專題1.1一元二次方程的定義及解（3個考點七大題型）重難點題型歸納【題型1一元二次方程的判斷】【題型2由一元二次方程的定義求字母的取值范圍】【題型3一元二次方程的一般形式】【題型4由一元二次方程的解求字母的值】【題型5由一元二次方程的解求代數式的值（常規型）】【題型6由一元二次方程的解求代數式的值（整體法）】【題型7已知一元二次方程的跟求另一方程的根】滿分必練【題型1判斷一元二次方程】1．（2023春?南崗區校級期中）下列方程，是一元二次方程（其中x，y是未知數）的個數是（）①x2+1＝0，②2x2﹣3xy＝﹣1，③，④ax2﹣x+2＝0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解答】解：①x2+1＝0符合一元二次方程的定義，符合題意；②2x2﹣3xy＝﹣1屬于二元二次方程，不符合題意；③是分式方程，不符合題意；④當a＝0時，方程ax2﹣x+2＝0不是關于x的一元二次方程，不符合題意．故選：A．2．（2023春?廬陽區校級期中）下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數） C．（x+1）（x﹣2）＝x2 D．3x2+1＝0【答案】D【解答】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；B、ax2+bx+c＝0，當a＝0時，不是一元二次方程，不符合題意；C、（x+1）（x﹣2）＝x2整理得：﹣x﹣2＝0，是一元一次方程，不符合題意；D、3x2+1＝0是一元二次方程，符合題意．故選：D．3．（2023春?瑤海區期中）下列方程是一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數） C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0【答案】C【解答】解：根據一元二次方程的定義可知，A選項不是整式方程，故A不符合題意；B選項，當a＝0時，不是一元二次方程，故B不符合題意；C選項符合題意；D選項是二元二次方程，故D不符合題意，故選：C．4．（2023春?廬陽區校級期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝0【答案】D【解答】解：A．，是分式方程，不符合題意；B．ax2+bx+c＝0，若a＝0，則該方程不是一元二次方程，故不符合題意；C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4，整理可得x+2＝0，為一元一次方程，故不符合題意；D．x2﹣3x+2＝0，是一元二次方程，符合題意．故選：D．【題型2由一元二次方程的定義求字母的取值范圍】5．（2023春?青田縣月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】C【解答】解：根據題意得m+1＝2，∴m＝1，故選：C．6．（2023春?定遠縣校級月考）已知是關于x的一元二次方程，那么a的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上選項都不對【答案】C【解答】解：∵是關于x的一元二次方程，∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故選：C．7．（2023春?攸縣月考）若關于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，則m應滿足的條件是（）A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2【答案】A【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是關于x的一元二次方程，∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故選：A．8．（2022秋?宜陽縣期末）關于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，則m應滿足的條件是（）A．m≠0 B．m≠﹣2 C．m≠2 D．m＝2【答案】C【解答】解：由原方程得：（m﹣2）x2﹣4x+1＝0，∵該方程是一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2，故選：C．9．（2022秋?連平縣校級期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是關于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a≥2且a≠2 B．a≥0且a≠2 C．a≥2 D．a≠2【答案】D【解答】解：由題意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故選：D．10．（2022秋?羅山縣期末）若（a﹣3）xb﹣2﹣5x﹣1＝0是關于x的一元二次方程，則a、b的取值為（）A．a≠0，b＝4 B．a≠0，b＝2 C．a≠﹣3，b＝4 D．a≠3，b＝4【答案】D【解答】解：由題意，得a﹣3≠0，b﹣2＝2解得a≠3，b＝4．故選：D．【題型3一元二次方程的一般形式】11．（2023?魚峰區模擬）將方程3x2＝5x﹣1化為一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0【答案】C【解答】解：將方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．故選：C．12．（2022秋?新會區期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6【答案】D【解答】解：去括號得，x2+x＝3x﹣6，移項得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分別是1，﹣2，6．故選：D．13．（2022秋?雙峰縣期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次項系數、一次項系數、常數項分別為（）A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣6【答案】D【解答】解：方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，為3x2﹣x﹣6＝0，所以二次項系數、一次項系數、常數項分別為3、﹣1、﹣6，故選：D．14．（2023春?江岸區校級月考）方程x2﹣x＝0二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，0【答案】D【解答】解：方程x2﹣x＝0的二次項系數是1，一次項系數為﹣1，常數項為0．故選：D．15．（2022秋?甘井子區期末）將方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【答案】C【解答】解：4x（x+2）＝25可化為4x2+8x﹣25＝0，∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．故選：C．16．（2022秋?達川區期末）一元二次方程3x2+1＝5x的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．3，5，1 B．3，1，5 C．3，﹣5，1 D．3，1，﹣5【答案】C【解答】解：∵3x2+1＝5x，∴3x2﹣5x+1＝0，∴一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是3，﹣5，1，故選：C．【題型4由一元二次方程的解求字母的值】17．（2023春?廬陽區校級期中）若關于x的方程x2+3x+c＝0有一個根為﹣1，則c的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【答案】B【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+c＝0得：1﹣3+c＝0，解得：c＝2．故選：B．18．（2023?金水區校級三模）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一個實數根，則a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：將x＝1代入該方程，得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故選：A．19．（2023春?鄞州區校級期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一個根為1，則k的值為（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5【答案】D【解答】解：將x＝1代入原方程得：12+k+4＝0，解得：k＝﹣5，∴k的值為﹣5．故選：D．20．（2023春?龍灣區期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一個根，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一個根，∴1+a+2＝0，∴a＝﹣3．故選：A．21．（2023春?富陽區期中）若關于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，則m的值為（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵關于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故選：C．【題型5由一元二次方程的解求代數式的值（常規型）】22．（2023?邗江區校級一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則2023﹣m2+m的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】C【解答】解：由題意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021，故選：C．23．（2023?官渡區校級模擬）已知a是方程x2+3x+2＝0的一個根，則代數式a2+3a的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣4或﹣10【答案】A【解答】解：∵a是方程x2+3x+2＝0的一個根，∴a2+3a+2＝0，∴a2+3a＝﹣2，故選：A．24．（2023春?瑤海區期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，則2018﹣a﹣b的值是（）A．2022 B．2012 C．2019 D．2023【答案】D【解答】解：∵x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的解是x＝1，∴a+b+5＝0，∴a+b＝﹣5，∴2018﹣a﹣b＝2018﹣（a+b）＝2018+5＝2023．故選：D．25．（2022秋?信都區校級期末）若x＝1是關于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的一個根，則a﹣2b的值為（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】B【解答】解：將x＝1代入x2+ax﹣2b＝0，得1+a﹣2b＝0，整理得a﹣2b＝﹣1．故選：B．26．（2023?衡南縣一模）若關于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個根是2，則m+n的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】B【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個根是2，∴4+2m+2n＝0，∴2m+2n＝﹣4，∴m+n＝﹣2．故選：B．27．（2022秋?德惠市期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根是x＝1，則a+b+c的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．不能確定【答案】A【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0，故選：A．28．（2023?蕪湖模擬）設a是方程x2+x﹣2023＝0的一個根，則a2+a+1的值為2024．【答案】2024．【解答】解：把x＝a代入x2+x﹣2023＝0中得：a2+a﹣2023＝0．∴a2+a＝2023，把a2+a＝2023代入a2+a+1＝2023+1＝2024，故答案為：2024．【題型6由一元二次方程的解求代數式的值（整體法）】29．（2023春?樂清市期中）已知t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個解，則2t2﹣2022t值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故選：C．30．（2023春?樂清市期中）已知t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個解，則2t2﹣2022t值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵t為一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一個解，∴t2﹣1011t+3＝0，∴t2﹣1011t＝﹣3，∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．故選：C．31．（2022秋?武安市期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2018的值為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m+2018＝3（2m2﹣3m）+2018＝3×1+2018＝3+2018＝2021，故選：D．32．（2023?南沙區一模）若a是關于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個實數根，則2023+2a﹣6a2的值是（）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0【答案】C【解答】解：∵a是關于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個實數根，∴3a2﹣a﹣2023＝0，∴3a2﹣a＝2023，∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．故選：C．33．（2022秋?雷州市期末）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一個根是m，則代數式3m2﹣6m+2017的值為（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一個根是m，∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，∴3m2﹣6m+2017＝3（m2﹣2m）+2017＝6+2017＝2023，故選：B．34．（2023春?沭陽縣月考）已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一個根，則代數式2m2+4m+2021的值為2023．【答案】2023．【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的一個根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m+2021＝2（m2+2m）+2021＝2×1+2021＝2023．故答案為：2023．【題型7已知一元二次方程的跟求另一方程的根】35．（2022秋?福州期末）關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，則該方程必有一個根是（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C． D．【答案】A【解答】解：由題意，一元二次方程ax2+bx+c＝0滿足4a﹣2b+c＝0且a≠0，∴當x＝﹣2時，代入方程ax2+bx+c＝0，有4a﹣2b+c＝0；綜上可知，方程必有一根為﹣2．故選：A．36．（2023春?瑞安市期中）已知關于x方程x2+bx+c＝0的兩個實數根是x1＝2，x2＝﹣3，則方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的兩個實數根是（）A．x1＝﹣2，x2＝﹣1 B．x1＝2，x2＝1 C．x1＝6，x2＝﹣1 D．x1＝6；x2＝1【答案】D【解答】解：設t＝x﹣4，則方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0變為t2+bt+c＝0，∵方程x2+bx+c＝0的兩個實數根是x1＝2，x2＝﹣3，∴t＝2或﹣3，∴x﹣4＝2或﹣3，∴x＝6或1，∴方程（x﹣4）2+b（x﹣4）+c＝0的兩個實數根是x1＝6，x2＝1．故選：D．37．（2023春?崇左月考）在關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．1，﹣2 C．1，﹣1 D．無法確定【答案】B【解答】解：當x＝1時，a+b+c＝0，當x＝﹣2時，4a﹣2b+c＝0，所以方程的根分別為1或﹣2．故選：B．38．（2022秋?仙居縣期末）若關于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一個根為m，則方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的兩根分別是（）A．m+1，﹣m﹣1 B．m+1，﹣m+1 C．m+1，m+2 D．m﹣1，﹣m+1【答案】A【解答】解：設關于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的另一個根為t，根據根與系數的關系得t+m＝﹣＝﹣2，解得t＝﹣m﹣2，即關于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的根為m，﹣m﹣2，把方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0看作關于（x﹣1）的一元二次方程，所以x﹣1＝m或x﹣1＝﹣m﹣2，解得x1＝m+1，x2＝﹣m﹣1．故選：A．39．（2023春?花山區校級期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個根為x＝2023，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】D【解答】解：a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可化為：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0關于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個根為x＝2023，∴把x﹣1看作是整體未知數，則x﹣1＝2023，∴x＝2024，即a（x﹣1）2+bx﹣3＝b有一根為x＝2024．故選：D．40．（2023春?北侖區期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根為x＝2023，則關于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根為（）A． B． C．2023 D．﹣2023【答案】A【解答】解：把x＝2023代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20232a+2023b+c＝0，兩邊除以20232，得a+b+?c＝0，∴c+b+a＝0，∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根．故選：A．41．（2023春?鹿城區校級期中）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一個根是x＝m，則方程x2+bx+a＝0有一個根是（）A．x＝m B．x＝﹣m C． D．x＝1﹣m【答案】C【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一個根是x＝m，∴am2+bm+1＝0，在等式的兩邊同時除以m2得：a