運籌學課件第1章線性規劃與單純形法-第3節線性規劃問題概述線性規劃問題的數學模型線性規劃問題的求解方法-單純形法單純形法的應用實例單純形法的優缺點和改進方向contents目錄CHAPTER線性規劃問題概述01線性規劃問題的定義線性規劃問題是在一組線性不等式約束下，求解線性目標函數的最優值的問題。線性規劃問題可以表示為求解一個線性方程組的問題，其中未知數是決策變量。123目標函數和約束條件都是線性的，且約束條件的系數矩陣是行滿秩的。標準的線性規劃問題目標函數或約束條件中至少有一個是非線性的。非標準的線性規劃問題如最小二乘問題、運輸問題、分配問題等。特殊類型的線性規劃問題線性規劃問題的分類線性規劃問題的應用場景通過優化生產過程，提高生產效率和資源利用率。優化運輸和配送過程，降低運輸成本和提高服務水平。通過優化投資組合，實現風險和收益的平衡。合理分配有限資源，滿足不同需求并實現最大效益。生產計劃物流管理金融投資資源分配CHAPTER線性規劃問題的數學模型02線性規劃問題中的未知數，通常表示為$x_1,x_2,ldots,x_n$。決策變量線性規劃問題中目標函數和約束條件的常數項，通常表示為$a_1,a_2,ldots,a_n$和$b_1,b_2,ldots,b_m$。常數項線性規劃問題中目標函數和約束條件的系數，通常表示為$c_1,c_2,ldots,c_n$和$A_{ij},B_i$。參數010203線性規劃問題的變量和參數目標函數的系數線性規劃問題中目標函數的系數，通常表示為$c_1,c_2,ldots,c_n$。目標函數的類型線性規劃問題中目標函數的類型，可以是最大化或最小化。目標函數線性規劃問題中需要最小化或最大化的函數，通常表示為$f(x)=c_1x_1+c_2x_2+ldots+c_nx_n$。線性規劃問題的目標函數不等式約束線性規劃問題中限制決策變量取值的不等式條件。等式約束線性規劃問題中限制決策變量取值的等式條件。約束條件線性規劃問題中限制決策變量取值的條件，通常表示為$A_{1}xleqb_1,A_{2}xleqb_2,ldots,A_{m}xleqb_m$。線性規劃問題的約束條件03非基可行解線性規劃問題的一個可行解，對應于可行解區域中的一個內部點。01可行解區域滿足所有約束條件的決策變量的取值范圍。02基可行解線性規劃問題的一個可行解，對應于可行解區域中的一個頂點。線性規劃問題的可行解區域CHAPTER線性規劃問題的求解方法-單純形法03線性規劃問題線性規劃問題是在一組線性不等式約束條件下，尋找一組線性變量的最優解。2.迭代在每次迭代中，根據目標函數的系數和單純形表格，確定出最優解所在的基變量和非基變量。單純形法的基本原理單純形法是一種迭代算法，通過不斷迭代尋找最優解。在每次迭代中，算法將問題轉化為一個更簡單的子問題，直到找到最優解或確定無解。3.更新單純形表格根據最優解所在的基變量和非基變量，更新單純形表格。1.初始化選擇一個初始可行基，并確定對應的初始單純形表格。4.判斷是否達到最優解如果目標函數達到最優值或無法進一步迭代，則算法結束；否則，返回步驟2。單純形法的原理和步驟單純形法的迭代過程根據目標函數的系數和當前單純形表格，確定出最優解所在的基變量和非基變量。更新單純形表格根據最優解所在的基變量和非基變量，更新單純形表格。具體包括將基變量的系數置為0，將非基變量的系數置為無窮大或負無窮大。判斷是否達到最優解如果目標函數達到最優值或無法進一步迭代，則算法結束；否則，返回步驟1。確定基變量和非基變量在每次迭代中，如果目標函數達到最優值，且所有基變量的系數都為正無窮大，則算法結束，當前解即為最優解。最優解判定準則如果無法找到滿足所有約束條件的可行解，則算法結束，問題無解。無解判定準則單純形法的最優解判定CHAPTER單純形法的應用實例04總結詞生產計劃問題是一個常見的線性規劃問題，通過合理安排生產計劃，可以最大化利潤或最小化成本。詳細描述生產計劃問題通常涉及到確定生產什么產品、生產多少以及如何分配資源以最大化利潤或最小化成本。通過建立線性規劃模型，可以使用單純形法求解，找到最優的生產計劃方案。實例一：生產計劃問題總結詞運輸問題是一個經典的線性規劃問題，旨在通過優化運輸路線和數量，最小化總運輸成本。詳細描述運輸問題通常涉及到多個供應點和需求點，需要確定從每個供應點向每個需求點運輸的最優數量和路線。通過建立線性規劃模型，使用單純形法可以找到總運輸成本最小的方案。實例二：運輸問題總結詞分配問題是指將有限資源按照一定標準分配給若干個需求方，以最大化整體效益的問題。詳細描述分配問題涉及到如何將有限資源（如資金、人力、物資等）按照一定的標準（如需求大小、效益等）分配給不同的需求方，以最大化整體效益。通過建立線性規劃模型，使用單純形法可以找到最優的資源分配方案。實例三：分配問題CHAPTER單純形法的優缺點和改進方向05單純形法是一種簡單直觀的線性規劃求解方法，易于理解和實現。簡單易行單純形法適用于各種類型的線性規劃問題，包括標準型和非標準型。適用范圍廣單純形法是一種迭代算法，每次迭代都使解朝著最優解的方向逼近，具有較好的穩定性。穩定性好單純形法的優點01單純形法對初始點選擇較為敏感，如果初始點選擇不當，可能導致算法陷入局部最優解而非全局最優解。對初始點敏感02單純形法對于大規模線性規劃問題可能會遇到計算量大、求解時間長等挑戰。對大規模問題求解效率低下03單純形法對于某些特殊類型的約束條件和目標函數可能不適用。對約束條件和目標函數的性質要求較高單純形法的缺點加速算法通過改進單純形法的迭代過程，減少不必要的計算量，提高算法