頁型，驗證不同的控制算法，供不同層次的學生進行實驗和研究。由于采用了運動控制器和伺服電機進行實時運動控制，以及齒型帶傳動，固高公司的倒立擺系統還是一個典型的機電一體化教學實驗平臺，可以用來進行各種電機拖動、定位和速度跟蹤控制實驗，讓學生理解和掌握機電一體化產品的部件特征和系統集成方法。控制理論所涉及的三個基礎學科：力學、數學和電學（含計算機）有機的結合起來，在倒立擺系統中進行綜合應用。在多種控制理論與方法的研究和應用中，特別是在工程實踐中，也存在一種可行性的試驗問題，將其理論和方法得到有效的經驗，倒立擺為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。控制理論在當前的工程技術界，主要是如何面向工程實際、面向工程應用的問題。一項工程的實施也存在一種可行性的試驗問題，用一套較好的、較完備的試驗設備，將其理論及方法進行有效的檢驗，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。在教學過程中，不但使學生具有扎實的理論基礎，還應掌握如何把理論知識應用到一個復雜的實際系統中，進一步達到提高教學質量的目的。在穩定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統作為一個控制裝置，結構簡單、價格低廉，便于模擬和數字實現多種不同的控制方法，作為一個被控對象，它是一個高階次、不穩定、多變量、非線性、強耦合的快速系統，只有采用行之有效的控制策略，才能使其穩定。倒立擺系統可以用多種理論和方法來實現其穩定控制，如PID、自適應、狀態反饋、智能控制、模糊控制及人工神經元網絡等多種理論和方法，都能在倒立擺系統控制上得到實現，而且當一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴格證明時，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證其正確性和實用性。用現代控制理論中的狀態反饋方法來實現倒立擺系統的控制，就是設法調整閉環系統的極點分布，以構成閉環穩定的倒立擺系統，它的局限性是顯而易見的。只要偏離平衡位置較遠，系統就成了非線性系統，狀態反饋就難以控制。實際上，用線性化模型進行極點配置求得的狀態反饋陣，不一定能使倒立擺穩定豎起來，能使倒立擺豎立起來的狀態反饋陣是實際2調試出來的，這個調試出來的狀態反饋陣肯定滿足極點配置。倒立擺系統機理的研究不僅具有重要的理論價值，而且具有重要的現實意義，是控制理論中經久不衰的研究課題。長期以來，倒立擺系統的控制問題一直受到國內外學者的普遍關注和不懈探索。課程設計要求：熟悉倒立擺實際控制系統；對倒立擺系統建模；進行控制算法設計；進行系統調試和分析；利用Matlab高級語言編程，實現倒立擺穩定控制；實時輸出波形，得出結論。0.2LQR.LQR(linearquadraticregulator)即線性二次型調節器,其對象是現代控制理論中以狀態空間形式給出的線性系統,而目標函數為對象狀態和控制輸入的二次型函數。LQR最優設計指設計是出的狀態反饋控制器K要使二次型目標函數J取最小值,而K由權矩陣Q與R唯一決定,故此Q、R的選擇尤為重要。LQR理論是現代控制理論中發展最早也最為成熟的一種狀態空間設計法。特別可貴的是,LQR可得到狀態線性反饋的最優控制規律,易于構成閉環最優控制。而且Matlab的應用為LQR理論仿真提供了條件,更為我們實現穩、準、快的控制目標提供了方便。對于線性系統的控制器設計問題，如果其性能指標是狀態變量和(或)控制變量的二次型函數的積分，則這種動態系統的最優化問題稱為線性系統二次型性能指標的最優控制問題，簡稱為線性二次型最優控制問題或線性二次問題。線性二次型問題的最優解可以寫成統一的解析表達式和實現求解過程的規范化，并可簡單地采用狀態線性反饋控制律構成閉環最優控制系統，能夠兼顧多項性能指標，因此得到特別的重視，為現代控制理論中發展較為成熟的一部分。LQR最優控制利用廉價成本可以使原系統達到較好的性能指標(事實也可以對不穩定的系統進行鎮定),而且方法簡單便于實現,同時利用Matlab強大的功能體系容易對系統實現仿真。本文利用Matlab對實例進行LQR最優控制設計,比較Q、R變化對系統動態性能的影響,說明LQR系統設計的簡單而可行性及Q、R變化對系統性能影響的重要性。0.3.最優控制（optimalcontrol）最優控制是現代控制理論的核心，它研究的主要問題是：在滿足一定約束條件下，尋求最優控制策略，使得性能指標取極大值或極小值。使控制系統的性能指標實現最優化的基本條件和綜合方法，可概括為：對一個受控的動力學系統或運動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優的控制方案，使系統的運動在由某個初始狀態轉移到指定的目標狀態的同時，其性能指標值為最優。這類問題廣泛存在于技術領域或社會問題中。例如，確定一個最優控制方式使空間飛行器由一個軌道轉換到另一軌道過程中燃料消耗最少。最優控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發展起來的。美國學者R.貝爾曼1957年提出的動態規劃和前蘇聯學者L.S.龐特里亞金1958年提出的極大值原理，兩者的創立僅相差一年左右。對最優控制理論的形成和發展起了重要的作用。線性系統在二次型性能指標下的最優控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。0.3.1數學角度從數學上看，確定最優控制問題可以表述為：在運動方程和允許控制范圍的約束下，對以控制函數和運動狀態為變量的性能指標函數（稱為泛函）求取極值（極大值或極小值）。解決最優控制問題的主要方法有古典變分法（對泛函求極值的一種數學方法）、極大值原理和動態規劃。最優控制已被應用于綜合和設計最速控制系統、最省燃料控制系統、最小能耗控制系統、線性調節器等。研究最優控制問題有力的數學工具是變分理論，而經典變分理論只能夠解決控制無約束的問題，但是工程實踐中的問題大多是控制有約束的問題，因此出現了現代變分理論。0.3.2研究方法現代變分理論中最常用的有兩種方法。一種是動態規劃法，另一種是極小值原理。它們都能夠很好的解決控制有閉集約束的變分問題。值得指出的是，動態規劃法和極小值原理實質上都屬于解析法。此外，變分法、線性二次型控制法也屬于解決最優控制問題的解析法。最優控制問題的研究方法除了解析法外，還包括數值計算法和梯度型法。線性二次最優控制LQR基本理論1.1一級倒立擺建模微分方程的推導，對于倒立擺系統，經過小心假設忽略掉一些次要因素后，倒立擺系統就是一個典型的剛體運動系統，可以在慣性坐標系統內應用景點力學理論建立系統的動力學方程。微分方程的推導：在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如下圖1所示.圖1一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成圖做如下假設：M:小車質量m：擺桿質量b：小車摩擦系數L：擺桿轉動軸心到桿質心的長度I：擺桿慣量F：加在小車上的力x：小車位置φ：擺桿與垂直向上方向的夾角θ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮帶擺桿初始位置為豎直向下）圖2小車受力分析圖圖3擺桿受力分析圖圖2和圖3是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車和擺桿的相互作用力的水平和垂直方向的分量。在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，所以矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量的正方向。應用牛頓方法來建立系統的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面的等式：將此等式代入上述等式中，可以得到系統的第一個運動方程：為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面的方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程：1.2微分方程模型設θ=π+φ，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角φ與1（單位是弧度）相比很小，即Φ<<1時，則可以進行如下近似處理：線性化后得到該系統數學模型的微分方程表達式：1.3傳遞函數模型對上述方程組進行拉氏變換后得到：解上述方程可得輸入量為加速度，輸出量為擺桿擺角的傳遞函數：其中。輸入量為力，輸出量為擺角的傳遞函數：其中1.4狀態空間數學模型控制系統的狀態空間方程可寫成如下形式：解代數方程可得如下解：整理后可得系統的狀態空間方程：對于質量均勻分布的擺桿，其轉動慣量為：代入微分方程模型中得：化簡后可得：設則有：1.5LQR控制器的二次最優控制原理LQR控制器是應用線性二次型最優控制原理設計的控制器。它的任務在于，當系統狀態由于任何原因偏離了平衡狀態時，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統狀態各分量仍接近于平衡狀態。線性二次型最優控制研究的系統是線性的或可線性化的，并且性能指標是狀態變量和控制變量的二次型函數的積分。線性二次最優控制LQR基本原理為，由系統方程：確定下列最佳控制向量的矩陣K：使得性能指標達到最小值：式中Q正定（或正半定）厄米特或實對稱陣R______為正定厄米特或實對稱陣下面是最優控制LQR控制原理圖：圖4最優控制LQR控制原理圖方程右端第二項是是考慮到控制能量的損耗而引進的，矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。并且假設控制向量u(t)是無約束的。對線性系統：根據期望性能指標選取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反饋矩陣K的值。K=lqr(A,B,Q,R)改變矩陣Q的值，可以得到不同的響應效果，Q值越大（在一定范圍之內），系統抵抗干擾的的能力越強，調整時間越短。但是Q不能過大。2.方案設計直線一級倒立擺系統的系統狀態方程：四個狀態量，，，分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度和擺桿角速度，輸出包括小車位置和擺桿角度。設計控制器使得當給系統施加一個階躍輸入時，擺桿會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車可以到達新的指定位置。假定全狀態反饋可以實現（4個狀態量都可測），找出確定反饋控制規律的向量K,用MATLAB中的lqr函數，可以得到最優控制器對應的K。Lqr函數允許選擇兩個參數R和Q，這兩個參數用來平衡輸入量和狀態量的權重。假定R=1,Q=C'*C.其中代表小車位置權重，而是擺桿角度的權重，輸入R是1。軟件編程3.1求K值程序程序如下：clear;A=[0100;0000;0001;0029.40];（矩陣A）B=[0103]';（矩陣B）C=[1000;0010];（矩陣C）D=[00]';（矩陣D）Q11=4000;Q33=100;（給矩陣Q賦值）Q=[Q11000;0000;00Q330;0000];（正定（或正半定）厄米特或實對稱矩陣Q）R=1;（正定厄米特或實對稱矩陣R）K=lqr(A,B,Q,R)（LQR控制器的反饋增益矩陣）3.2系統的開環階躍響應程序程序如下：clearA=[0100;0000;0001;0029.40];（矩陣A）B=[0103]';（矩陣B）C=[1000;0010];（矩陣C）D=[00]';（矩陣D）3.3小車的狀態程序程序如下：clear;A=[0100;0000;0001;0029.40];（矩陣A）B=[0103]';（矩陣B）C=[1000;0010];（矩陣C）D=[00]';（矩陣D）Q11=4000;Q33=100;（給矩陣Q賦值）Q=[Q11000;0000;00Q330;0000];（正定（或正半定）厄米特或實對稱矩陣Q）R=1;（正定厄米特或實對稱矩陣R）K=lqr(A,B,Q,R)（LQR控制器的反饋增益矩陣）Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];（定義新矩陣）T=0:0.005:5;（以0.005為單位，從0上升到5）U=0.2*ones(size(T));（0.2倍的以T的長度為矩陣大小設置全矩陣）[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);（繪制連續時間內作用于系統的零狀態響應）plot(T,X(:,1),'-');holdon;（得出小車位移圖像）plot(T,X(:,2),'-.');holdon;（得出小車速度圖像）plot(T,X(:,3),'.');holdon;（得出擺桿角度圖像）plot(T,X(:,4),'-')（得出擺桿角速度圖像）legend('CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd')（命名各圖像名稱）4.系統調試和結果分析4.1得出K值>>K=-63.2456-34.7901103.573119.01254.2系統的開環階躍響應結果圖5系統開環階躍響應圖4.3實際連接根據方案設計結果，進行了設計電路的實際連接4.3.1取=1，=2時，可得K=[-1.0000-1.788025.46524.6892]。此時系統的響應曲線如下圖：圖6系統響應圖從圖中可以看出，響應的超調量很小，但穩定時間和上升時間偏大，小車的位置沒有跟蹤輸入，而是反方向移動。當縮短穩定時間和上升時間，可以發現：在Q矩陣中，增加使穩定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。4.3.2取=4000，=100，可得K=[-63.2456-34.7901103.573119.0125],系統響應曲線如下：圖7系統響應圖通過增大Q矩陣中的和，系統抵抗干擾的能力越強，系統的穩定時間變短，超調量和擺桿的角度變化也同時減小。5.結論及進一步設想該文先建立了一級倒立擺的數學模型，并設計了LQR控制器，用MATLAB語言實現了對控制系統的仿真，得到了一級倒立擺各狀態量及控制量的響應曲線。由實驗結果可以看到，本次課設完成了要求，達到了目的。當然由于知識有限設計還有一些缺陷。參考文獻：[1]固高科技有限公司.固高倒立擺與自動控制原理實驗指導書[M].深圳:固高科技有限公司,2005年9月。[2]鄒伯