第6章一元一次方程復習

1、一元一次方程定義：

（1）定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)次數(shù)為1,含未知數(shù)的項是整式，像

這樣的方程叫一元一次方程。（分母中不能含未知數(shù)，如l+1=2就不是一元一

X

次方程）

例1：（a+2）xi'i+2=5是一元一次方程，則a=

注意：根據(jù)一元一次方程的定義Ia|-1=1,但（a+2）不能為0,所以a只能為2,

-2應該舍去。

例2：（a-2）x2+3x”是關于x的一元一次方程，則a+b=4

分析：二次項系數(shù)（a-2）應為0,一次項指數(shù)bT=l

例3：下列方程中，是一元一次方程的是（A）

2

A.x+3=2x-lB.l-x=2x-yC.9-x2=l+xD.---=3

x+1

（2）方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。

例1:已知x=l是方程2ax—3=a（2—3x）的解，貝!）a=

分析；將x的值代入方程中就可求出a的值。

變式：若關于x的方程3x+6=4x+8與x+l=2+k的解相同，則k的值為多少？

分析：解方程3x+6=4x+8,求出x的值，代入x+l=2+k中

2、解一元一次方程的基本步驟

（1）去分母不含分母的項也要乘以各分母的最小公倍數(shù)，分子如果是多項

式應加上括號。如方程1_*=立1去分母時1要乘以6,分子要加上括號。

23

6-3（x-2）=2（x+l）

（2）去括號注意正負號的變化，括號外有數(shù)字要乘以括號里面的每一項。

如6—3（九—2）=2（1+1）去括號得：6-3x+6=2x+2

（3）移項移項時要注意改變正負號

2x-3=5x+4移項得：2x-5x=3+4

5=x+3得5-3=x,左右交換位置x=5-3

（4）化系數(shù)為1

例1：3x-5=2x+l

解：3x-2x=l+5（移項要改變正負號）

x=6

例2：6-3（x-2）=2（x+l）

解：6-3x+6=2x+2所去括號前面是負號，去掉括號后要注

-3x-2x=2-6-6意改變正負號，括號外面的數(shù)字不要漏

-5x=-10乘括號里面的項。

x=2

x+\

例3:

解:6-3(x-2)=2(x+l)（不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)6）

6-3x+6=2x+2（去括號注意正負號的變化）

-3x-2x—2-6-6（移項要改變正負號）

-5x=-10

x=2

x-\x+24-x

4：

例6~

解：2(x-1)-(x+2)=3（4-x）（去分母，分子是多項式應加括號）

2x-2-x-2=12-3x（去括號注意正負號的變化）

2x-x+3x=12+2+2（移項要改變正負號）

4x=16

x=4

0.1x-0.3_0.02x+0.01_]

例5：02-0.03

x—32.x+1.

------------=1（分數(shù)基本性質(zhì)，1不變）

23

3(x-3)-2(2x+l)=6（去分母，每一項乘以6）

3x-9-4x-2=6

3x-4x=6+2+9

-x=17

x=-17

例6：-J--(x-l)+5+7[+8=9

816。」J

解：1，，+7）=9一8（移項）

--(x-l)+5+7=8（兩邊同時乘以8）

6|_4_

--(x-l)+5=8-7（移項）

6|_4_

1(x-l)+5=6

（兩邊同時乘以6）

*-1)=6-5

（移項）

x-l=4（兩邊同時乘以4）

x=5

3、常考題型點評

(1)若Ix—3|=2,則X=

分析：根據(jù)絕對值的意義x-3的值為±2,所以x=5或x=l

(2)某同學在解方程他*+i=x時，不小心將0處的數(shù)字用墨水污染了，于

3

是他看后面的答案，方程的解是x=5,那么()處的數(shù)字是

分析：將x=5代入方程中就可以求出()處的數(shù)字

(3)小王在解關于x的方程2a-2x=15時，誤將-2x看成2x,得到方程的解為

x=3,則原方程的解是

分析：根據(jù)題意可以知道x=3是方程2a+2x=15的解，求出a的值，然后將a的

值代入方程2a-2x=15中就可以求出原方程的解。

變式：

小穎同學在解方程如二="一1去分母時,方程右邊的一1沒有乘以6，因而

32

求得的解為x=2，試求a的值，并正確的解方程.

分析：根據(jù)題意可知x=2適合方程2(2x-l)=3(x+a)-l

解：將x=2代入方程2(2x-l)=3(x+a)-l

6=6+3a-1

1

a=-

3

將2=，代入方程生」=山-1中，得x=-3

332

(4)關于x的方程2尤一m=4的解比方程尤+3加=1()的解小1.求兩個方程的

解及m的值。

解：2x-m=4解得x="'+4

2

x+3m=10解得x=10-3m

因為方程2x-m=4的解比方程x+3〃z=10的解小1

所以"l+i=io_3m解得m=2

2

ab

(5)已知a，b，c，d為有理數(shù)’現(xiàn)規(guī)定一種新運算,d=ad-bc，

5x+16-

那么當1=1時，求x的值.

53

方程2x-m=4的解x=3方程尤+3m=10的解x=4

解：根據(jù)題意可得----------=1

35

5(5x+l)-3(6-x)=15

25x+5-18+3x=15

28x=28

x=l

4、應用題分類評析

(1)行程問題

行程問題中的三個基本量及其關系：

路程=速度x時間時間=路程+速度速度=路程+時間

行程問題基本類型

相遇問題：快行距+慢行距=原距速度之和x相遇時間=路程

追及問題：快行距一慢行距=原距速度之差X追及時間=追及路程

例1：甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里,

一列快車從乙站開出，每小時行140公里。慢車先開出1小時，快車再開。兩車

相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？

分析：這是一個相遇問題，速度已知，設相遇時間，根據(jù)慢車行駛路程+快

車行駛路程=480這一等量關系可列出方程90(x+1)+140x=480

例2：某連隊從駐地出發(fā)前往某地執(zhí)行任務,行軍速度是6千米/小時，18分

鐘后,駐地接到緊急命令,派遣通訊員小王必須在一刻鐘內(nèi)把命令傳達到該連隊,

小王騎自行車以14千米/小時的速度沿同一路線追趕連隊，問是否能在規(guī)定時間

內(nèi)完成任務？

分析：這是一個追及問題，通訊員出發(fā)時，該連隊已經(jīng)行駛了6x史千米路

60

程，追及路程和速度已知，設追及時間為x小時。

解：設小王追上連隊需要x小時

1Q

14x-6x=6x—

60

8x=l.8

x=0.225

0.225小時=13.5分鐘V15分鐘

小王能完成任務

例3：從甲地到乙地的長途汽車原需行駛7個小時，開通高速公路后，路

程近了30千米，而車速平均每小時增加了30千米，只需4個小時即可到達.

求甲乙兩地之間高速公路的路程.

分析：題中時間已知，可以設速度，利用路程相差30千米列出方程，或者

設路程，利用速度相差30千米/小時列出方程。

方法1：設開通高速公路后汽車的速度為x千米/小時，根據(jù)題意得

7(x-30)-4x=30解得x=80

方法2：設甲乙兩地高速公路的路程為x千米，根據(jù)題意得

--^22=30解得x=320

47

歸納：行程問題中，若時間已知，可以設速度，利用路程間的關系列方程，

也可以設路程，利用速度間的關系列方程。

(2)工程問題

工作量=工作效率X工作時間

工作效率=工作量+工作時間

工作時間=工作量?工作效率

完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1

工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1,如果完成全部工作的時間為

t,則工作效率為L有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體1,

t

此時工作效率也即工作速度。

例1：一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、

乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成

全部工程？

分析：甲乙的工作效率分別為■和工，根據(jù)甲完成的工作量+乙完成的工作

1512

量=工作總量1，設乙還需要X天才能完成全部工程，可列方程為：

例2:兩根相同長度的蠟燭，一根可以燃燒6個小時，另一根可以燃燒4

個小時，同時點燃兩根蠟燭，經(jīng)過多長時間其中一根剩余長度是另一根剩余長度

的2倍？

分析：兩根蠟燭每小時可燃燒，和工(可看作工作效率)，蠟燭的長度可看

64

作單位1,燃燒6個小時那根蠟燭剩下的長度要比較多，是燃燒4個小時蠟燭

剩余長度的2倍。其實就是比較剩余工作量的關系，因此設時間為x小時，可列

方程為1—工》=2(1-!》)或L(6-x)=2x,(4—x)解得x=3

6464

(3)利潤盈虧折扣問題

售價-進價=利潤利潤=進價x利潤率

利潤率二倍盤產(chǎn)價xlOO%售價=標價、打扣率

進價

商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

商品的銷售利潤=(銷售價一成本價)義銷售量

商品打幾折出售，就是按原價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原價

的80%出售.打x折，即乘以上

10

例1：一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，

結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？

解：設這種服裝每件的進價是x元，根據(jù)題意，得

(1+40%)X80%x-x=15

解這個方程，得x=125

例2：某商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積

壓，商店準備打折出售，但要保持利潤率為5凱則應打幾折？

解：設應該打x折，根據(jù)題意得

X

1200X—-800=800X5%

10

解這個方程，得x=7

例3：一件商品先提價25%,發(fā)現(xiàn)銷售情況不好，準備恢復原價，應該降價多少？

解：設應降價x,根據(jù)題意，得

IX(1+25%)X(1-x)=1

解這個方程，得x=20%

例4：某商店以120元的價格賣出兩件商品，一件盈利20%,另一件虧損20%,

則商店總的盈虧情況如何？

分析：盈利20%的商品進價為120+(1+20%)=100元，虧損20%的商品進價

為120+(1-20%)=150元，150+100T20T20=10元，因此虧損10元。

(4)配套問題

例1：某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12

個或螺母18個，應如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配

套(一個螺栓配兩個螺母)？

分析：此類問題的關鍵是弄清螺栓和螺母的數(shù)量關系。設x人生產(chǎn)螺栓，則

(28-x)人生產(chǎn)螺母，一個螺栓配兩個螺母，因此螺母的數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍,

根據(jù)題意可列方程為：2x12x=18(28-x)

(5)數(shù)字問題

要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個位

數(shù)字為c則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之

間的關系找等量關系列方程.

例1：一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)與十位上的數(shù)和是9,如果把十位與個位上

的數(shù)對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大9,求原來的兩位數(shù)

解：設原來的兩位數(shù)個位數(shù)字是x,根據(jù)題意，得

10x+(9-x)-[10(9-x)+x]=9

解這個方程，得x=5

原兩位數(shù)10X(9-5)+5=45

例2：一個三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1,個位上的數(shù)字比十

位上數(shù)字的3倍少2.若將三個數(shù)字順序顛倒后，所得的三位數(shù)與原三位數(shù)的和是

1171,求這個三位數(shù).

分析：可以設原三位數(shù)十位上數(shù)字為x,則百位是x+1,個位是3x-2,原三位

數(shù)可以表示為100(x+l)+10x+3x-2,新三位數(shù)可以表示為100(3x-2)+10x+x+l

根據(jù)題意列方程100(3x-2)+10x+x+l+100(x+1)+10x+3x-2=l171>解得x=3

所以原三位數(shù)是100X(3+1)+10X3+3X2-2=437

(6)分配問題

例1：學校春游，如果每輛汽車坐45人，則有28人沒有上車；如果每輛坐

50人，則空出1輛，并且有1輛汽車還可以坐12人，問共有多少學生，多少

汽車？

分析：設有x輛汽車，則參加春游的人數(shù)可表示為45X+28或50(x-1)-12

因此，可歹U方程為45x+28=50(x-1)-12或45x+28=50(x-2)+50-12

例2：某織布及制衣廠有工人100名，現(xiàn)已知每人每天能織布40米或利用所

織的布制衣10件,制衣一件需布2米,將布直接銷售,每米可獲利3元,將布制成

衣服可獲利25元.假如每名工人一天只能做一項工作，且不考慮其他因素，設工

廠安排了x名工人制衣,請回答下列問題：

1.一天中制衣所獲利潤是多少元？(用含x的代數(shù)式表示)

2.一天中剩余布所獲利潤是多少元？(用含x的代數(shù)式表示)

3.要使一天獲利潤為16200元,應安排多少名工人制衣？多少名工人織布？

解：(1)10x25x=250x元(2)[40(100-x)-2X10x]X

3=12000-180x

(3)250x+12000-180x=16200解得x=60

(7)火車過橋問題

解題思路：火車過橋問題不單純是路程、時間與速度的關系，其中還包括火

車本身的長度，所以在做這種題目的時候,到底路程是多少是必須要考慮的因素。

公式：

火車過橋過橋時間=(車長+橋長)-?車速

火車追及追及時間=(甲車長+乙車長+距離)4-(甲車速一乙車速)

火車相遇相遇時間=(甲車長+乙車長+距離)+(甲車速+乙車速)

例1、一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車

頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

解：設火車的長度為x米，根據(jù)題意得

2400+x=900x3解得x=300

(8)等積變形和圖形問題

例1：將一個底面直徑是10cm-高為36cm的圓柱形鐵塊，鍛造成底面直徑為20cm

的圓柱形鐵塊，鍛造后的圓柱形鐵塊高為多少？

解：設鍛造后的圓柱形鐵塊高為xon，由題意，得nXq)2x=五X^)2X36，

解得x=9，則鍛造后的圓柱形鐵塊的高為9an

例2：如圖，一塊長5厘米、寬2厘米的長方形紙板，一塊長4厘米、寬1

厘米的長方形紙板，與一塊正方形以及另兩塊長方形的紙板，恰好拼成一個大正

方形，問大正方形的面積是多少？

解:歿大正方形的邊機%x考來，?方隹x-2—l=4+5-

解得x=6，所。大正方形面積為36年方及來

例3：圖①是邊長為30cm的正方形紙板，截掉陰影部分后將其折疊成如圖

②所示的長方體盒子，已知該長方體的寬是高的2倍，求它的體積.

解：設長方體的高為xcm,寬為2xcm,長是

(30-2x)cm,依題意得2(x+2x)=30,

解得x=5,

所以長方體的體積為5X10義20=1000(cm3)

圖①0?

(9)分段計費問題

某書城開展學生優(yōu)惠售書活動，凡一次性購書不超過200元的一律九折優(yōu)

惠，超過200元的，其中200元按九折優(yōu)惠，超過200元的部分按八折算。某

學生第一次去購書付款72元，第二次去購書享受了八折優(yōu)惠，他查看了所買書

的定價，發(fā)現(xiàn)共節(jié)省了34元，則該學生第二次購書實際付款多少元？

解：設第一次買書原價為x元，那么0.9x=72X=80

即第一次買書原價為80元，優(yōu)惠為80-72=8元；兩次共優(yōu)惠34元，那么

第二次買書優(yōu)惠為34-8=26元。

設：第二次買書原價為x元，

200X0.9+(x-200)X0.8=x-26

x=230

230-26=204元

答：第二次購書實際付款金額為204元

復習

方程組

章一次

第七

）定義

程（組

次方

元一

1、二

的項是

未知數(shù)

,含有

數(shù)是1

數(shù)的次

，未知

知數(shù)

個未

有兩

程：含

次方

二元一

（1）

。

次方程

二元一

不是

xy=5

3,

x+^=

程。如

一次方

二元

程叫

的方

這樣

，像

整式

y

例若

?

a

?

數(shù)均

y的系

意x和

b=2.注

a=-2,

，則

方程

一次

二元

6是

W-

）x

不為（a-2

匕

。

能為2

以a不

例若0,所

,n=

=_

程，則

次方

元一

是二

『3"3=5

+y2

?x.*"2

|11

=1

n—2

m+2

，）

程組

得到方

定義可

方程的

元一次

根據(jù)二

3=1

3〃+

2機—

二元

的值叫

未知數(shù)

相等的

右兩邊

方程左

元一次

能使二

解：

程的

次方

二元一

（2）

程的自

一次方