./導數與微分教學目的：1、理解導數和微分的概念與微分的關系和導數的幾何意義,會求平面曲線的切線方程和法線方程,了解導數的物理意義,會用導數描述一些物理量,理解函數的可導性與連續性之間的的關系.2、熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則,熟練掌握基本初等函數的導數公式,了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性,會求函數的微分.了解高階導數的概念,會求某些簡單函數的n階導數.會求分段函數的導數.會求隱函數和由參數方程確定的函數的一階、二階導數,會求反函數的導數.教學重點：1、導數和微分的概念與微分的關系；2、導數的四則運算法則和復合函數的求導法則；3、基本初等函數的導數公式；4、高階導數；隱函數和由參數方程確定的函數的導數.教學難點：1、復合函數的求導法則；2、分段函數的導數；3、反函數的導數4、隱函數和由參數方程確定的導數.§2.1導數概念一、引例1．直線運動的速度設一質點在坐標軸上作非勻速運動時刻t質點的坐標為ss是t的函數sf<t>求動點在時刻t0的速度考慮比值這個比值可認為是動點在時間間隔tt0內的平均速度如果時間間隔選較短這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻t0的速度但這樣做是不精確的更確地應當這樣令tt00取比值的極限如果這個極限存在設為v即這時就把這個極限值v稱為動點在時刻t0的速度2．切線問題設有曲線C及C上的一點M在點M外另取C上一點N作割線MN當點N沿曲線C趨于點M時如果割線ＭＮ繞點Ｍ旋轉而趨于極限位置MT直線ＭＴ就稱為曲線Ｃ有點Ｍ處的切線設曲線C就是函數yf<x>的圖形現在要確定曲線在點M<x0,y0><y0f<x0>>處的切線只要定出切線的斜率就行了為此在點M外另取C上一點N<x,y>于是割線MN的斜率為其中為割線MN的傾角當點N沿曲線C趨于點M時xx0如果當x0時上式的極限存在設為k即存在則此極限k是割線斜率的極限也就是切線的斜率這里ktan其中是切線MT的傾角于是通過點M<x0,f<x0>>且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線二、導數的定義1函數在一點處的導數與導函數從上面所討論的兩個問題看出非勻速直線運動的速度和切線的斜率都歸結為如下的極限令xxx0則yf<x0x>f<x0>f<x>f<x0>xx0相當于x0于是成為或定義設函數yf<x>在點x0的某個鄰域內有定義當自變量x在x0處取得增量x<點x0x仍在該鄰域內>時相應地函數y取得增量yf<x0x>f<x0>如果y與x之比當x0時的極限存在則稱函數yf<x>在點x0處可導并稱這個極限為函數yf<x>在點x0處的導數記為即也可記為或函數f<x>在點x0處可導有時也說成f<x>在點x0具有導數或導數存在導數的定義式也可取不同的形式常見的有在實際中需要討論各種具有不同意義的變量的變化"快慢"問題在數學上就是所謂函數的變化率問題導數概念就是函數變化率這一概念的精確描述如果極限不存在就說函數yf<x>在點x0處不可導如果不可導的原因是由于也往往說函數yf<x>在點x0處的導數為無窮大如果函數yf<x>在開區間I內的每點處都可導就稱函數f<x>在開區間I內可導這時對于任一xI都對應著f<x>的一個確定的導數值這樣就構成了一個新的函數這個函數叫做原來函數yf<x>的導函數記作或導函數的定義式f<x0>與f<x>之間的關系函數f<x>在點x0處的導數f<x>就是導函數f<x>在點xx0處的函數值即導函數f<x>簡稱導數而f<x0>是f<x>在x0處的導數或導數f<x>在x0處的值左右導數所列極限存在則定義f<x>在的左導數f<x>在的右導數如果極限存在則稱此極限值為函數在x0的左導數如果極限存在則稱此極限值為函數在x0的右導數導數與左右導數的關系2．求導數舉例例1．求函數f<x>C〔C為常數的導數解即<C>0例2求的導數解例3求的導數解例2．求函數f<x>xn<n為正整數>在xa處的導數解f<a><xn1axn2an1>nan1把以上結果中的a換成x得f<x>nxn1即<xn>nxn1<C>0更一般地有<x>x1其中為常數例3．求函數f<x>sinx的導數解f<x>即<sinx>cosx用類似的方法可求得<cosx>sinx例4．求函數f<x>ax<a>0a1>的導數解f<x>特別地有<ex>ex例5．求函數f<x>logax<a>0a1>的導數解解即特殊地3．單側導數極限存在的充分必要條件是及都存在且相等f<x>在處的左導數f<x>在處的右導數導數與左右導數的關系函數f<x>在點x0處可導的充分必要條件是左導數左導數f<x0>和右導數f<x0>都存在且相等如果函數f<x>在開區間<a,b>內可導且右導數f<a>和左導數f<b>都存在就說f<x>有閉區間[a,b]上可導例6．求函數f<x>x|在x0處的導數解因為f<0>f<0>所以函數f<x>|x|在x0處不可導四、導數的幾何意義函數yf<x>在點x0處的導數f<x0>在幾何上表示曲線yf<x>在點M<x0,f<x0>>處的切線的斜率即f<x0>tan其中是切線的傾角如果yf<x>在點x0處的導數為無窮大這時曲線yf<x>的割線以垂直于x軸的直線xx0為極限位置即曲線yf<x>在點M<x0,f<x0>>處具有垂直于x軸的切線xx0由直線的點斜式方程可知曲線yf<x>在點M<x0,y0>處的切線方程為yy0f<x0><xx0>過切點M<x0,y0>且與切線垂直的直線叫做曲線yf<x>在點M處的法線如果f<x0>0法線的斜率為從而法線方程為例8求等邊雙曲線在點處的切線的斜率并寫出在該點處的切線方程和法線方程解所求切線及法線的斜率分別為所求切線方程為即4xy40所求法線方程為即2x8y150例9求曲線的通過點<04>的切線方程解設切點的橫坐標為x0則切線的斜率為于是所求切線的方程可設為根據題目要求點<04>在切線上因此解之得x04于是所求切線的方程為即3xy40四、函數的可導性與連續性的關系設函數yf<x>在點x0處可導即存在則這就是說函數yf<x>在點x0處是連續的所以如果函數yf<x>在點x處可導則函數在該點必連續另一方面一個函數在某點連續卻不一定在該點處可導x例7．函數在區間<,>內連續但在點x0處不可導這是因為函數在點x0處導數為無窮大x§22函數的求導法則一、函數的和、差、積、商的求導法則定理1如果函數uu<x>及vv<x>在點x具有導數那么它們的和、差、積、商<除分母為零的點外>都在點x具有導數并且[u<x>v<x>]u<x>v<x>[u<x>v<x>]u<x>v<x>u<x>v<x>證明<1>u<x>v<x>法則<1>可簡單地表示為<uv>uv<2>u<x>v<x>u<x>v<x>其中v<xh>v<x>是由于v<x>存在故v<x>在點x連續法則<2>可簡單地表示為<uv>uvuv<3>法則<3>可簡單地表示為<uv>uv<uv>uvuv定理1中的法則<1>、<2>可推廣到任意有限個可導函數的情形例如設uu<x>、vv<x>、ww<x>均可導則有<uvw>uvw<uvw>[<uv>w]<uv>w<uv>w<uvuv>wuvwuvwuvwuvw即<uvw>uvwuvwuvw在法則<2>中如果vC<C為常數>則有<Cu>Cu例1．y2x35x23x7求y解y<2x35x23x7><2x3>5x2>3x>7>2<x3>5x2>3x>23x252x36x210x3例2求f<x>及解例3．yex<sinxcosx>求y解yex><sinxcosx>ex<sinxcosx>ex<sinxcosx>ex<cosxsinx>2excosx例4．ytanx求y解即<tanx>sec2x例5．ysecx求y解secxtanx即<secx>secxtanx用類似方法還可求得余切函數及余割函數的導數公式<cotx>csc2x<cscx>cscxcotx二、反函數的求導法則定理2如果函數xf<y>在某區間Iy內單調、可導且f<y>0那么它的反函數yf1<x>在對應區間Ix{x|xf<y>yIy}內也可導并且或簡要證明由于xf<y>在Iy內單調、可導<從而連續>所以xf<y>的反函數yf1<x>存在且f1<x>在Ix內也單調、連續任取xIx給x以增量x<x0xxIx>由yf1<x>的單調性可知yf1<xx>f1<x>0于是因為yf1<x>連續故從而上述結論可簡單地說成反函數的導數等于直接函數導數的倒數例6．設xsiny為直接函數則yarcsinx是它的反函數函數xsiny在開區間內單調、可導且<siny>cosy0因此由反函數的求導法則在對應區間Ix<11>內有類似地有例7．設xtany為直接函數則yarctanx是它的反函數函數xtany在區間內單調、可導且<tany>sec2y0因此由反函數的求導法則在對應區間Ix<>內有類似地有例8設xay<a0a1>為直接函數則ylogax是它的反函數函數xay在區間Iy<>內單調、可導且<ay>aylna0因此由反函數的求導法則在對應區間Ix<0>內有到目前為止所基本初等函數的導數我們都求出來了那么由基本初等函數構成的較復雜的初等函數的導數如可求呢？如函數lntanx、、的導數怎樣求？三、復合函數的求導法則定理3如果ug<x>在點x可導函數yf<u>在點ug<x>可導則復合函數yf[g<x>]在點x可導且其導數為或證明當ug<x>在x的某鄰域內為常數時y=f[<x>]也是常數此時導數為零結論自然成立當ug<x>在x的某鄰域內不等于常數時u0此時有=f<u>g<x>簡要證明例9求解函數可看作是由yeuux3復合而成的因此例10求解函數是由ysinu復合而成的因此對復合函數的導數比較熟練后就不必再寫出中間變量例11．lnsinx求解例12．求解復合函數的求導法則可以推廣到多個中間變量的情形例如設yf<u>u<v>v<x>則例13．ylncos<ex>求解例14．求解例15設x0證明冪函數的導數公式<x>x1解因為x<elnx>elnx所以<x><elnx>elnx<lnx>elnxx1x1四、基本求導法則與導數公式1．基本初等函數的導數<1><C>0<2><x>x1<3><sinx>cosx<4><cosx>sinx<5><tanx>sec2x<6><cotx>csc2x<7><secx>secxtanx<8><cscx>cscxcotx<9><ax>axlna<10><ex>ex<11><12><13><14><15><16>2．函數的和、差、積、商的求導法則設uu<x>vv<x>都可導則<1><uv>uv<2><Cu>Cu<3><uv>uvuv<4>3．反函數的求導法則設xf<y>在區間Iy內單調、可導且f<y>0則它的反函數yf1<x>在Ixf<Iy>內也可導并且或4．復合函數的求導法則設yf<x>而ug<x>且f<u>及g<x>都可導則復合函數yf[g<x>]的導數為或y<x>f<u>g<x>例16求雙曲正弦shx的導數.解因為所以即<shx>chx類似地有<chx>shx例17求雙曲正切thx的導數解因為所以例18求反雙曲正弦arshx的導數解因為所以由可得由可得類似地可得例19．ysinnxsinnx<n為常數>求y解y<sinnx>sinnx+sinnx<sinnx>ncosnxsinnx+sinnxnsinn1x<sinx>ncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsin<n+1>x§2.3高階導數一般地函數yf<x>的導數yf<x>仍然是x的函數我們把yf<x>的導數叫做函數yf<x>的二階導數記作y、f<x>或即y<y>f<x>[f<x>]相應地把yf<x>的導數f<x>叫做函數yf<x>的一階導數類似地二階導數的導數叫做三階導數三階導數的導數叫做四階導數一般地<n1>階導數的導數叫做n階導數分別記作yy<4>y<n>或函數f<x>具有n階導數也常說成函數f<x>為n階可導如果函數f<x>在點x處具有n階導數那么函數f<x>在點x的某一鄰域內必定具有一切低于n階的導數二階及二階以上的導數統稱高階導數y稱為一階導數yyy<4>y<n>都稱為高階導數例1．yaxb求y解yay0例2．ssint求s解scosts2sint例3．證明函數滿足關系式y3y10證明因為所以y3y10例4．求函數yex的n階導數解yexyexyexy<4>ex一般地可得y<n>ex即<ex><n>ex例5．求正弦函數與余弦函數的n階導數解ysinx一般地可得即用類似方法可得例6．求對函數ln<1x>的n階導數解yln<1x>y<1x>1y<1x>2y<1><2><1x>3y<4><1><2><3><1x>4一般地可得y<n><1><2><n1><1x>n即例6．求冪函數yx<是任意常數>的n階導數公式解yx1y<1>x2y<1><2>x3y<4><1><2><3>x4一般地可得y<n><1><2><n1>xn即<x><n><1><2><n1>xn當n時得到<xn><n><1><2>321n!而<xn><n1>0如果函數uu<x>及vv<x>都在點x處具有n階導數那么顯然函數u<x>v<x>也在點x處具有n階導數且<uv><n>u<n>v<n><uv>uvuv<uv>uv2uvuv<uv>uv3uv3uvuv用數學歸納法可以證明這一公式稱為萊布尼茨公式例8．yx2e2x求y<20>解設ue2xvx2則<u><k>2ke2x<k1,2,,20>v2xv2<v><k>0<k3,4,,20>代入萊布尼茨公式得y<20><uv><20>u<20>vC201u<19>vC202u<18>v220e2xx220219e2x2x218e2x2220e2x<x220x95>§2.4隱函數的導數由參數方程所確定的函數的導數相關變化率一、隱函數的導數顯函數形如yf<x>的函數稱為顯函數例如ysinxylnx+ex隱函數由方程F<xy>0所確定的函數稱為隱函數例如方程xy310確定的隱函數為y如果在方程F<xy>0中當x取某區間內的任一值時相應地總有滿足這方程的唯一的y值存在那么就說方程F<xy>0在該區間內確定了一個隱函數把一個隱函數化成顯函數叫做隱函數的顯化隱函數的顯化有時是有困難的甚至是不可能的但在實際問題中有時需要計算隱函數的導數因此我們希望有一種方法不管隱函數能否顯化都能直接由方程算出它所確定的隱函數的導數來例1．求由方程eyxye0

所確定的隱函數y的導數解把方程兩邊的每一項對x求導數得<ey><xy><e><0>即eyyyxy0從而<xey0>例2．求由方程y52yx3x70

所確定的隱函數yf<x>在x0處的導數y|x0解把方程兩邊分別對x求導數得5yy2y121x60由此得因為當x0時從原方程得y0所以例3求橢圓在處的切線方程解把橢圓方程的兩邊分別對x求導得從而當x2時代入上式得所求切線的斜率所求的切線方程為即解把橢圓方程的兩邊分別對x求導得將x2代入上式得于是ky|x2所求的切線方程為即例4．求由方程所確定的隱函數y的二階導數解方程兩邊對x求導得于是上式兩邊再對x求導得對數求導法這種方法是先在yf<x>的兩邊取對數然后再求出y的導數設yf<x>兩邊取對數得lnylnf<x>兩邊對x求導得yf<x>[lnf<x>]對數求導法適用于求冪指函數y[u<x>]v<x>的導數及多因子之積和商的導數例5．求yxsinx<x>0>的導數解法一兩邊取對數得lnysinxlnx上式兩邊對x求導得于是解法二這種冪指函數的導數也可按下面的方法求yxsinxesinx·lnx例6求函數的導數解先在兩邊取對數<假定x>4>得lny[ln<x1>ln<x2>ln<x3>ln<x4>]上式兩邊對x求導得于是當x<1時當2<x<3時用同樣方法可得與上面相同的結果注嚴格來說本題應分x4x12x3三種情況討論但結果都是一樣的二、由參數方程所確定的函數的導數設y與x的函數關系是由參數方程確定的則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程所確定的函數在實際問題中需要計算由參數方程所確定的函數的導數但從參數方程中消去參數t有時會有困難因此我們希望有一種方法能直接由參數方程算出它所確定的函數的導數設x<t>具有單調連續反函數t<x>且此反函數能與函數y<t>構成復合函數y[<x>]若x<t>和y<t>都可導則即或若x<t>和y<t>都可導則例7求橢圓在相應于點處的切線方程解所求切線的斜率為切點的坐標為切線方程為即bxayab0例8．拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向yv2tgt2解先求速度的大小速度的水平分量與鉛直分量分別為x<t>v1y<t>v2gt所以拋射體在時刻t的運動速度的大小為再求速度的方向設是切線的傾角則軌道的切線方向為已知x<t>,y<t>如何求二階導數y?由x<t>例9．計算由擺線的參數方程所確定的函數yf<x>的二階導數解<t2nn為整數><t2nn為整數>三、相關變化率設xx<t>及yy<t>都是可導函數而變量x與y間存在某種關系從而變化率與間也存在一定關系這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率相關變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關系以便從其中一個變化率求出另一個變化率例10一氣球從離開觀察員500f處離地面鉛直上升其速度為140m/min<分>當氣球高度為500m時觀察員視線的仰角增加率是多少？解設氣球上升t<秒>后其高度為h觀察員視線的仰角為則其中及h都是時間t的函數上式兩邊對t求導得已知<米/秒>又當h500<米>時tan1sec22代入上式得所以<弧度/秒>即觀察員視線的仰角增加率是每秒014弧度§2.5函數的微分一、微分的定義引例函數增量的計算及增量的構成一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響其邊長由x0變到x0x問此薄片的面積改變了多少？設此正方形的邊長為x面積為A則A是x的函數Ax2金屬薄片的面積改變量為A<x0x>2<x0>22x0x<x>2幾何意義2x0x表示兩個長為x0寬為x的長方形面積<x>2表示邊長為x的正方形的面積數學意義當x0時<x>2是比x高階的無窮小即<x>2o<x>2x0x是x的線性函數是A的主要部分可以近似地代替A定義設函數yf<x>在某區間內有定義x0及x0x在這區間內如果函數的增量yf<x0x>f<x0>可表示為yAxo<x>其中A是不依賴于x的常數那么稱函數yf<x>在點x0是可微的而Ax叫做函數yf<x>在點x0相應于自變量增量x的微分記作dy即dyAx函數可微的條件函數f<x>在點x0可微的充分必要條件是函數f<x>在點x0可導且當函數f<x>在點x0可微時其微分一定是dyf<x0>x證明設函數f<x>在點x0可微則按定義有yAxo<x>上式兩邊除以x得于是當x0時由上式就得到因此如果函數f<x>在點x0可微則f<x>在點x0也一定可導且Af<x0>反之如果f<x>在點x0可導即存在根據極限與無窮小的關系上式可寫成其中0<當x0>且Af<x0>是常數xo<x>由此又有yf<x0>xx因且f<x0>不依賴于x故上式相當于yAxo<x>所以f<x>在點x0也是可導的簡要證明一方面別一方面以微分dy近似代替函數增量y的合理性當f<x0>0時有ydyo<dy>結論在f<x0>0的條件下以微分dyf<x0>x近似代替增量yf<x0x>f<x0>時其誤差為o<dy>因此在|x|很小時有近似等式ydy函數yf<x>在任意點x的微分稱為函數的微分記作dy或df<x>即dyf<x>x例如dcosx<cosx>xsinxxdex<ex>xexx例1求函數yx2在x1和x3處的微分解函數yx2在x1處的微分為dy<x2>|x1x2x函數yx2在x3處的微分為dy<x2>|x3x6x例2．求函數yx3當x2x0.02時的微分解先求函數在任意點x的微分dy<x3>x3x2x再求函數當x2x0.02時的微分dy|x2x0.023x2|x2,x0.023220.020.24自變量的微分因為當yx時dydx<x>xx所以通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分記作dx即dxx于是函數yf<x>的微分又可記作dyf<x>dx從而有這就是說函數的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數的導數因此導數也叫做"微商"二、微分的幾何意義當y是曲線yf<x>上的點的縱坐標的增量時dy就是曲線的切線上點縱坐標的相應增量當|x|很小時|ydy|比|x|小得多因此在點M的鄰近我們可以用切線段來近似代替曲線段三、基本初等函數的微分公式與微分運算法則從函數的微分的表達式dyf<x>dx可以看出要計算函數的微分只要計算函數的導數再乘以自變量的微分因此可得如果下的微分公式和微分運算法則1基本初等函數的微分公式導數公式微分公式<x>x1d<x>x1dx<sinx>cosxd<sinx>cosxdx<cosx>sinxd<cosx>sinxdx<tanx>sec2xd<tanx>sec2xdx<cotx>csc2xd<cotx>csc2xdx<secx>secxtanxd<secx>secxtanxdx<cscx>cscxcotxd<cscx>cscxcotxdx<ax>axlnad<ax>axlnadx<ex>exd<ex>exdx2函數和、差、積、商的微分法則求導法則微分法則<uv>uvd<uv>dudv<Cu>Cud<Cu>Cdu<uv>uvuvd<uv>vduudv證明乘積的微分法則根據函數微分的表達式有d<uv><uv>dx再根據乘積的求導法則有<uv>uvuv于是d<uv><uvuv>dxuvdxuvdx由于udxduvdxdv所以d<uv>vduudv3復合函數的微分法則設yf<u>及u<x>都可導則復合函數yf[<x>]的微分為dyyxdxf<u><x>dx于由<x>dxdu所以復合函數yf[<x>]的微分公式也可以寫成dyf<u>du或dyyudu由此可見無論u是自變量還是另一個變量的可微函數微分形式dyf<u>du保持不變這一性質稱為微分形式不變性這性質表示當變換自變量時微分形式dyf<u>du并不改變例3．ysin<2x1>求dy解把2x1看成中間變量u則dyd<sinu>cosuducos<2x1>d<2x1>cos<2x1>2dx2cos<2x1>dx在求復合函數的導數時可以不寫出中間變量例4求dy解例5．ye13xcosx求dy解應用積的微分法則得dyd<e13xcosx>cosxd<e13x>e13xd<cosx><cosx>e13x<3dx>e13x<sinxdx>e13x<3cosxsinx>dx例6．在括號中填入適當的函數使等式成立<1>d<>xdx<2>d<>costdt解<1>因為d<x2>2xdx所以即一般地有<C為任意常數><2>因為d<sint>costdt所以因此<C為任意常數>四、微分在近似計算中的應用1．函數的近似計算在工程問題中經常會遇到一些復雜的計算公式如果直接用這些公式進行計算那是很費力的利用微分往往可以把一些復雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替如果函數yf<x>在點x0處的導數f<x>0且