專題16矩形的判定與性質(zhì)

★知識(shí)歸納

?矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

要點(diǎn)梳理：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后

增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.

?矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對(duì)角線相等；

3.矩形的四個(gè)角都是直角；

4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.

要點(diǎn)梳理：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等

的兩部分.

（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線

的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.

（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三

個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形

的對(duì)角線互相平分且相等.

?矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

L定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

1

3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

要點(diǎn)梳理：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.

★實(shí)操夯實(shí)

一.選擇題（共11小題）

1.如圖，矩形A8CQ的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,NAOB=60°,A0=4,則AB的長(zhǎng)是（）

A.4B.5C.6D.8

【解答】解：：四邊形4BCD是矩形，

：.AO=（）C,B0=0D,AC=BD,

：.0A=0B,

'：ZAOB=60°,

.?.△A08是等邊三角形，

.\AB=AO=4f

故選：A.

2.四邊形ABC。的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件是（）

A.AB=CDB.AC=BDC.AB=BCD.AD=BC

【解答】解：可添加AC=8￡>,

2

四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，

四邊形ABCD是平行四邊形，

'：AC=BD,根據(jù)矩形判定定理對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，

，四邊形A8C。是矩形.

故選：B.

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.有一組對(duì)角是直角的四邊形一定是矩形

B.有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形

C.對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形

D.對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形

【解答】解：???有?組對(duì)角是直角的四邊形不一定是矩形，

...選項(xiàng)4不正確；?.?有一組鄰角是直角的四邊形不一定是矩形，

，選項(xiàng)8不正確：

???對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

，選項(xiàng)C不正確；

?.?對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形一定是矩形，

二選項(xiàng)D正確；

故選：D.

4.如圖，在矩形COE。中，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,則CE的長(zhǎng)是（）

3

A.3B.2A/2C.V10D?4

【解答】解：???四邊形COEO是矩形，

：.CE=ODf

丁點(diǎn)。的坐標(biāo)是(1,3),

*'?OD=1]2+32=?

***CE=yJ1Q?

故選：C.

5.如圖，矩形A8CZ)中，AB=M，BC=3,AELBDTE,則EC=()

A.近B.在C.叵D但

2222

【解答】解：作EFJ_BC于F,

?..四邊形A8C。是矩形，

：.AD=BC=3,AB=CD=6,N8A￡)=90°.

.?.tanNAO8=^=返，

AD3

ZADB=30°,

AZABE=60°,

4

二在RtZ\ABE中cos/ABE=^^.=莖=2，

ABV32

2

...在RtZ\8EF中，cosZFB￡=.^=4^-=—

BEV32

4

???￡F=VBE2-BF2=^Y，

：.CF=3--=—,

44

在RtZ\CPE中，CE={EF2K：2=^p-

故選：D.

6.如圖，矩形ABC。的對(duì)角線AC,8力相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE_LAC于點(diǎn)E,

PFLBD于點(diǎn)F.若AB=6,BC=8,則PE+PF的值為()

A.10B.9.6C.4.8D.2.4

【解答】解：連接。巴

?矩形ABCD的兩邊AB=6,8C=8,

，S矩形ABC'Z)=A8?8C=48,OA.—OC,OB=OD,AC=BD,AC=JAB2+BC?=］。，

5

*,?S/^AOD=—S始形A8CD=12，OA=OD=5f

4

SMOD=S^AOI^S^DOP=—OA?PE^OD*PF=^-OA(PE+PF)=Ax5X(PE+PF)=12,

2222

24

???PE+PF=—=4.S.

5

故選：C.

7.如圖，ABC。是矩形，AC.BO相交于O,AE垂直平分3。，若AE=2A/§,則。￡)=()

A.2B.3C.4D.6

【解答】解：??,四邊形ABC。是矩形,

：?OB=OD,OA=OC,AC=BD,

：.OA=OB,

???AE垂直平分OB,

：.AB=AO,

：,OA=AB=OB=2OE,

???AE=2?,

AOA2-OE2=(2V3)2>即4*°產(chǎn)=12,

.??OE=2,

6

：.OD=OB=2OE=4；

故選：C.

8.如圖，在矩形ABC。中，。為AC中點(diǎn)，E/過。點(diǎn)且七/，AC分別交DC于R交A8于區(qū)點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且

NAOG=30°,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

(1)DC=30G；(2)OG=—BC；(3)是等邊三角形；(4)SMOE=—S^ABCD.

26

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：；E凡LAC,點(diǎn)G是4E中點(diǎn),

OG=AG=GE=LE,

2

VZAOG=30°,

.../OAG=/AOG=30°,

ZGO￡=90°-NAOG=90°-30°=60°,

.?.△OGE是等邊三角形，故(3)正確;

設(shè)AE=2a,則OE=OG=a,

由勾股定理得，AO-<^^g2_Qg2=^(2a)-a~,

為AC中點(diǎn)，

AC—2AO=2^3^/,

.??BC=AAC=AX2小=，

7

在RtZXABC中，由勾股定理得，AB=J（2V3a）2-（V3a）2=3a,

???四邊形ABC。是矩形，

.\CD=AB=3at

：.DC=30G,故（1）正確；

VOG=a,LBC=?CI,

22

OG^^BC,故(2)錯(cuò)誤:

2

*.*S^AOE=—Cl*

22

SABCD=3a,

SMOE——SABCD,故(4)正確；

6

綜上所述，結(jié)論正確是(1)(3)(4)共3個(gè).

故選：C.

9.如圖，矩形ABC。中，AC.BD交于點(diǎn)、O,M、N分別為BC、0C的中點(diǎn).若/ACB=30°,AB=8,則MN的

長(zhǎng)為（）

C.8D.16

【解答】解：如圖，二?四邊形A8C。是矩形，AC,BD交于點(diǎn)、O,NAC8=30°,AB=8,

8

...BQ=AC=2A8=2X8=16,

；.BD=2B0,即280=16.

：.BO=8.

又YM、N分別為8C、0C的中點(diǎn),

/.MN是△C80的中位線，

:.MN=LBO=4.

2

故選：B.

10.如圖，在直角三角形48c中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,點(diǎn)M是邊48上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），作

于點(diǎn)E,MF,3c于點(diǎn)R若點(diǎn)P是政的中點(diǎn)，則CP的最小值是（）

FC

A.1.2B.1.5C.2.4D.2.5

【解答】解：連接CM,如圖所示：

VZACB=90°,4c=3,8C=4,

/M/J=VAC2+BC2=V32+42=5,

'：MELAC,MFIBC,ZACB=90",

.,.四邊形CEM尸是矩形,

9

:.EF=CM,

?點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，

：.CP^^EF,

2

當(dāng)CM_LAB時(shí)，CM最短，

此時(shí)EF也最小，則CP最小，

,?/XABC的面積=上48義CM=1ACXBC,

22

...CM=ACXBC=3=2.4,

AB5

二CP=2EF=」CM=1.2,

22

故選：A.

11.如圖，矩形A8CD的對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O,AB=6,BC=8,過點(diǎn)。作0ELAC,交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E

作垂足為F,則OE+EF的值為（）

24

~5D-T

【解答】解：???A8=6,8c=8,

二矩形ABC力的面積為48,AC=JAB2+BC2=10,

10

.'.AO=DO=—AC=5,

2

?.?對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,

.?.△AOD的面積為12,

,：EOYAO,EFYDO,

:.SAAOD=SAAOE+S2OE,即12=AAOXEO+^DOXEF,

22

；.]2=工X5XEO+工X5XEF,

22

；.5（EO+EF）=24,

.*.EO+M=建，

5

故選：C.

二.填空題（共3小題）

12.為了迎接2021年春節(jié)，李師傅計(jì)劃改造一個(gè)長(zhǎng)為6雨，寬為4”的矩形花池ABCC,如圖，他將畫線工具固定

在一根4皿木棍EF的中點(diǎn)P處.畫線時(shí)，使點(diǎn)E,尸都在花池邊的軌道上按逆時(shí)針方向滑動(dòng)一周.若將點(diǎn)P所

畫出的封閉圖形圍成的區(qū)域全部種植年花，則種植年花的區(qū)域的面積是（24-4TT）機(jī)2.

【解答】解：連接8P,如圖，由題意可知BP為RtZ^BEF的斜邊中線,

II

VEF=4w,

:?BP=2，n,

VAB=DC=4/n,BC=AD=6mf

???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為四個(gè)圓心分別在點(diǎn)4B,C,D,半徑為2m的四分之一圓，以及3c和AO上的一段線段.

長(zhǎng)為6m，寬為4根的矩形花池A8C。的面積為6X4=24（小）.

??.種植年花的區(qū)域的面積是：24-TTX22=（24-4IT）Cm2）.

故答案為：（24-411）.

13.如圖，四邊形A8CO是長(zhǎng)方形，尸是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。尸交A8于點(diǎn)E,G是C/上一點(diǎn)，且NACG=NAGC,

ZGAF=ZF.若NEC8=20°，則NACQ的度數(shù)是30°.

【解答】解：???四邊形A8C。是矩形，

J.AD//BC,NDCB=90°,

：.ZF=ZECB=20°,

/.ZGAF=ZF=20°,

AZACG=ZAGC=ZGAF+ZF=2ZF=40°,

AZACB=ZACG+ZECB=60°,

-0=90°-60°=30°,

故答案為：30。.

14.如圖，點(diǎn)區(qū)F,G,”分別是3。，BC,AC,AO的中點(diǎn)：下列結(jié)論：?EH=EF；②當(dāng)A8=CO,EG平分N

HGF；③當(dāng)ABLCQ時(shí)，四邊形EFG”是矩形；其中正確的結(jié)論序號(hào)是一②⑶.

12

AH

D

BFC

【解答】解：??,點(diǎn)E,F,G,"分別是3D,BC,AC,A。的中點(diǎn)，

J.EF//CD,HG//CD,EF=LcD,HG=LcD,HE=^AB.AB//HE,

222

:.EF=HG,EF//HG,

???四邊形EFG”是平行四邊形，

?二AB不一定等于CD,

???E”不一定等于ER故①錯(cuò)誤，

9：AB=CD,

:?EH=EF,

???平行四邊形"EFG是菱形，

???EG平分N//GR故②正確，

@'：AB±CD,

???NA5C+NBCO=90°,

??,四邊形"EFG是平行四邊形，

J.GF//HE//AB,

:"GFC=N48C,

■:EF//CD,

:?NBFE=NBCD,

：?/GFC+NEFB=90°,

：.ZEFG=90Q,

13

???平行四邊形HEFG是矩形，故③正確,

故答案為：②③.

三.解答題（共12小題）

15.如圖，在矩形ABCC中，BF=CE,求證：AE=DF.

【解答】證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AB=DC,

NB=/C=90°,

'：BF=CE,

：.BE=CF,

在△ABE和△OCF中，

'AB=DC

<ZB=ZC-

BE=CF

...AABE經(jīng)ADCF,

：.AE=DF.

16.在四邊形ABC。中，OA=OC,08=00,點(diǎn)尸為四邊形外一點(diǎn)，且NAPC=NBP￡）=90°.

求證：四邊形ABC。為矩形.

14

【解答】證明：???OA=OC,OB=OD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

連接0P,

VZAPC=ZBPD=90Q,

:?BD=20P,AC=20P,

：.AC=BD,

???四邊形A8C拉為矩形.

17.如圖，矩形A8CO中，EF垂直平分對(duì)角線3。，垂足為。，點(diǎn)E和尸分別在邊A。，3C上，連接DF.

(1)求證：四邊形3PDE是菱形；

(2)若AE=OF,求。的度數(shù).

【解答】(1)證明：:石尸垂直平分對(duì)角線8D,

:?NDOE=/BOF=90°,OB=OD,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDEO=ZBFO,

15

在△OE。和△8尸。中,

，ZD0E=ZB0F

<NDE0=NBF0，

OD=OB

:./XDEO沿ABFO(A4S),

：.DE=BF,

垂直平分對(duì)角線BD,

：.DE=BE,BF=DF,

:.DE=BE=BF=DF,

...四邊形8")￡是菱形；

(2)解：?.?四邊形A8c。是矩形,

：.AB^CD,NA=NC=90°,

VZBOF=90°,

/.ZA=ZBOF=W0,

在Rt/^BAE和Rt/XBOF中，

fBE=BF

IAE=OF'

?,.RtABA￡^RtABOF(HL),

：.AB=OB,

"：AB=CD,OB=OD,

：.CD=—BD,

2

VZC=90°,

工NCBD=30°,

16

.,.ZBDC=180°-ZC-ZCBD=60°.

18.如圖所示，在矩形A8CC中，E,尸分別是邊AB,CD上的點(diǎn)，AE^CF,連接EF,BF,EF與對(duì)角線AC交于

點(diǎn)O,且BE=BF,NBEF=2/BAC.

(1)求證：OE=OF；

(2)若AC=6?，求AB的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：???四邊形ABCO是矩形,

：.AB//CD,

：.ZCAE=ZACF,NCFO=ZAEO,

rZCAE=ZACF

在aAOE和△COF中，，ZCFO=ZAEO，

AE=CF

:.△AOEeMCOF(4AS),

：.OE=OF,

(2)解：連接08,如圖所示：

'：BF=BE,OE=OF,

：.BOA.EF,

由(1)知，

:.ox=oc,

?.?四邊形ABC。是矩形，

...NA8C=90°,

17

：.BO=^AC=OA,

2

：.ZBAC=ZOBA,

又NBEF=2/BAC,

：.NBEF=2N()BE,

而Rt^OBE中，NBEO+NOBE=90°,

.?.N8AC=30°,

.?.8C=^AC=3相，

/MS=VAC2-BC2=9,

19.如圖，ZvlBC中，AC=BC,CZ)J_4B于點(diǎn)O,四邊形O8CE是平行四邊形.求證：四邊形AOCE是矩形.

【解答】證明：；AC=8C,CDLAB,

：.ZADC=90°,AD^BD.

?.?在。￡>8CE中，EC//BD,EC=BD,

J.EC//AD,EC=AD.

...四邊形AOCE是平行四邊形.

又；/A￡)C=90°,

18

四邊形AOCE是矩形.

20.如圖，口A8CZ)中，。是A8的中點(diǎn)，CO=DO.求證："ABCD是矩形.

【解答】證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

...NA+/B=180°,

「O是48的中點(diǎn)，

：.AO=BO,

'AD=BC

在△OAO和△C8。中，JA0=B0>

D0=C0

：./\DAO^/\CBO(SSS),

，NA=NB,

VZA+ZB=180°,

/.ZA=90°,

四邊形ABCD是平行四邊形，

...四邊形A3CO是矩形.

21.如圖所示，在。ABC。中，于點(diǎn)E,CF_LB￡>于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G,使EG=4E,連接CG.

(1)求證：4ABE出4CDF；

(2)求證：四邊形EGC尸是矩形.

19

A,D

G

【解答】證明：（1）???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB^CD,AB//CD,

，ZABE=ACDF,

'：AEA.BD于點(diǎn)E,CFLBD于點(diǎn)F,

：.AE//CF,ZGEF=ZAEB=ZCFD=90°,

rZABE=ZCDF

在AABE和△（7￡＞尸中，，ZAEB=ZCFD-

AB=CD

ACAAS）；

（2）由（1）得：AABE^ACDF,AE//CF,

：.AE=CF,

'：EG=AE,

:.EG=CF,

...四邊形EGCF是平行四邊形，

又,；NGEF=90°,

二四邊形EGC尸是矩形.

22.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊△ABD,點(diǎn)E是線段A8的中

點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線段AO于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形8CF。為平行四邊形；

（2）連接BF,求證：四邊形BCAF是矩形.

20

D

cA

【解答】(1)證明：VZACB=90°,/CA8=30°,

：.BC^^AB,ZABC=60°,

2

丫△ABC是等邊三角形，

.../A8O=/B4C=60°,AB^AD,

：.NABC=NBAD,

：.BC//DA,

?.?點(diǎn)E是線段48的中點(diǎn)，

：.CE=^AB=BE=AE,

2

VZABC=60°,

.'.△BCE是等邊三角形，

?.ZBEC=60°^ZABD,

：.BD//CF,

四邊形BCFD為平行四邊形；

(2)證明：如圖所示：

VBD//CF,BE=AE,

：.AF=DF=-^AD,

2

：.BC=AF,

51.'：BC//DA,

21

...四邊形BCAF是平行四邊形,

VZACB=90°,

...四邊形8c4尸是矩形.

23.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,NABC=NAOC=90°,對(duì)角線AC,80交于點(diǎn)O,OE■平分NADC交

BC千點(diǎn)、E,連接。E.

(1)求證：四邊形4BC。是矩形；

(2)若AB=2,求△0EC的面積.

【解答】（1）證明：:AOaBC,

.?.NA8C+NBAO=18（T,

；乙48c=90°,

：.ZBAD^90°,

/.NBAD=NABC=ZADC=90°,

，四邊形ABC。是矩形.

(2)作。凡L8C于F.

?四邊形A8C￡＞是矩形,

22

：.CD=AB=2,NBC￡>=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,

：.AO=BO=CO^DO,

：.BF=FC,

：.O/=」CO=1,

2

平分/AOC,ZADC=90°,

AZ￡DC=45°,

在RtZ\EOC中，EC=CD=2,

△OEC的面積=」?￡'(>OF=1.

2

24.如圖，已知平行四邊形A8C7).

(1)若M,N是8。上兩點(diǎn)，且BM=DN,AC=2OM,求證：四邊形AMCN是矩形;

(2)若/BAO=120°,CD=4,AB1AC,求平行四邊形A8CZ)的面積.

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.OA=OC,OB=OD,

?對(duì)角線8。上的兩點(diǎn)歷、N滿足BM=DN,

：.OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

：.四邊形AMCN是平行四邊形,

23

\"AC=20M,

：.MN^AC,

...四邊形AMCN是矩形；

(2)解：:?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,A8=CD=4,

：.ZBAD+ZABC=\SO°,

VZBAD=120°,

...NA8C=60°,

'：ABLAC,

.?./BAC=90°,

.,.4。=揚(yáng)8=4遍，

，平行四邊形ABCD的面積=AC?8=4愿X4=16?.

25.如圖，在矩形A8CD中，AB=3cm,