(-oo,3)

3.函數(shù)〃x)=(l—x)°+JQ的定義域是：

4.函數(shù)/(x)=lg(x-5)的定義域是

5.函數(shù)/(x)="*+log3(x+l)的定義域是__________________________

X-1

[歸納反思]

1.函數(shù)定義域是指受限制條件F的自變量的取值；

2.求函數(shù)的定義域常常是歸結(jié)為解不等式和不等式組；

[鞏固提高]

1.函數(shù)y=Jl—+J?-1的定義域是---------------------------[]

A.[-1,1]B.(-oo,-l]U[l,+°o)c.[0,1]D.{-1,1}

2.已知/(x)的定義域?yàn)閇-2,2],則/(l-2x)的定義域?yàn)?---------[]

A.[—2,2]B.[---,—]C.[—1,3]D.[—2,—]

222

3.函數(shù))，=號(hào)2的定義域是一-[]

A.1x|x>O}B.1x|x<0|C.{x[x<O,xW-l}D.{x|xwO,xW-l}

4.函數(shù)y二公里?的定義域是_____________________________

X

5.函數(shù)/(x)=|x+l|的定義域是；值域是

6.函數(shù)y=—^的定義域是:

i-W

7.求下列函數(shù)的定義域

J1一x

(1)y=72x4-3；(2)y=--------(-3-)---y=——

(l-2x)(x+l)x+5

8.若函數(shù)“X)的定義域?yàn)閤e[—3,1],則F(x)=J(尤)+〃一x)的定義域.

9.用長(zhǎng)為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積S(cm?)表示為矩形一邊長(zhǎng)x(c〃z)的函數(shù),

并畫出函數(shù)的圖象.

10.已知函數(shù)/(x)=ax2+bx+c,若〃0)=0J(x+l)=/(x)+x+l,求/(x)的表達(dá)式.

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象（3）

［自學(xué)目標(biāo)］

掌握求函數(shù)值域的基本求法；

［知識(shí)要點(diǎn)］

函數(shù)值域的求法

函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則確定的，因此，要求函數(shù)的值域，一般要從函

數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則入手分析，常用的方法有：

（1）觀察法；（2）圖象法；（3）配方法；（4）換元法。

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.求下列函數(shù)的值域：

（1）y=2x+l,xe{1,2,3,4,5}；

(2)y=\[x+1;

⑷尸耳丞

(5)y=-12-2x+3變題：y=-x2-2x+3(-5WxW-2)；

(6)y=x4-V2x-1

分析：求函數(shù)的值域，一種常用的方法就是將函數(shù)的解析式作適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^觀察或利用

熟知的基本函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）的值域，從而逐步推出所求函數(shù)的值域（觀察

法）；或者也可以利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值域。

例2.若函數(shù)〉=/一3了一4的定義域?yàn)椋?,〃7］,值域?yàn)椋?37,5-4］,求加的取值范圍

4

［課堂練習(xí)］

2

1.函數(shù)y=*（x>0）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,2]B.(0,2]C.(0,2)D.[0,2)

2.函數(shù)y=2x?-4x-3,0WxW3的值域?yàn)?)

A(-3,3)B(-5,-3)C(-5,3)D(-5,+8)

2

3.函數(shù)y=—1,了€[-4,一1]的最大值是()

A.2B.-C-1D.-4

2

4.函數(shù)y=x2（x豐-2）的值域?yàn)?/p>

5.求函數(shù)y=x+Jl-2x的定義域和值域

［歸納反思］

求函數(shù)的值域是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，方法靈活多樣，初學(xué)時(shí)只要掌握幾種常用的方法，

如觀察法、圖象法、配方法、換元法等，在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)有?些新的方法（例如運(yùn)用函

數(shù)的單調(diào)性、配方法、分段討論法、不等式法等等），可以逐步地深入和提高。

[鞏固提高]

1.函數(shù)y=1(尤>1)的值域是--[]

X

A.(-oo,0)U(0,+oo)B.RC.(0,1)D.(1,+8)走

2.下列函數(shù)中，值域是(0,+oo)的是-------------------------------[]

A.y—ylx~-3x+1B.y—2x+1(x>0)C.yx~+x+1D.y——

3.已知函數(shù)/（x）的值域是［—2,2］,則函數(shù)y=/（x+1）的值域是]

A.[—1,3]B.[—3,1]C.[—2,2]I).

4./(x)=x2-|x|,xe{±l,±2,±3},則/(x)的值域是:.

5.函數(shù)y=x-2J匚1+2的值域?yàn)?.

6.函數(shù)y=—~!---的值域?yàn)?_________________________.

x—2x+2

7.求下列函數(shù)的值域

(1)y=y/x-1(2)y=-2廠一x—1(3)y=(—2<x<3)

(4)y=-^~~-(5)y=2x-y!x-\(6).」+2'

x+11—3x

8.當(dāng)xw［l,3］時(shí)，求函數(shù)/。）=2》2-6犬+。的值域

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象（4）

［自學(xué)目標(biāo)］

1.會(huì)運(yùn)用描點(diǎn)法作出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，從“形”的角度進(jìn)步加深對(duì)函數(shù)概念的理解；

2.通過對(duì)函數(shù)圖象的描繪和研究，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決

數(shù)學(xué)問題的能力.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.函數(shù)圖象的概念

將自變量的一個(gè)值/作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值/（%）作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上

的一個(gè)點(diǎn)（Xoj（x。））.當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的

點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成的集合（點(diǎn)集）為{（x,/（x））|xeA},即{（x,y）|y=/（x）,xeA},所

有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)？=/（X）的圖象.

2.函數(shù)圖象的回法

畫函數(shù)的圖象，常用描點(diǎn)法，其基本步驟是：⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線.在畫圖過程中，

一定要注意函數(shù)的定義域和值域.

3.會(huì)作圖，會(huì)讀（用）圖

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.畫出下列函數(shù)的圖象，并求值域：

(1)y=3x-\,xG［1,2］；(2)y-(一1)*,xe{0,1,2,3}；

(3)y=|x|；變題：y=|x-l|；(4)y=x2-2|x|-2

例2.直線尸3與函數(shù)片||圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(/)4個(gè)(6)3個(gè)92個(gè)(〃)1個(gè)

例3.下圖中的A.B.C.D四個(gè)圖象中,用哪三個(gè)分別描述下列三件事最合適，并請(qǐng)你為剩下

的一個(gè)圖象寫出一件事。

離開家的距離(m)

(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，停下來想了一會(huì)還是返回家取了作業(yè)本再

上學(xué)；

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間加快了速度。

［課堂練習(xí)］

1.下列四個(gè)圖像中,是函數(shù)圖像的是)

(4)

D、⑶、(4)

2.直線x=a(aeR)和函數(shù)y=x2+\的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù))

A至多一個(gè)B至少有一個(gè)C有且僅有一個(gè)D有一個(gè)或兩個(gè)以上

3.函數(shù)y=|x+l|+l的圖象是()

［歸納反思］

1.根據(jù)函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖象，基本方法是描點(diǎn)法，但值得指出的是：-要注意函數(shù)

的定義域，二要注意對(duì)函數(shù)解析式的特征加以分析，充分利用已知函數(shù)的圖象提高作圖

的速度和準(zhǔn)確性；

2.函數(shù)的圖象是表示函數(shù)的一種方法，通過函數(shù)的圖象可以直觀地表示x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系

以及兩個(gè)變量變化過程中的變化趨勢(shì)，以后我們會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用函數(shù)解析式與函數(shù)圖象兩

者的有機(jī)結(jié)合來研究函數(shù)的性質(zhì).

［鞏固提高］

1.某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在下

圖中縱軸表示離學(xué)校距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下圖中較符合學(xué)生走法的是

（）

dddd

ABCD

2.某工廠八年來產(chǎn)品C（即前t年年產(chǎn)量之和）與時(shí)間t（年）的函數(shù)如下圖，下列四種說法:

（1）前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越快；c

（2）前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來越慢；

（3）第三年后，年產(chǎn)量保持不變；。|3t

（4）第三年后，年產(chǎn)量逐步增長(zhǎng).

其中說法正確的是（）

A.（2）與（3）B.（2）與（4）C.（1）與（3）D.（1）與（4）

3.下列各圖象中，哪一個(gè)不可能是函數(shù)y=/（x）的圖象（）

B.

C.

4.函數(shù)），=履+6（妨工0）的圖象不通過第一象限，則人力滿足---------[]

A.k<0,h>0B.k<0,b<0C.k>0,b<0D.k>Q,h>0

5.函數(shù)y=ax?+Z?x+c與y=ax+b（abH0）的圖象只可能是-------[]

yy

yy

7.函數(shù)y=3x—l(lWxW2)的圖象是

8.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(-2,1),則此函數(shù)的解析式為

9.若二次函數(shù)y--x2+2mx-m~+3的圖象的對(duì)稱軸為x--2,則加=

10.在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)/(x)=(x—與g(x)=|x—1］的圖象

(1)問：y=g(x)的圖象關(guān)于什么直線對(duì)稱？

(2)已知玉<》2<1，比較大小：g(X1)g(》2)

§2.1.2函數(shù)的表示方法

［自學(xué)目標(biāo)］

1.了解表示函數(shù)有三種基本方法：圖象法、列表法、解析法;理解函數(shù)關(guān)系的三種表示方法具

有內(nèi)在的聯(lián)系，在一定的條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的.

2.了解求函數(shù)解析式的一些基本方法,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的解析式.

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的特點(diǎn)以及應(yīng)用.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.表示函數(shù)的方法,常用的有:解析法,列表法和圖象法.

在表示函數(shù)的基本方法中，列表法就是直接列表表示函數(shù)，圖象法就是直接作圖表示函數(shù),

而解析法是通過函數(shù)解析式表示函數(shù).

2.求函數(shù)的解析式，?般有三種情況

⑴根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)的關(guān)系式；

⑵已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式；

⑶運(yùn)用換元法求函數(shù)的解析式；

3.分段函數(shù)

在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)；

注意：

①分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù)；

②分段函數(shù)的定義域是x的不同取值范圍的并集;其值域是相應(yīng)的y的取值范圍的并集

［例題分析］

例1.購(gòu)買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元.若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象

法將y表示x(xe{l,2,3,4})成的函數(shù)，并指出該函數(shù)的值域.

例2.(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=4x-l,求f(x)的表達(dá)式:

(2)已知f(2x-3)=-+x+i,求f(x)的表達(dá)式;

例3.畫出函數(shù)/(x)=W的圖象，并求/(一3),/(3),/(-I),/(I),/(/(-2))

變題①作出函數(shù)/(x)=|x+l|/(x)=|x—2|的圖象

變題②作出函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的圖象

變題③求函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的值域

變題④作出函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的圖象，是否存在與使得f(x())=2及？

通過分類討論，將解析式化為不含有絕對(duì)值的式子.

-2x+l,x<-l,

f(x)=|x+l|+|x-2|=<3,-1<x<2,

2x-l,x>2

由圖可知，/(x)的值域?yàn)椋?,+oo),而20<3,故不存在X。，使"％)=2正

x+5,xW—1,

例4.已知函數(shù)〃x)=<一1<》<1,

2x,x>1.

⑴求f(-3)、f[f(-3)]；(2)若f(a)=,，求a的值.

2

［課堂練習(xí)］

1.用長(zhǎng)為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積S(cm2)表示為矩形一邊長(zhǎng)x(cm)的函數(shù),

并畫出函數(shù)的圖象.

2.若f(f(x))=2x—l,其中f(x)為一次函數(shù)，求f(x)的解析式.

3.已知f(x-3)=/+2x+l,求f(x+3)的表達(dá)式.

4.如圖，根據(jù)y=f(x)(xcR)的圖象，寫出y=f(x)的解析式.

［歸納反思］

1.函數(shù)關(guān)系的表示方法主要有三種：解析法,列表法和圖象法.這三種表示方法各有優(yōu)缺點(diǎn),

千萬(wàn)不能誤認(rèn)為只有解析式表示出來的對(duì)應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)；

2.函數(shù)的解析式是函數(shù)的種常用的表示方法，要求兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，一是要求出它

們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域；

3.無(wú)論運(yùn)用哪種方法表示函數(shù),都不能忽略函數(shù)的定義域;對(duì)于分段函數(shù),還必須注意在不同

的定義范圍內(nèi)，函數(shù)有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,必須先分段研究,再合并寫出函數(shù)的表達(dá)式.

［鞏固提高］

1函數(shù)f(x)=|x+3|的圖象是

--------------------------------------------------------------()

BCD

/(2x)=2x+3

，則f(x)等于----------------------------------------------------()

3x

A.x4—B.x+3C.—F3D.2x+3

22

3.已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,0)以及(0,1),則此一次函數(shù)的解析式為------()

A.y=-x+1B.y=x+lC.y=x-lD.y=-x-1

x+2(x<-l)

4.已知函數(shù)丁=/(弓=卜(—且/(a)=3,則實(shí)數(shù)a的值為一-()

2x(x>2)

A.1B.1.5C.-V3D.V3

5.若函數(shù)/'(x)=xn-機(jī)x+”,/(〃)=〃?,/⑴=一1,則/(-5)=

6.某航空公司規(guī)定，乘機(jī)所攜帶行李的重量（kg）與其運(yùn)費(fèi)（元）

山如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客免費(fèi)可攜帶行李的最大重

量為__________________________

xx>0,

7.畫出函數(shù)f(x)=〈?的圖象,

xx<0,

并求f(6+2)+f(6-2的值.

8.畫出下列函數(shù)的圖象

x2+1,x<0

(1)y=x—|1-x|⑵

-2x,x>0

9.求函數(shù)y=l一|1-X|的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積.

10.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,它沿著折線

BCDA由點(diǎn)B（起點(diǎn)）向A（終點(diǎn)）運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,